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Full text of "Theorie der Congruenzen: (elemente der Zahlentheorie)"

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010: : la 33018990 

035/1: : | a (RLIN)MIUG86-B12038 

035/2: : | a (CaOTULAS)160211619 

040: : |cMnU |dMnU jdMiU 

041:1 : j a ger [ h und 

050/1:0: | a QA241 lb.C63 

082/1: : |a 512,81 

100:1 : 1 a Qiebyshev, P. L. | q (Pafnutii LVovich), | d 1821-1894. 

245:00: 1 a Theorie der Congruenzen | b (Elemente der Zahlentheorie) | c von P. 

L, Tschebyscheff . Deutsch mit Autorisation des Verfassers, herausgegeben von 

dr. Hermarui Schapira. 

260: : | a Berlin, | b Mayer & Müller, | c 1889. 

300/1: : | a xvii, [1], 313, [Ij, 31, [1], p. incL tables. |c21cm. 

650/1: 0: 1 a Congruences and residues 

700/1:1: ] a Schapira, Hermann Hirsch, |d 1840-1898, |eed. andtr. 

998: : IcSMB | s 9124 



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Nogales, AZ 

On behalf of 

Preservation Division 

The University of Michigan Libraries 



Date work Began: _ 
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Theorie der Congruerizen 

(Elemente der Zahlentheorie) 



P. L. Tscheliysclieff, 



Deutsch mit Aiitorisatioii ilcs Verfassers lierausgegebeii 



Or. Hermann Schapira, 



Berlin, 

Mayer & M ü 1 1 e i-. 
1889. 



yGoosle 



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Vorwort 

des Herausgebers. 

Der Name des Ensaischen Matliematikers P. L. Tsche- 
byscheff ist hinmeliend bekannt, um für sieb selbst 
zu spreeben. Seiße Hanpt-Ärbeiten, sei es in der Zablen- 
theorie , aei es in der Änalysis oder in. der Kinematik, 
zeichnen sieh meistens ausser durch Originalität und eine 
gewisse Grenialität hauptsächlich aus durch das Bestreben 

1) Alles durch tmglieh emfachste Mittd su erreidien und 

2) das Hauptgeioicht auf dia praktische VerwendbarJeeit zu 
legen. Diese beiden Eigentbtimlicbkeiten eharakterisiren 
auch das vorliegende Lehrbuch; nnd es ist dasselbe darin 
noch nicht übertroiFen worden, wiewohl es zu einer Zeit 
geschrieben war, wo ausser Legendre's ;,Th6orie des 
nombres" und Gauss' „Disquisitiones arithmeticae" kein 
eigentliches Lehrbuch über diesen Gegenstand existirte. 
(Das Buch ist genau datirt: die erste Auflage passirte die 
Censnr am 12/24. Oetober 184S und erschien 1849; die 
erste Auflage der vorzüglichen, von Dirichlet 1855 — 
1858 gehaltenen Vorlesungen ist von Dedekind 1863 
herausgegeben). Das strenge System in der Behandlung 
{zuerst die algebraischen Congmenzen rmd dann die Ex- 
ponentielle) und die elementare Abfassung machen es 
möglieb den ganzen Kursus, wenn man es wollte, in jeder 
Mittelschule durchzunehmen und eignen das Werk auch 
vorzüglich zum Selbstunterricht. 

Die beigegebenen Tabellen, welche zum Theil auch 
von ^1 acobi für seinen „Oanon arithraeticus" benutzt 



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worden sind*), vermehren noch die Braucliharkeit des Bu- 
ches ; imd ich dari' hoffen mit der Deutschen Ausgabe der 
Litteratur nützlich gewesen zu sein, indem ich auch he- 
müht war eine mögliche Reinheit von Druckfehlern her- 
zustellen. Kurze Zusätze und Bemerkungen des Heraus- 
gehers, welche hie und da, meistens hehufs einer Grleich- 
mäsaigkeit in dem heim Leser vorausgesetzten Kenntniss- 
niveau nöthig schienen, sind als solche durchgehends durch 
eckige Klammem [ ] kenntlich gemacht 



*) Vgl. Jacobi, Canon arithmeticiia, introductio, pag, VII und das 
gegenw. Lehrb. pag. 181 und pag. 314 Äiim. 

Heidelberg, März 1889. 

Der Herausgeber. 



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Vorwort 

des Verfassers. 

Indem icli bei der Abfassung einer „Theorie der Con- 
gruensen" den Werken „Theorie des nombres" von Le- 
gendre und „Disqtiisitiones tmthmeticae" von Grauss nicht 
ganz gefolgt bin, erachte ich es für nothwendig, die Ur- 
sachen anzugeben , welche mich veranlassten , von diesen 
vorzügliciien Werken der beiden berühmten Mathematiker 
abzuweichen. Zn dem Ende werde ich in einige Einzel- 
heiten bezüglich der genannten Werke und des dermaligen 
wissenschaftlichen Zustandes der Zahlentheorie einzugehen 
haben. 

Die Grundlage zu allen Untersuchungen, welche den 
allgemeinen Theil der Zahlentheorie ausmachen, ist von 
Euler geschaffen. Den Forschungen Eul er' s waren vor- 
angegangen die von Fermat, der sich zuerst mit den 
Eigenthümlichkeiten von Zahlen, die gewissen unbeatimm- 
ten Gleichungen zu genügen haben , beschäftigt hat. Die 
Untersuchungen Fermat's ergaben als Resultat die Ent- 
deckung vieler allgemeiner Theoreme der Zahlentheorie ; 
iüdeaa übten sie ihren Einfluss nicht unmittelbar auf die 
Entwickelung der Wissenschaft , indem die Sätze von 
Fermat ohne Beweis und ohne Anwendung blieben. In 
diesem Zustande dient-en die Entdeckungen F e r m a t' s 
den Mathematikern nur als Herausforderung zum tiefem 
Eindringen in die Theorie der Zahlen. Aber wie inter- 
essant auch diese Untersuchungen waren, bis Euler hatte 
sich Niemand dazu gemeldet. Das ist auch begreiflich. 



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Nickt um neuii Anwendungen "bereits belcanntcr Methoden, 
anch nicht tim weitere Entwiekelungen früher bereits ver- 
wendeter Methoden handelte es sich bei diesen Untersn- 
chnngen; vielmehr mnasten für dieselben nene Methoden 

geschaffen , neue Principien entdeckt werden , mit einem 
Worte : eine nene Wissenschaft musste begründet werden. 

Dieses ist durch Euler geschehen. 

Unter den vielen Untersuchungen Euler's auf dem 

Gebiete der Zahlentheorie haben den meisten Einflass auf 

den Erfolg dieser Wissenschaft seine Abhandlungen über 

folgende zwei Gegenstände gehabt : 

1) lieber die Potenzen der Zahlen bezüglieh der 
Keste, welche sie bei ihrer Division durch eine 
gegebene Zahl ergeben. 

2) lieber Zahlen, welche als Summe zweier Zahlen 
dargestellt werden , von denen eine ein Quadrat 
und die andere ein Product aus einem Quadrate 
und einer gegebenen Zahl bildet. 

Die Abhandlungen über den ersten Gegenstand gaben 
die Grundlage zur Theorie der Indices, zm- Theorie der 
binomischen CongTuenzen überhaupt und derjenigen der 
c[uadrati sehen Reste insbesondere ; die Abbandlongen über 
den zweiten Gegenstand bildeten den Aniang einer Theo- 
rie quadratischer Formen. 

Die Grundlage zur Theorie der Indices schuf Eni er 
mit seinem Memoire: 

„Demonstrationes cwca residua ex äivisione potestaium 
per tmmeros primos resuUantia" , welches in den Memoiren 
der St. Petersburger Aeademie der Wissenschaften für 
das Jahr 1773 erschienen ist. In diesem Memoire ent- 
deckt Euler die Eigenschaften der Indices und der pri- 
mitiven Wurzeln, zeigt ferner eine obere Grenze für die 
Anzahl der möglichen Lösungen binomischer Congruenzen 
mit Primzahlmodiil und giebt endlich eine Anwendung der 
Theorie der Indiee=! auf die Theorie der ([uadr atisehen 
Kcstf und die der (jnadratischen Formen, Zur Vervoll- 
kommnung der Theorie der Indices blieb noch die Auf- 
findung einer Methode zur Bestimmung der pi-imitiven 
Wurzeln , ohne Versurhe an verschiedeneu Zalilen anstel- 



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Vfirwort. vn 

ien zu müssen. Alle Anstrengungen Euler's in dieser 
ßezieliuiig waren vergeblich; er aagt; 

„ Via guidem adhuc non patet, tales raäices primitivas 
pro quovis divisore primo mvenimdi , negue ettam de- 
monstratio , gmi tdles radices primitivas semper dari 
e md, mefhoäum eas inveniendi declarat" *). 
Aber nooli heute sind wir , ungeachtet aller Erfolge der 
Zahlentbeorie, bei der AniFmdiing primitiver Wurzeln, 
noch immer darauf angewiesen, es mit verschiedenen Zah- 
len zu probieren und die von mir im zweiten Anhange 
gegebenen Lehrsätze dürften wohl etwa den ersten Ver- 
such bilden zur Auffindung primitiver Wurzeln ohne vor- 
hergehendes Probieren. 

Die Unter snehuu gen Enler'a über die Theiler der 
Zahlen von der Form a" ± h" bildeten den Anfang zu 
einer Theorie binomischer Congruenzen. Wir finden diese 
Untersuchungen in vielen Memoiren Euler's; besondere 
Beachtung verdient darunter sein Memoir „Theoremata 
drca divisores numerorum" . Darin wird gezeigt., dass die 
MoglicKkeit, die Congruenz 

3i" — a = (mod. mn + 1) 
zu befriedigen, wenn mn + 1 eine Primzahl ist, die Thej]- 



a">~~ 1 
durch diese Primzahl voraussetzt und auch die Umkeh- 
rung des Satzes wird daselbst unter der Annahme be- 
wiesen, dass m und n relativ prim zu einander seien. 
Abgesehen von der unnöthigen Beschränkung auf m und n, 
welche relativ prim sind, bilden diese Sätze die Grundlage 
der heutigen Theorie der hinomischen Congruenzen über- 
haupt und der Theorie der quadratischen Reste insbeson- 
dere. Betrachtet man den Beweis des letztgenannten 
Satzes bei Euler näher, so ist es übrigens leicht die 
Erweiterung des Satzes auf beliebige m und n zu be- 
merken. In seinem Memoire ; ^De quibusdam eximiis pro- 
prietaiibus circa divitores potestatum oecurentibtis" beweist 

*) Op. min. ool. t, ], pag. 52.^. 



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VIII Vorwort. 

er es insbesondere iiir m = 2, otne ii'gend welche ße- 
sehränlrangen für n zn machen und zeigt, daas die Theil- 
barkeit von a" — 1 äiirch 2ii -|- 1 die nothwendige nnd 
hinreichende Bedingung ist, damit es quadratischer Rest 
der Zahl 2m + 1 sei. Ausserdem beschäftigte sich Euler 
in anderen Memoiren vielfach mit den quadratischen Re- 
sten und in den „Observationes circa dwisionem quadratorum 
per numeros primos" gelangt er bei der Betrachtung der 
Beate , welche hei der Division von Quadraten durch 
Primaahlen erhalten werden, an folgendem Schlüsse : 

Existente s nnmero quocunque prinio , dividantur 
tantum quadrata imparia 

1, 9, 25, 49, .... 
per divisorem 4s, notenturque residua, qaae omnia 
ernnt formae 4q -\- 1, quoiT-im quodvis littera a indi- 
cetur, reliquorum autem numerorum, formae 4q -^ 1, 
qui inter residua non occnrrunt, quilibct littera a in- 
dicetur, quo facto si fuerit 
divisor i 



„ I tum est 

pnmus lormae 

4ns + « i+s residuum et — s residuum 

ins — cc '-{-s residuum et — s uon-residuum 

4iis + a -\- s non-residuum et — s non-residmun 

4ns — a 1+ s non-residuum et — s residuum. 
Diese Entdeckung finden wir bei Euler im Iten 
Bande der Opuacula analjtiea, 1772. Es ist nicht schwer 
darin das Redprocüätsgeseis sweier PrimmMen zu erkennen, 
welches von Legendre im Jahre 1785 publicirt und 
welches Letzterer zur Grundlage der Theorie der quadra- 
tischen Reste gemacht hat. 

In der Theorie der quadratischen Eormen beginnt 
Euler seine TIntersuchnngen mit der Summe zweier Qua- 
drate und zeigt im Memoire „De numeris, qui sint aggre- 
gata äuorum quadratorum", dass die TheUer einer Summe 
zweier Quadrate, welche zu einander relativ prim sind, 
eine ähnliche Summe bilden müssen und erhält eine lineare 
Tnrm für diese Theiler. Und so kommt er auf das be- 
rühmte Theorem von Fermat über die Zerlegung einer 



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Primzahl von der Form im -|- 1 in eine Summe von zwei 
Quadraten. In analoger "Weise findet Euler die quadra- 
tischen und linearen Theiier einer Summe eines Quadrates 
und des zweifachen oder dreifachen anderen Quadrates 
itnd giebt femer ohne Beweis die linearen Formen der 
Theiier vieler anderer quadratischer Formen. So hat 
Enler die Grundlage geschaffen zu einer Theorie der 
Theiier quadratisoher Formen. Die genialen Entdeckun- 
gen, welche Lagrange in diesem Theile der Zahlen- 
theorie macht, eröffnen wieder Eulec den Weg zu neuen 
Forschungen. Als Ergehniss derselben entstand eine neue 
Entwickelung der Theorie der quadratischen Formen mit 
mehreren Anwendungen derselben auf die Untersuchung, 
oh eine gegebene Zahl Primzahl ist oder nicht und auf 
die Auffindung von ausserordentlich gTossen Primzahlen. 

Euler hat sich in seinen Untersuchungen nicht auf 
endliche Formeln allein beschränkt; er zeigte auch wie 
man mit Hülfe von unendlichen Reihen auf verschiedene 
Theoreme der Zahlentheorie hommen kann. Zu diesen 
Untersuchungen gehören diejenigen .,De partüione numero- 
rum" und die „über die Summen der Theiier verschiedener 
Zahlen". 

Da wir die Entwickelung des allgemeinen Theiles der 
Zahlentheorie im Aug-e haben , so wollen wir uns bei den 
Untersuchungen Euler's über DiopÄcmdsche Analysis 
nicht aufhalten, welche zum Eesiiltate hatten die Lösung 
von Gleichungen von der Form u«* -f- htß = w', ferner 
den Beweis der Unmöglichkeit gewisser Gleichungen mit 
zwei und drei Unbekaimten , wie auch die Lösung vieler 
sehr complicirter unbestimmter Gleichungen und wenden 
uns zu den Untersuchungen von 

Lag ränge, durch welche die allgemeinen Grundla- 
gen der Zahlentheorie sehr wichtige Erweiterungen erfah- 
ren haben. Dahin gehören aeine Untersuchungen über die 
Anzahl der Lösungen, welche Congruenzen mit Primzahl- 
modul zulassen , vmd die Untersuchungen über die Eigen- 
schaften quadratischer Formen, Wir haben gesehen, dass 
von Euler eine obere Grenze gefunden war für die An- 
zahl der Lösungen binomischer Congi'vienzei:i; Lagvauge 



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X Vorwort, 

hat bewieseii, dass dieselbe oborc Grenze aiicb für cm 
beliebiges Polynom bestehen bleibt. Mit dieser Entdeckung 
ermöglichte es Lagrauge viele Sätze der Zahlentheorie 
zu beweisen, deren Beweis sonst unüberwindliche Schwie- 
rigkeiten bereiteten. Zu diesen Sätzen müssen diejenigen 
über die Existenz primitiver Wurzeln für alle Primzah- 
len gezählt werden. Der von Euler vorgeschlagene Be- 
weis stützt sich auf die Eigenschaft binomischer Congruen- 
zen, welche nur nach der Entdeckung Lagrange's streng 
bewiesen werden kann. Aber unter allen Arbeiten L a- 
grange's in der Zahlentheorie haben den grössten Ein- 
fluas auf die Erfolge dieser Wissenschaft seine Untersu- 
chungen über quadratische Formen gehabt. Er gab all- 
gemeine Principien fiir diejenigen Untersuchungen, welche 
Euler nur für einige der einfachsten Formen gefunden 
hatte ; und diese Principien bildeten , nachdem sie von 
Legendre weiter entwickelt wurden, eine vollständige 
Theorie der Theiler quadratischer Formen ; diese Theorie 
ist eine der bedeutendsten in der Zahlentheorie überhaupt 
und besonders wichtig durch ihre Anwendungen auf die 
Bestimmung der Theiler einer gegebenen Zahl. 

Die von Legendre gelieferten Entwickelungen der 
cLimdratisehen Formen waren eine Folge seiner Entdeckun- 
gen in der Theorie der quadratischen Reste. Die Sehluss- 
folgerung, welche wir oben aus der Abhandliing Euler's 
öbservationes circa divisionem quaäratorum per numeros pri- 
mos angeführt haben, enthält den Satz, welchen wir heute 
unter dem Namen „Beciprocitätsgesets zweier Primeahlen" 
kennen, und welchem die Theorie der quadratischen Reste 
ihre Erfolge verdankt. In den Memoiren der Pariser Aca- 
demie der Wissenschaften für das Jahr 1785 beweist Le- 
gendre den genannten Satz vermittelst der von ihm ent- 
deckten Kriterien für die Möglichkeit der Grieichung 
ax^ + bp^ = cs^ und giebt auch Anwendungen des Satzes 
auf die Untersuchung der Congruenzen zweiten Grades 
und auf die Bestimmung der Theiler quadratischer Formen. 
In diesem Zustande befanden sieh die verschiedenen 
Theile der Zahlentheorie, als Legendre sein Werk 
schrieb „Essai -mr la Theorie des nomhres", welches er 



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Vorwort. XI 

später mit vielen Zusätzen, ater ohne wesentliche Ver- 
ändemng m dem Systeme der Behandlung der Haupttheile, 
unter dem Namen „T!tp,orie des nontbres" herausgegeben hat. 
Bei aller hohen Entwickelung einzelner Theile der 
Zahleutheorie stiess doch eine systematische Zusammen- 
atelliing dieser Wissenschaft auf unüberwindliche Schwie- 
rigkeiten. Wir haben gesehen, dass das Bedprodtätsge- 
setn 0weiei- FrimsahUn, welches die Grundlage der Theorie 
der quadratischen Reste ausmacht und mithin fiir die 
Theorie der quadratischen Formen unumgänglich ist, von 
Legendre aus den Eigenschaften einer Gleichung zwei- 
ten Grades hergeleitet worden ist. Daher konnte die 
Theorie der quadratischen Reste und Formen erst nach 
der vorangegangenen Theorie der unbestimmten Gleichun- 
gen zweiten Grades behandelt werden. Diese Theorie 
liegt aber ihrem Wesen nach viel hoher und lässt ihrer- 
seits eine Anwendung der Theorie der quadratischen Reste 
zu. Infolgedessen fangt Legendre, nachdem er in sei- 
nem Werke verschiedene Sätze über Zahlen vorausge- 
schickt hat , mit der Losung unbestimmter Gleichungen 
an und erst, nachdem er eine vollständige Theorie der 
Gleichungen zweiten Grades auseinandergesetzt hat, schrei- 
tet er zu den ullgenrniten Eigenschaften der Zahlen , unter 
denen wir bei ihm die Haiiptsätze der Theorie der Con- 
gruenzen und eine vollständige Theorie der quadratischen 
Reste und der quadratischen Formen finden. Diese, eines 
Systems ermangelnde Anordnung in der Abfassung der 
Haupttheile der allgemeinen Zahlentheorie , blieb nur so 
lange uothwendig bis Gauss zeigte, wie man das Iteci- 
prodtätsgesetz zweier Primsahlen direct aus der Betrach- 
tung von Congruenzen herleiten kann. Auf diese Weise 
eröffnete sich die Möglichkeit , die (Kongruenzen zweiten 
Grades, ohne in den Haupttheilen der Zahleutheorie die 
systematische Anordnung zu zerstören, zusammen mit den 
anderen Congruenzen zu behandeln, bevor man zu den 
Gleichungen zweiten Grades gekommen ist; und nachher, 
vermittelst der Resultate der Theorie der Congruenzen 
die Untersuchung von Gleichungen höheren Grades zu 
vereinfachen. 



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Wir wenden uns nimmelir zu dem Werke von Graus 9. 
Wir haben gesehen welche Entwickelungen in den ver- 
schiedenen Theilen der Zahlentheorie durch die Arbeiten 
von Eulei', Lagrange und Legendre gemacht waren. 
Grauss benutzt indess in seinem Werke Disguisitiones 
ariikmefkae die Untersuchungen jener Mathematiker nicht. 
Unabhängig von denselben entwickelt er die Haupttheile 
der Zahlentheorie, indem er sie durch neue Methoden, 
durch neue Entdeckungen und sehr wichtige Anwendun- 
gen auf die Lösung binomischer Gleichungen bereichert. 
Aber bei aUeu Verdiensten des Grauss' sehen Werkes 
können wir nicht umbin zu erkennen, dass ein grosser 
Theil seiner Herieitungen nicht die Einfachheit besitzt, 
durch welche das Verfahren von Euler, Lagrange und 
Legendre aich auszeichnet, in dieser Beziehiing kann 
man seiner Entwickelnng einzelner Theile der Zahlen- 
tbeorie, mit Ausnahme einiger, nicht vor den Auseinan- 
dersetzungen Legendr e's den Vorzug geben. 

Daraus ist ersichtlich , dass weder das Werk von 
Legendre, noch das von Gauss die Zahlentheorie in 
derjenigen voUkommnen Form darstellt , in welcher sie 
nach den Entwickelungen , welche dieselbe durch die Ar- 
beiten dieser Mathematiker, geschweige erst nach den 
Arbeiten der jüngsten Mathematiker dargestellt werden 
kann. Ich konnte mich daher bei der Zusammenstellung 
der Theorie der Congmenzen weder an Legendre allein, 
noch an Gauss allein halten, vielmehr benutzte ich zu- 
gleich mit Legendre imd Gauss, auch noch die Ar- 
beiten vieler anderer Mathematiker, welche sich mit die- 
sem Theile der Zahlentheorie beschäftigt haben. Um aber 
die Untersuchungen der Mathematiker , welche sehr ver- 
schiedenartige Methoden benutzten, in ein System zu 
bringen, musste ich einen grossen Theil ihrer Sehlussfol- 
gerungen ändern. Ausserdem fand ich es der Vollstän- 
digkeit willen für nothwendig, einige Artikel weiter aus- 
zubilden. So betrachte ich in der Theorie der Congmenz 
ersten Grades drei verschiedene Fälle , wann diese Con- 
gmenz eine Lösung hat, wann sie deren mehrere und wann 
sie !/ar hmi' besitzt. Bei dei' Auscinanderstitzuiig der 



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Eigens eil af teil der CongrueTi?;eii liöliereii Grades gebe iuh 
ausser dem Lagrange' sehen Satze, einige diesbeziigliclie 
allgemeine Sätze. In der Theorie der quactratisehen For- 
men gebe ich eine Methode, vermittelst deren man erken- 
nen kann , wann zwei quadratische Formen der Theiler 
lediglich auf lineare Formen znrüekiuhrbar sind. Ausser- 
dem finden sich in meinem Buche drei Anhänge. In dem 
ersten setze ich die Jaeobi'sche Erweiterung des Le- 
gen dre' sehen Zeichens auseinander und ?gebe eine An- 
wendung desselben auf die Untersuchung der quadratischen 
Reste ; in der zweiten beweise ich einige Theoreme, welche 
die primitiven Wurzeln einiger Zahlen direct aus ihrer 
Gestalt bestimmen lassen; in der dritten gebe ich die 
Keaultate meiner Untersuchungen über die Eigenschaften 
von Functionen, welche bestimmen wie viele Primzahlen 
eine gegebene Zahl nicht übertreffen. 

[Der dritte Anhang über die Anzahl der Primzahlen 
ist, weil er seinem Wesen nach nicht so elementar Ist als 
der Inhalt dieses Lehrbuches, auf Wunsch des Verfassers 
hier fortgelassen worden]. 



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Inhaltsverzeichniss. 



Einleitende VorbegrilTe. 

gl Seit 

1, Ueber das Wesen der Zalileiitlieuriü und der Tlieurie der 
Congruenzeo 

2, Ueber absolute Primzalilen 

3, üeber relative PrimzabJen 

4, Eigen echftften relativer Primzahlen 

5, Ueber die Zerlegung der Zahlen in Primzahlfactoren . , , 

6, Lehrsätze, welche durch Zerlegung in Primzahl factoreii be- 
gründet werden 1 

7, Ueber Zahlen, welche eine arithmetische Progression bilden . 1 

Kapitel I, 
Ueber Congruenzen Im Allgeineinen. 

8, Ueber den Begriff einer Congruenz ; 

9, Ueber die Eigenschatteu der Congruenzen von Zahlen . . . ', 

10. Ueber die Lösung von Congruenzen 

11. Ueber die kleinsten Reste 

12. Ueber die Anzahl der Lösungen einer Congruenz . . . . ■ 

Kiipitet II. 
Ueber die Congruenzen ersten Grades. 

13. Lösung der Congruenzen ersten Grades , wenn Uer MoJul re- 
lativ prim ist zu dem Coeffioienteii der Unbekannten . . . 

14. Die Lehrsätze von Per mat und Eni et 

15. Anwendung der S6tze von Fermat und Buler auf die Lu 
sung der Congruenz ersten Grides 

16. Ueber Cougiuenzen ersten Giade' bei denen der Modul und 
äei Coefficitnt det Unhekinnttn einen „i.mein'. h'ifiliclen I a. 
tui bisilzen 



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24 



25 



27 



Inhalt. XV 

Seite 
Kapitel ni 
lieber allgenieine Congruenzen höheren Grades 
. Ueber die Eetieiunj, von dem Luetlit,! utea dei h (.Löten Po- 
tenz der Onbekannten . . 64 
!, Obere Grenze fui die Anzahl der L an^en . . 67 
I. AnnenJing ol igen Satzes aut den Bewe s des Wilion acheii 

Theorems und acdeier Eigenschaften der Zahlei . . 7] 

). Zurucktuhrung einei roagruen/ auf cmo Fern in welcLei der 
Gjad kleiner wird Is der Modi) . . 76 

1. Kritenum znr Entscheidang ob e nt Collen ei s c)t Lö- 
sunges besitzt als deren Grad Einheiten hat . . 7d 

Kapitel IV. 
lieber Congruenzen zweiten Grades. 

2. Zurückführung der vollständigen Congruenzen zweiten Grades 

auf die Congruenz von der Form s' = j Imod. /)).,.. 86 

3. Deber die Existenz der Lösuugen der Congruenz z'~q{taiii\.p) 91 

Ueber das Symbol f-j 03 

Eigenschsfiei les Sj nbols [^) 97 

Ausdrucke welche len ^oith les Sjnbola ( — ) bestimmen; 
Folgerungen aus denselleo 

1) Die Bestimmung ^on f 1 

2) Das Keciprocitatsgfsetz zweiei Primzahlen . , . .104 
Methode min lle lallei den Vi crtii dos Symbols (-— ) 

zu finden 12C 

Lösung der Gleichungen ( — j = l;^ — 1=^1. , . . 124 

Lösung der Congruenz ^' = q (mod.jj), wenn ;; eine Prim- 
zahl von der Form 4n + 3 ist 

Ueber die Congruenz z' = q (mod. p), wenn p i 
gesetzte Zahl ist 

Kapitel T. 

Ueber binomische Conflruenzen. 

Ueber die Coiigruenn x"'—! ^ {taaä.p], wenn p eine Prim- 
zahl ist 143 



133 



134 



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il Seitf 

32. Ueber die CongrueuB ^— ^ = (mod. p), wenD p eine Prim- 
zahl ist ISC 

33. Ueber die CoiLgiiienz x"— A =, 1} {moil X j , wenn iV eine zu- 
sammen gesetzte Zahl ist 159 

KiMJikI TT. 
Ueber Congruenzen von der Gestali 

ü' = A (mod. p), 

34. üeber die Congrueuz a" = ^ (mod. -p) im AllgemeiBsu und 

o' = 1 (mod. p) inabesondere 16S 

35. Ueber die Lösungen der Congrueuz u' = J (mod. p) . . ■ . 172 

S6. Ueber die Indices 175 

37. üeber die Lösung binomisolier Congruenzen mit Hülfe der 

Index-Tabellen 181 

88. Eigenschaften der primitiven Wurzeln 190 

39. üeber die Auffindung der primitiven WurKeln 192 

40. Zweite Methode zur Auffindung der primitiven Wurzülu . . 194 

41. üeber die Anzahl der primitiven Wurzeln 202 

Kapitel TU. 
Ueber Congruenzen zweiten Grades mit zwei Unhekcinnteii. 

42. Ueber die Congruena x' + Ay^ + if = (mod. f) . . . .207 

43. Üeber die Theiler der quadratieclien Form a^ ± Ay^ . . . 209 

44. Ueber die Bestimmung der Theiler einer Form x^ + Ay^, wenn 

A eine Primzahl ist 224 

45. Ueber die Eigenschaften allgemeiner quadratischer Formen . 238 

46. Ueber die Darstellbarkeit der Theiler von a;^ + Ay' durch 
quadratische Formen 24fi 

47. Die Bestimmung der linearen Theiler einer Form n:^ + Ih/^ mit 
Hülle quadratischer Formen . 2r>5 

K-iiitel Till 

Anwendung de TIeore de Vo ar e ze auf de Zerleuing o IzWei 
P mzahlfacto e 

48. Ze leg g 1 Zahl n n Pr mzal Ifa to 1 hie Bes n 
mung der Gestalt dei The le 273 

49. Be mm n 1er The le e ner Zahl der For n ±1 274 

50. Best mm ng le The le nZlle t Gr 11 Th o 

le Thele on ± 80 

Auliuiig I, 

Ueber quadratische Reste 393 



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Inhalt. xvn 

Seite 



Anhang II. 

lieber die Bestimmung der primitiven "Wurzeln 



Tabellen : 

Seite 

1) aller Primzahlen unter 10000[*)] . 1—5 

2) der pnmitnen Wurzeln und der ludices aller Primzalilmo- 

duln unter 200 6—21 

S) der lineaien Theilei 

a) der quadr'itisiihen Form x" + ai/ von u ^ 1, bis 

« = 101 22—26 

b) dei (iuadiativchen Form x^ — uiß von a =: 1, bis 

j = iOl 27—31 

Bemeiknng zui Teimmologic vom Herausgeber 32 

["") In den lussischen Ausgaben reichte diese Tabelle nur bis aur 
Primzahl 59ö7]. 



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Bemerkte Druckfehler. 

Sfiite 11 Zeile 4 v. u. Die Gleichung soll mit (3) numerirt werden. 

> 175 » 13 » » Lies; beweisen wir in. 

» 186 » 16 V. o Statt (mod.p), lies: (mod.p— 1). 

HS » 19 B >■ Statt wenn q, lies: wenn Ind. j. 

» 202 » 6 I » Krgaazc die feWeade Congruenz k = 3^ ; 

j> „ j> 9 » j ErgaTi/e Aie zwisclien 3 und 10 fehlende Zahl 5. 



Tabellen, 
pag. 8 Primzahl 59 Tilge die primitive Würze! 57, und setze dafür 56. 



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Theorie der Oinigruenzen. 

Einleitende Vorbegriffe. 

§ 1. Ueber das Wesen der Zahlentheorie und der Theorie der 
Congruenzen. 

JDie Zahle'ntheorie, oder anders genannt, die 
Transcendenie Ärithmetih ist die Wissen- 
schaß, toelche von der Löstmg anbestmmier Glei- 
chungen in gans!en Zahlen handelt. 
"Wälireiid diese "Wissenschaft den Begriff der Zahlen 
der Arithmetik imd den der Gleichungen der Algebra vind 
der transcendenten Anaiysia entleiht, ist sie gleichwohl 
von beiden letzteren Wiasensehaften wesentlich verschieden. 
Von der Arithmetik unterscheidet sich die Zahlentheorie 
insofern, als sie die Zahlen lediglich in Bezug auf ihre 
Fähigkeit unbestimmten Gleichungen dieser oder jener Art 
zu genügen untersucht und somit vollkommen unabhängig 
bleibt von dem Numerationssysteme, auf welchem die arith- 
metischen Operationen gegründet sind. Von der Algebra 
und den anderen Tbeilen der bestimmten Analysis unter- 
scheidet sie sich dadurch , dass sie sich bei der Untersvi- 
chung der Grleicbungen auf die ganzzahiigcn Werthc der 
Unbekannten beschränkt. 

Diirch ihre eigentbümliche Betrachtung der Zahlen 
sowohl, als der Grleichungen von einem ganz besonderen 
G-esichtsptinkte aiis , gelangt die Zablentheorie auf diese 
Weise zu vollkommen neuen Resultaten, welche dann zu- 
gleich für die Ärithmetih und fiii' die Theorie dei' be- 

lolisbfsclieif, ZalileuUieoii9. 1 



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2 Einl. §§ 1, 2. 

stimmten Grleiclimigen von hoclistw ßedei.tang werden. 
Der Arithmetik erleichtert sie Eecliimugen , welche sonst, 
wegen ungelieurpr Weitläufigkeit, unausP' lirbar gewesen 
wären. Der Algebra ofFnet sie einen 'Yeg zur Lösmig 
von Aufgaben , welche ohne ihre Hülfe als unlösbar er- 
scheinen. 

JeAe Gleichung, tvehhe mehrere Veränderliche, oder 
Unbelcannie mfhtüt, unterliegi einer Untersuchung 
von Seiten der Zahlentheorie. 
Indess sind nicht alle G-leichmigen für die Untersu- 
chung gleich zugänglich, auch nicht alle von gleich hoher 
Wichtigkeit in Bezug auf ihre Anwendbarkeit. 

In ihrem gegenwärtigen Zustande beschränkt sich die 
Zahlentheorie auf die Betrachtung der allereinfachsten Glei- 
chungen, welche zugleich die wichtigsten Anwendungen zu- 
lassen. 

Unter diesen Gleichungen verdienen diejenigen eine 
besondere ÄufmerJcsamkeit , welche eine der Unbe- 
kannten mtr in der ersten Potmte enthalten; sie 
sind beraerkenswerth sowohl durch ihre besonderen Eigen- 
schaften, als auch durch ilire Anwendbarkeit auf die Ver- 
einfachung arithmetischer Operationen und auf die Lösung 
von Aufgaben, welche die bestimmte Analysis betreffen. 
Solche Gleichungen sind es nun, welche den Gegen- 
stand der Untersuchung für die Theorie der 
Congrueneen ausmachen. 



§ 2. Ueber absolute Primzahlen. 

Bevor wir die Untersuchung der zuletzt hervorgeho- 
benen Gleichungen aufnehmen, werden wir uns ein wenig 
bei denjenigen Eigenschaften der Zahlen, welche zumTheil 
aus der Arithmetik bekannt sind, aufhalten, um dieselben, 
entsprechend ihrer Wichtigkeit, hier eingehend auseinan- 
der zu setzen. 

Man ffteüt die Zahlen ein in einfache und zu- 
sammen g es et sie Zahlen. 
Einfach heisst eine Zahl , welche nur durch Eins und 



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Eiul, § 2. 3 

durcK sich seibat theilbar ist ; eine solche wird auch Frim- 
eahl genannt. £ine susamm&nyeselete Zahl nennt man da- 
gegen eine solche , welche durch eine andere Zahl , die 
grösser als Eins ist, ohne Rest getheilt werden kann. So 
sind 

2, 3, 5, 7, 11, tind viele andere 
PrimBahlen , hingegen 

4, 6, 8, 9, 10 und andere dergleichen 
zusammengesetzte Zahlen. 

Man kann sich leicht überzeugen, dass es eine unend- 
liche Menge von Primzahlen giebt. 

Denn , lasaen wir das G-egentheil zu und nehmen an, 
es gebe eine gewisse endliche Zahl, welche die allergrösste 
unter allen überhaupt vorkommenden Primzahlen wäre tmd 
bezeichnen dieselbe mit N, so müssen wir zugeben, dass 
alle Zahlen, welche grösser als IN sind, lauter zusammen- 
gesetzte Zahlen seien , welche also durch Multiplication 
von gewissen Potenzen der Zahlen 

2, 3, 5, 7, 11 , N 

entstehen. 

Die Unrichtigkeit dieser Annahme geht aber aus der 
Zahl M, welche durch die Gleichung 

M=1.2.3.4.5 (N-l)Af-fl 

definirt ist, klar hervor, indem M oiFenbar grösser als N 
ist und doch durcb keine der Zahlen 

2, 3, 5, 7, 11, . . . ., i\^ 
ohne Rest theübar ist und somit nicht aus der Multiplica- 
tion von Potenzen dieser letzteren Zahlen entstehen kann, 
Polglich ist die Annahme , 

es gebe nicht unendlich viele Primzahlen, 
unzulässig. 

Das allereiufachste Mittel, um alle Primzahlen, welche 
kleiner als eine gegebene Grenzzahl N sind, zu erhalten, 
besteht darin, dass man in der ßeihe der Zahlen 
1, 2, 3, 4, 5, ü, 7, 8, 9, 10, ii, 12, 13, 14, , jV-1, N 



yGoosle 



4 Einl. § 2, 3. 

nach und nacli alle Vielfaclieii vou 



forfcläast. Dieses erreicht man offenbar dadurch, dass man 
in der Zahlenreihe 

1, 2, 3, 4, B, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1.2, 13, 14, , N-1,N 

jede zweite Zahl , anfangend hinter der 2 , durchstreicht, 
dann ehenao jede dritte Zahl hinter der 3, darauf jede 
vierte Zahl hinter der 4 etc. und ebenso allgemein jede 
wte Zahl, anfangend hinter der Zahl n. Auf diese Weise 
werden alle zusammengesetzten Zahlen [mitunter aueh 
mehrfach*)] durchstrichen, und undnrchstrichen bleiben nur 
die Primzahlen allein übrig. 



§ 3. Ueber relative Primzahlen. 

Zwei oder mehrere Zählen heissm relativ prim 

ßii einanä^, tvenn sie Iceinen gemeinschaftliehen 

Factor (Tkeiler) besitzen. So sind die Zahlen 10 

und 21 relativ prim zu einander. Aus dieser Definition 

relativer Primsc^ilen folgt, als specieller Fall, dass 

wenn A selbst eine Primzahl ist tmd B nicht theil- 

[*) Dieses Verfahren ist, weil dasselbe gewiss ermassen ein Aussie- 
ben der Hicht-priuinalilen bedeutet , unter dem Namen cribrum Era- 
tosthenis, nach seiuem Erfinder Eratostheiies (276 oder 275 v.Chr. geb. 
und ungef. 194 gest.) bekannt. Bei Eratostlienes sollen überhaupt nur 
die ungeraden Zahlen allein von vornherein aufgeschrieben werden, 
weil die 2, indem sie gerad ist, nach Jamblichus keine Primzahl sei, 
trotzdem sie Euclid „fehlerhafter Weise" unter die Primzahlen genählt 
habe. Vgl. Oantor, Geschichte der Mathematik, pag. 286. Die Re- 
gel für das Durchstreichen würde dann allgemein lauten müssen : mau 
duichst e he jede (2n + l)t= Zahl hinter {2n-|-l). Die Bemerkung, 
dass mau ke e d ichsti chene Zahl ala Ausgangspunkt einer neuen 
Äuss eb ng benutzen soll ist (obwohl auch bei Legendre aufgenommen) 
nicht n hve Ig und wohl deshalb hier weggelassen. Allerdings reicht 
e» hl wenn mau d e e nmil durch strichen en Zahlen nicht wieder be- 
nutzte indeas eihalt man wenn man sie wieder benutzt, das Gesetz; 

jede Zahl N — «"^y" wird genau [(n»+l)(i!+ l)(p+l) . . . .—2] 

mal durchstrichen.] 



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Einl. § 3, 4. 5 

har durch A , so sind Ä und B relativ pnm sm 
einander. 
Es können nämlich in der That J. und B in diesem 
Falle weder einenivon A verscHedeneu gemeinseliaftliclien 
Theiler besitzen, weil A als Primzahl durch keine andere 
Zahl theilbar sein kann ; noch können sie A selbst als ge- 
meinschaftlichen Theiler besitzen , da nach der Voraus- 
setzung S durch A nicht thellbar ist. 

Bemerken wir, dass, wenn B kleiner als A ist, dann 
B überhaupt durch A nicht tlieilbar sein kann, so können 
wir dem Obigen gemäss achliessen , dass wenn B kleiner 
aia A ist und A selbst eine Primzahl, so müssen die Zah- 
len A und B relativ prim zu einander sei». Diese Eigen- 
schaft der Zahlen können wir so aussprechen: 

Jede Zahl, welche kleiner ist als eine gegebene Prim- 
zahl, ist SU derselben relativ prim. 
So sind die Zahlen 

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
relativ prim an 11. 

Daraus folgt ferner: 

BelAehige'von einander' verschiedene, Frimsahlen sind 
relativ prim su einander. 



§ 4. Eigenschaften relativer Primzalilen. 

Wir wollen nunmehr uns eingehender mit den Eigen- 
schaften solcher Zahlen beschäftigen, welche relativ prim 
zu einander sind. 

1. Lehrsatz. Sind die Zahlen A tmd B einzeln re- 
lativ prim zu einer ZaJd S, so ist auch 
ihr Proäuct AB relativ prim zu S. 

Beweis. Um diesen Lehi-satz zu beweisen, suchen 
wir zunächst den grössten gemeinschaftlichen Theiler von 
A und S. Zu diesem Ende muss man, wie aus der Arith- 
metik bekannt ist , vorerst A durch S dividiren ; durch 
den gefundenen Rest dividirt man dann S ; durch den 
aeuerdings gefundenen Rest dividirt man darauf den ersten 



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6 Einl. § 4. 

Rest 11. s. w. Der letzte Rest wird in unserem Falle 1 
sein; weil A und S, als relative Primzahlen, keinen von 
1 verscHedenen gemeinschaftliclien Theüer besitzen kön- 
nen. Bezeichnen wir die durch die ebengedachtcn Divi- 
sionen successive erhaltenen Quotienten mit 

q, gi, g2, ■ . . -, q,,-i, 2"-ii 3.^ 
und die entsprechenden zugehörigen Reste mit 

r , j-j , ra , r„_2 , r„_i , r„ , 

setzen den jedesmaüg'en Dividendus gleich dem Prodncte 
aua Divisor und Quotienten plus dem zugehörigen Reste 
und berücksichtigen, dass der letzte Best r„ in unserem 
Falle 1 ist, so erhalten wir folgende Gleichungen : 

A =Sq -fr, 

S = rqi + r,, 

r = riqs + ''a, 

j-„_a= »■„^ig„+ 1, 
welche durch Multiplication mit B in 

iAB — BSq + Br, 
BS = Brqi + Bn, 
Br = Br,qs -\- Bn, 
Br„_2= Br„_]3„+ B 
iihergchen. Die erste dieser G-leiohungen sagt aus , dass 
ein gemeinschaftlicher Theiler von AB luid S auch ein 
Theüer von Br sein muss ; die zweite — , dass derselbe 
Theiler zugleich auch ein Theiler von Bri ; die dritte — , 
dass er auch ein Theiler von Bfa ; etc. und die letzte 
Grleichnng sagt dann, dass ein gemeinschaftlicher TbeUer 
von AB und 8 auch B ohne Rest theilen wird. 

Da aber B und S nach Voranasetznng keinen gemein- 
samen Theiler besitzen, so können auch AB und S keinen 
solchen haben, was zu beweisen war. 

Indem wir diesen Lehrsatz auf mehrere Zahlen A^ 
B, C, D, . . . . ausdehnen, welche zn So, Si, 83, .... 
relativ prim sind, überzeugen wii- uns leicht von der Rich- 
tigkeit des allger 



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Eiiil. § 4. 7 

Die Prodticte A BCD . . . . und So Si Ss . . . . 
sind relativ prim su einander^ falls die Zahlen 
A, S, C, D, .... einzeln relativ prim sind 2U ei- 
ner jeden der Zahlen So, Si, Si, . . . . 
Ferner können wir folgende Lelu^sätze leielit beweisen : 

2. Lehrsatz. Ist eine Zahl S ein Divisor eines Pro- 

ductes AB und relativ prim 0U einem 
der Factoren A, so ist dieselbe ein Di- 
visor des anderen Factors B. 

Beweis.- Wir stellen wiederum die Grleichungen (1) 
her und bemerken, dass die Theilbarkeit von AB durch 
iS die Tlieilbarkeit der Zahlen 

Br, Br-,, Br^, .... 
und schliessHcIi auch B durch S vorausaetzt; w. z. b. w. 

3. Lehrsats. Ist von mvei ZaUen A und B, welche wn 

einander relativ prim sind, eine jede ein 
Theiler von S, so ist auch das Product 
derselben AB ein Xheiler von S. 
Beweis. Bezeichnen wir den Quotienten, welcher 
aus der Division von S durch A erhalten wird, mit £, so 
haben wir für jS die Bestimmvmg 
8 = AI, 
woraus die Theilbarkeit von AL durch B iolgt, weil nach 
der Voraussetzung S durch B theilbar ist. Nach dem 
vorhergehenden Lehrsatze setzt aber die Theilbarkeit von 
AL durch Jf, .wenn B relativ prim zu A ist, voraus, 
dass L durch B theübar sein muss. Bezeichnen wir also 
den Quotienten, welcher bei dieser Division von L durch 
B entsteht, mit M, so erhalten wir die Grleiehung 

/. = BM, 
der zufolge die obige Gleichung in 
S = ABM 
übergeht. Daraus wird aber die Theilbarkeit von S durch 
AB, welches i,vir ja beweisen wollen, augenscheinlich. 



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8 Eiiii. ^ 4, :■.. 

Dehnen wir diesen Lehrsatz auf mehrere Zahlen ans, 
so können wir allgemein schliessen, dass 

tvenn eine Zahl S durch jede der Zahlm Ä, B, C, 
D, . . . . tkeilbar ist wnd A, B, C, D, . . . . re- 
lativ prim zu eincmder sind, dieselbe Zahl S durch 
das Product ÄBCD .... theilbar sein muss. 



§ 5. Ueber die Zerlegung der Zahlen in Pritnzahlfactoren. 

Wir wollen nunmehr zu denjenigen Eigenschaften der 
Zahlen übergehen , welche bei ihrer Zerlegung in Prim- 
zahlfactoren zum Vorschein kommen. 

Aus der Arithmetik ist bekannt, dass jede Zahl als 
Product von lauter Primzahlen dargestellt werden kann[*)]. 
Indem wir nun die verschiedenen Primzahlen , welche in 

einer Zahl N als Factoren enthalten sind, mit k, |3, y, 

und die entsprechenden Potenzen , in welchen jede dieser 
Primzahlen in N vorkommt, beziehungsweise mit m, n,p, — 
bezeichnen, erhalten wir 

JV == fk"' ß"" yv 

Aus dieser Gleichung schlicyscn wir auf Grund des 
Lehrsatzes 1 , dass N relativ prim ist su allen Frimmhlen, 
welche von a, ß, y, . . , . verschieden sind. 

In der That ist jede von a^ ß, y, . . . . verschiedene 
PrahnhS p' 'dV P"h 

D d Z 



D fi 8 E 



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EmI. § 5. 9 

len tt, ß, y, . . . . und folglich aiieli zu ihrem Ptoducte 

ecßy tmd mithin, nach Lehrsatz 1, auch relativ prim 

zu ff" ß^ y :... Daraus können wir nun allgemein schlie- 
ssen, dass keine Zahl durch eine Primzahl theilhar sein 
kann , welche nicht in derselhen als Factor enthalten ist. 
Es kann also die Zahl N, von welcher wir 

N = W" ß" y^ . . . . 
vorausgesetzt hahen, nur theilhar sein durch gewisse Po- 
tenzen der Primzahlen a, ß, y, . . . ., welche in derselben 
enthalten sind. "Was nun die Potenzen betrifft, so kann 
man sich leicht überzeugen , dass eine Theübarkeit durch 
a™', wennm'>-j», ebenso dnrch ß"', wenn n':>n, oder 
dnreh y»', wenn p':> p etc. nicht möglich ist. Denn da 
N = cC" ß" yf ist, so wird der Quotient aus der Divi- 
sion von TV durch «'"' in der Gestalt eines Bruches 



oder 



ßnyP_ 



erhalten werden, welcher für m' > »s keinesfalls eine ganze 
Zahl werden kann, weil k als eine von ß, y, . . . . ver- 
schiedene Primzahl, nach unserer soeben gemachten Be- 
merkung das Produot ß" y^ nicht' ohne Kest theilen 

kann. Mithin kann N nur theilbar sein durch solche Po- 
tenzen von n,ß,y, .. . ., welche respective die )»te, nte,^te, .... 
Potenz nicht überschreiten. Folglich ist N nur durch 
solche Zahlen theilbar m \\ eichen die Pnmzahlen cc ß y 
zu Potenzen enthalten =(ind die lesp die mte «te pie 
Potenz nicht übertreffen Somit eihalten wii folgenden 

4. LeJirsats. Urne Zahl N ist duidi etne Zahl M 

lim dann fkeilhai wenn alle PtimeaM 
FaUoten lon M m N enthatten sind 
undihe Potensen m A mtht mednqer 
sind als in M 
Auf Grund dieses Lehrsatzes beweisen wir nun fol- 
genden 

5. Lehrsats. Für eine Zahl JV ist nur eine einzige 

Zerlegung in PrimsaM ■ Factoren mög- 
lich. 



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10 Eiul. § 5. 

Betveis. Nehmen wir an, es gäbe für eine Zahl JV" 
zweierlei Zerlegaiigeii in Primzahl-Factoren, wie etwa : 

N = k"' ß" yf ; jy = af ß'^' ■]/( , 

SO würden wir durch Division je einer dieser Gleiclniugen 
durch die andere die Helatioaeii erhalten: 

d^ß^yp . _ a™'^J>f 

K'ßÜyl'- ■ ■ ■ ~ ' o!^'ß"yP.... ^ ^' 

Nach dem obigen Lehrsätze setzt die erstere dieser 
Relationen voraus, dass alle Primzahlen «i, ^i, yi, , . . . 
sich in der Reihe der Primzahlen a, ß, y, . . . . vorfinden 
nnd die zweite Relation setzt iimgekehrt voraus, dass alle 
Zahlen ci,ß,y,,.,, sich in der Reihe der Zahlen «i, ßi, yi, .... 
vorfinden ; woraus folgt, dass die Zahlen a, ß, y, . .. . keine 
anderen sind als «i, ßi, yi, .... Nehmen wir nun an, 
es sei 

« = Kl , ß — ßi, y = yi, . . . ., 

so folgt I nach dem vorhergehenden Lehrsatze , aus der 
Grleiebung 

dass nicht 

m'>- m; n' > n; p'^> p, .... 
ist, während aus der Grleichung 

<|5'i'>r ■ ■ ■ ■ , 



a'-ß-f .... 
umgekehrt folgt, dass nicht 

™ >- m' ; n > n' ; j? >- j)', . . . . 
sein kann. Aus der Vereinigung beider Gleichungen fin- 
den wir also, dass 

m = m'; n = n' ; p = p', . • . . 
sein muss. Folglich können die angenommenen zwei Zer- 
legungen der Zahl N weder in den einzelnen darin auf- 
tretenden Primzahlen, noch in den Potenzen, zu welchen 



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die betreffenden Primzahlen auftreten, sich von einander 
unterscheiden, wodurch die Richtigkeit des ausgespro- 
chenen Lehrsatzes < 



§ G. Lehrsätze, welche durch Zerlegung in Pnmzahlfactoren 
begründet werden. 

Als erste Anwendung, welche wir aus der Zerlegung 
der Zahlen in ihre Prirazahlfactoren machen, beweisen wir 
folgenden Lehrsatz. 

6. Lehrsatz. Ist N ein Theiler des Quadrates einer 

Zahl M, ohne sdhst durch das Quadrat 

irgend einer Zahl theilbar eu sein, so 

ist N auch Theiler von M. . 

Beweis. Indem wir die Zahl ?/ in ihre Primzahl- 

Factoren zerlegen, finden wir etwa: 

N = a'" ß^y^ . . . . 

Da aber N nach der Voraussetzung durch kein Qua- 
drat irgend welcher Zahl theilbar sein darf, so können in 
unserem Falle die Exponenten m, n, p, . . . . die Einheit 
nicht übertreffen; denn wäre etwa nicht m < 2, so würde 
JN offenbar durch «' theilbar sein ; oder, wäre nicht « <c 2, 
dann würde N durch ß^ theilbar werden, etc. Folglich sind 
in der vorhergehenden G-leiehung alle als von Null verschie- 
den vorausgesetzten Exponenten m, n, p, . . . . gleich 1, 
so dass wir erhalten; 

N= aßy ...., 
wobei a, ß, y, . . . . von einander verschiedene Primzah- 
len sind. Nachdem wh' uns davon überzeugt haben, zer- 
legen wir auch die Zahl M in ihre Prirazahl-Factoren und 
erhalten etwa: 

M = a^' ß"' y^^' . . . ., 

wobei «1, ßj, yi, . . . . von einander verschiedene Prim- 
zahlen bedeuten. Erheben wir beide Seiten dieser Grlei- 
chung zum Quadrat, so erhalten wir : 



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M'^ = af"' ßf ff .... 

und indem wir tms erinnern, dass nack der Voraussetzung 
M'^ durch N theilbar ist, wohei 

N=,ßr 

schlicssen wir nach Lehrsatz 4 hieraus , dass alle Zahlen 
a, ß) y, . . . . unter der Reihe der Zahlen ki, ßi, j-i, . . . . 
sich vorfinden, und dass ihre zugehörigen Exponenten in 
M'^ nicht Null sind. Folglich sind alle in JV enthaltenen 
Primzahlfactoren a, ß, y, . . . . auch in M enthalten, mit- 
hin ist M durch jede der Primzahlen a, ß, y, . . . . und 
somit (nach Lehrsatz 3) auch durch das Product dersel- 
ben, nämlich durch N, theilhar, w. z. h. w. 

Bemerken wir z. B., dass 15 nicht durch das Quadrat 
irgend einer Zahl theilhar ist, und daas 16 ein Divisor ist 
von 2025, welche Zahl gleich ist 45^, so können wir 
daraus schliesaen, dass 15 auch ein Theilcr von 45 sein 
muss; 

7. Lehrsatz. Die Me Wursel einer Zahl N icann nur 

dann eine ganse Zahl sein, wenn alle 

Exponenten der in N enthaltenen Prirn- 

eahlen Vielfache sind von h. 

Beiveis. Die Zerlegung der Zahl N sowohl, als 

auch ihrer Atea "Wurzel in Primzahl -Faetoren mag etwa 

ergehen : 

^N = «r'^i'n'- ■ ■ ■ 

Erheben, wir beide Seiten der zweiten Q-leichung zm: 
Äten Potenz, so erhalten wir mit Berücksichtigung der er- 
sten Gleichung folgende zweierlei Zerlegungen ciuer und 
derselben Zahl iV in Primzahl-Factoren : 

iV' = ß"> j3» yP 

N = a^ßT'yY 

Nach Lehrsatz 5 müssen aber beide Zerlegningen mit 
einander identisch sein, so dass die Zahlen a, (3, y, . . . . 
unter den Zahlen der Reihe ßi, (5i, j-i, . . . . und ebenso 



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EM. 5 6. 13 

die Zahlen m, n, p, . . . . untev den entsprechenden Zah- 
len der ßeihe hm', hn', hp', .... ihre Grleiehen Laben 
müssen. Dieser letztere Umstand zeigt aber Idar, daas 
die Exponenten m, n, p, . . . . gewisse Vielfache der Zahl 
h sind, was in unserem Lehrsatze behauptet wurde. 

Finden wir z. B., dass 576 gleich ist 2^. 3^, und be- 
merken, dass diese Exponenten 6 und 2 den einzigen ge- 
meinschaftlichen Theiler 2 besitzen , so können wir den 
Schluss ziehen , dass unter allm möglichen "Wurzeln der 
Zahl 876 nur die Quadratwurzel allein eine ganze Zahl 
sein kann. 

8. Lehr s ata. Hai eine Zahl N bei ihrer Zerlegung 
in Primzahl- Factoren die Form 

s- cfr' 

SO betrügt die Summe 8 aller verschiede- 
nen Divisoren von N 

S _ «'^'— 1 ^"+'— 1 yp+'— 1 

~ «— 1 ' ^1~ • ~P-Y' ' 

tmd die Anzahl Ä derselben ist 
A =(m + l) (n + 1) (p + 1) .... 
Beweis. Nach Lehi'satz 4 kann die Zahl N, welche 
dem Producte 

K» ^r^ .... 

gleich ist, nur durch Zahlen von der I"orm 



theU-bar sein , wobei m' ^ni; ra' < « ; p' ^ p, . ■ . . sein 
muss, Alle Divisoren der Zahl N werden daher durch 
alle möglichen Werthe des Productes 



welche den "Werthen 




.»• = 0, 1, 2, . . 


., »1-1 


»' = 0, 1, 2, . . 


., «— 1 


p' = 0, 1, 2, . . 


. .. J— 1 



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14 Einl. § 6. 

entsprechen, l^estimnit. Folglich miiasen sich alle Diviso- 
ren unter der ßeihe von Grliedern finden lassen , welche 
aus der ausgeführten Mnltiplieation der Ausdrücke 

(,'+« + «'+... + ,'-' + »-), 
{ß' + ß + ß'+ ■ ■ ■ + ß-' + (j"), 

(r' + r + r'+ ■ ■ ■ + r'^' + y), 



zum Voradiem kommen. Mitlün wird [*)] die Summe aller 
möglicben Divisoren der Zahl jV durch das Product 
(»•+« + ««+.,.,+ «■•) {li'+ji + p+.... + ß.') 

(.7' + r + 7'+ — + y') — 

vollatändig iDestimmt, welelies, da 

K""+'— 1 
«•+. + «' + .... + «-- *^ji , 

ß'+ ß + ß' + .... + ß'= ^J-, 

yP+l 1 

r'+ r + r' + ■■■■ + 1" " 



r-i 



ist, das Product 

«"^1-1 ß"+'—l yP+^-4 
«_1 ■ ,3_l ■ y—l ■ ■ ■ ■> 

ausmacht, wie im Lehrsatze behauptet wurde. 

Was ferner die Ansaht aller Divisoren von N betrifft, 
so wird dieselbe durch die Anzahl der Grlleder bestimmt, 
welche beim Ausführen der Mnltiplieation des Produetes 

(«^ + «^ + «' + ■■■■ + ««) 
(ß" -\- ß -\- ß' +....+ ß'^) 

(j,o -l_ j, -j. j,s ^ — -K r^) ■ ■ . . 



erhalten weiden, oder, was dasselbe ist, dui^h den TT'e>//( 
dieses Produetes, wenn dann 



[*) da offenbar auch ujnffetehrt jpdee Gliod der au^jetuhtten Miil 
tiplicatioü der vorgeschrieheiion ^.usdiucke ein Dinsoi von N ist und 
da es ebenso klai ist, dass diese Glied ei alle lon einander ^eischieden 
Bind,] 



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« = 1. ß-l, 7-1 

gesetzt wird. Mitbin ist die Anzahl aller Divisoren von 
JV genau 

(.» + 1) (« + 1) (3) + 1) 

w. z. b. w. 

So beträgt z. B. bei der Zahl 72, welclie gleich ist 
2° , 3^ die Summe aller Divisoren 

2-1 • 3-1 - "^' 

wälirend dio Anzahl aller Divisoren von 7'2 

(3 + 1) (2 + 1) = 12 
ist. Von der Richtigkeit dieser Behauptungen überzeugen 
wir uns, indem wir bemerken, dass alle Divisoren von 72 
die Zahlen 

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72, 
sind', deren Summe gleich 195 vmd deren Anzahl 12 ist. 
9. Lehrsatz. Hat eine Zahl N hei ihrer Zerlegung 
in PrimzaM-Fadoren die Gestalt 

N = cc"' ß"']^ . . . ., 
wobei mindestens einer der Exponenten 

m, n, p, . ... 
eine ungerade Zahl ist, so sind für die 
Zahl N 

^{m-\-l) (n + 1) Q) + 1) . . . . 
verschiedene Zerlegungen m nvei Fac- 
foren nioglKh 

Sind aber sdmmthche Ej.ponenten 
m, n, p, . . . . 
gerade Zahlen, so stnd fur N 

i («. + 1) (» + 1) (i< + 1) . . . . + i 

Zerlegungen m je zwei Facto} en möglich. 

Beweis. In dem ersten Falle, wenn mindestens eioer 

der Exponenten ni, n,p, . . . . ungerade ist , giebt es nach 

Lehrsatz 7 keine einzige Zahl, deren Quadrat gleich wäre 

N] mithin kann JV nicht zerlegt werden in zwei Factoren, 



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16 Einl. § 6. 

welche einander gleich wären. Jede Zerlegung der Zahl 
I^ in zwei Factoren bestimmt somit zwei Divisoren der- 
selben. Daraus erhellt [*)], dass die Anzahl aller möglichen 
Zerlegungen der Zahl N in zwei Factoren die Hälfte von 
der Anzahl aller Diviaoren derselben ausmacht, was nach 
dem vorhergehenden Lehrsatze 

H» + 1) (» + 1) (P + 1) . ■ . . 

beträgt. 

In dem zweiten Falle, wenn alle Exponenten 7n,n,p, 

gerade Zahlen sind , wird unter den Zerlegungen von JV 
in je zwei Factoren eme[**)] solche Zerlegung vorhanden 
sein, bei welcher beide Factoren einander gleich sind, so 
dass dieselbe nur einen Divisor der Zahl N bestimmt. 
Dann liefert aber jede der übrigen Zerlegungen , ebenso, 
wie im ersten Falle, je zwei Divisoren, Bezeichnet man 
also die gesuchte Anzahl der Zerlegungen von N in je 
zwei Factoren mit K, so erhält man für die Anzahl der 
Divisoren von N den Werth 

1 + 2 (Z-1). 

Nach dem vorhergehenden Lehrsatze ist aber die An- 
zahl der Divisoren von iV: 

(«. + 1) (» + 1) (p + 1) . . . . ; 
folglich hat man : 

1 + 2 (K-1) = (« + 1) (» + 1) (p + 1) 

woraus wir für die gesuchte Zahl K der. Werth 

erhalten, was zu beweisen war. 

So muss z. B. für die Zahl 72, welche gleich ist 2', 3^, 
K= i(3 + l)(2 + l) = 6 
die Anzahl der Zerlegungen in zwei Factoren sein. 

[*) weil offenbar auch umgekehrt zwei Zerlegimgcii nicht einen Divi- 
sor gleich haben liunneu, ohne auch in dem and&m Divisor überein- 
zustimmen und somit als eine und dieselbe Zerlegung gezählt xw wer- 
den und iolglich alle yerscbie denen Zerlegungen lauter von einander 
verschiedene Divisoren liefern,] 
[**) und offenbar nur ei'jif]. 



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Indem man die Zerlegungen von 72 in je zwei Fac- 
toren wirklich ausfülirt, findet man in der That, dass nnr 
folgende 6 möglich sind : 

1. .72; 2 ,36; 3.24; 4.18; 6.12; 8.9. 

Für die Zahl 36 dagegen , welche gleich ist 2^ . 3^, 
wird die Anzahl der Zerlegungen in je zwei Factoren 

j: - 1(2 + 1) (2 + 1) + i _ B. 

In der That sind für 36 folgende 5 Zerlegungen in je 
zwei I"actoren möglich ; 

1 .36; 2.18; 3 .12; 4.9; 6. 6. 
[Mr die Zahl 1296 = 2' . 3« sind folgende 
1(4 + 1) (4+l)+i_ 13 
Zerlegungen in je zwei Factoren mögKch : 

1.1296; 2.648; 3.432; 6.216; 8.162; 9.144; 12.108; 
16.81; 18.72; 24.54; 27.48; 36.36.] 



§7. Ueber Zahlen, welche eine arithmetische Progression 
bilden. 

Bevor wir weiter gehen, wollen wir noch in Bezug 
auf die Tbeilbarkeit von Zahlen, welche eine arithmetische 
Progression hilden, einen Satz beweisen, den wir hier und 
in der Folge gebrauchen werden. 

10, Lehrsatz. Ist in einer ariffimetischen Progression 
ans mp Gliedern die Differenz d re- 
lativ prim ml p, so sind stets m die- 
ser Glieder durch p theilbar. 
Beioeis- Die zu betrachtende Progression mag die 
Gestalt haben: 

ö, a-\-d, a + M, a + {mp~2)d, a + {mp—l)d, 

wobei d relativ prim ist zu p. Diese Reihe von Grliederu 
kann man in m folgende Reiben: 



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:m 



18 Einl. § 7. 

a+ä, «+2(^, ....,a-\-(p-l)d, 

aJ^{m—V)pd, a+{m-'l)pä+d,a-i-{m—l)pd-\-2d, ...., a-}-(m2y—-i.)d 

vertheilen und es ist leicht sich zu üherzeiigen, dasa jede 
dieser m Reihen ein Glied besitzt , welches durch p theil- 
bar ist. ITra dieses einzusehen, betrachten wir unter den 
m Reihen die allgemeine derselben 

a+npd, a + npd-l-d, a-j-npd-\-2d, , a-{-npd-\'{j}—l')d, 

in welcher n eine der Za]iien bedeutet zwischen Null und 
m— 1. In dieser Reihe können nicht zwei Glieder esisti- 
ren, welche nach Division derselben diu'cäi p gleiche Reste 
liefern sollten , weil dann die Differenz zweier solcher 
Glieder diu'cb p theilbar wäre, was unmöglich ist. Denn 
die Differenz irgend zweier Glieder dieser Reihe ist durch 
ein Rroduct h . d darstellbar, wobei d, nach der Voraus- 
setzung , relativ prim zu p ist , während füi- h die Bedin- 
gung besteht h ^p, so dass diese Differenz /.: . d nach 
Lehrsatz 2 durch %) nicht theilbar sein kann. Sind nnn 
die Reste , welche nach der Division der einzelnen Glie- 
der der Reihe 

a-\-iii'd: a-\-npd']-d, a -^ npd -^-'M , n-{'Upd-{-ij} — \)d 

durch p erhalten werden , alle von einander verschieden, 
so dass nicht mehr als dn solcher Reat der Null gleich 
sein knun , so wird andererseits einer dieser Reste unbe- 
dingt Null sein müssen. Denn würden wir das Gegen- 
theil annehmen, und bemerken, dass für die Reste, welche 
eine Zahl überhaupt nach der Division derselben durch p 
liefern kann, ausser der Null nur noch die p—l möglichen 
Werthe 

1, 9, 3, ...., p-\ 



yGoosle 



übrig bleiben, so würden wir zugeben müssen, daas unter 
den p Resten, welcte die p Grlieder der Eeihe 

a-\-wpd, a-\-npd-\-ät a-\-npd-\-^d, . . . ., a-\-npä-\-{p—-l)d 
nach ihrer Division durch p liefern , mindestens zwei ein- 
ander gleich seien , was nach dem oben Bewiesenen un- 
möglich ist. 

Haben wir uns auf diese Weise überzeugt, dass in 
der allgemeinm Reihe 

a~\-npd, a-]-npä-{-ä, a-\-npd-\-2ä, . . . ., a-\-npd-\-{p—Vjd 
und folglich in jeder Reihe des Reihenaystems (3) die An- 
zahl derjenigen Grlieder, welche durch p theUbar sind 
gleich 1 ist, so schliesaen wir, dass in allen m Reihen (3) 
zusammen genau «i Grlieder durch p theilbar sind. Die 
Greaammtheit der Reihen (3) stellt aber, wie wir gesehen 
haben, die von uns betrachtete ^Progression aus mp Grlie- 
dcrn 

a, a-^rd, a-^2ä, . . . ., a-\-{mp—^)d, a-\-{mp~l)d 
dar, und so folgt daraus die Richtigkeit unseres Satzes. 

Ans diesem Satze läast sich ohne Schwierigkeit fol- 
gender Lehrsatz herleiten: 

11. Lehrsati'. Ist a eine Frimsahl und A relativ 
prim zu o, so verhält sieh in der 
Reihe der Zahlen 

1,2, 3, , a^JV— 1, aÄ2} 

die Änsahl derjenigen ihrer Glieder, 

welche relativ prim sind su Ä, Mir 

Amahl solcher Gliedei; welche stigMch 

au Ä und zu a relativ prim sind, 

wie a ^u a^l[*)]. 

Beweis, In der Arithmetik wird bewiesen, dass der 

grösste gemeinschaftliche Theiler zweier Zahlen X und Ä 

zugleich auch der grösste gemeinschaftliclie Theiler ist 

von A luid von dem Reste, welcher nach Division von X 

[*) Beaeiohnet man die Anzahl derjenigen Glieder der genaiintea 
Reihe, welclie relativ prim sind üii A, etwa mit 31 und die Anzahl 
derjenigen, welche zu A und zu « relativ prim sind, mit a, so ist 
3t : a = a: {a-l)\. 



yGoosle 



20 Einl. § 7. 

öiirch A erhalten wivil[*)]. Daraus folgt, dass wenn X 
und A Jeeinen geraeinacliaftlichen Theiler besitzen, dann 
auch der Rest bei der Division von X durch A ebenfalls 
relativ prim zu A sein muss und umgekehrt ; ist der Rest 
bei der Division von X durch A relativ prim zu A, so ist 
auch X relativ prim zvi A. "Weil aber der Rest bei der 
Division irgend einer ZalJ dvirch A inimer kleiner sein 
muss als ^ , so wird der Rest der Division von X durch 
A, wenn X relativ prim ist zu Af immer eine der Zahlen 
sein-, welche kleiner als A und relativ prim sind zu A. 
Mögen min 

die Zahlen sein, welche kleiner als A und relativ prim zu 
A sind; dann ist es leicht die Gestalt einer Zahl X so 
zu bestimmen, dass der Rest der Division derselben durch 
A einer der Zahlen a', «", «"', . . . ., «<"' gleich werde. 
I^^it z. B. eine Zahl X nach Division durch A den Rest 
«' liefere, bezeichnen wir den Quotienten der Division von 
X durch A mit in' und erhalten für X, indem wir den 
Dividendus der Summe des Productes von Divisor und 
Quotienten plus dem Reste gleich setzen, folgende Formel : 

X = k'+ m'A. 
Ebenso finden wir für die Zahlen , welche nach Division 
durch Ä die Reste ß", a'", . . . ., «<"' liefern die analogen 
Formeln : 
X = «"+ m"'A ; X = k"'+ m"'A ; ; X = «W + mWJ.. 

Mithin werden alle Zahlen, welche nach Division durch 
A die Reste «', «", a"', .... «*"' liefern und somit nach 
dem oben Bemerkten relativ prim zu A sind, in der Form 

X = a-\-m'A; X = tf+mTA; X = «"'+)h'"^; ; 

X = «("> + mCO^ 



[*) Der Beweis hierfftr erfordert bekanntlich nur die Bildung eines 
SystetDS von Gleichungen, das dem bei Lehrsatz 1 pag. 6, aufgestellten 
ähnlich ist und durch die wirkliche saccessive Division zwischen X, A 
und deo aufeinanderfolgenden Eesten entsteht. Es wird dann der letzte 
Rest r, der grösate gemein sciiaftliche Theiler, woraus die obige Be- 
hauptung unmittelbar erhellt.] 



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Einl, § 7. 21 

dargestellt werden. Mit Hülfe dieser Formebi können wir 
nunmehr leicht die Richtigkeit unseres Lehrsatzes beweisen, 
Zu dem Ende bestimmen wir nach diesen Formeln 
alle Zahlen , welche kleiner als aAN und relativ prim zu 
A sind, indem wir den Grrössen m', m", m'", . . . ., iw'"' die 
"Werthe 0, 1, 2, 3, etc. beilegen und zwar so lange fort- 
gesetzt, als nur die durch diese Formeln bestimmten Zah- 
len die Zahl dAn nicht übertreffen. 

Auf diese Weise finden wir, dass alle Zahlen, welche 
kleiner als aÄN und relativ prim zu A sind, durch die 
Zahlen 

a' , ff' +A, «■ +2A, , a' -f {aN—l)A, 

a" , r' -^A, a" +2A, , a" ^{aN—l)A, 

ß'" , k'" + A, a"' + 2A, , k"' + iaN—l)A , 

«1«), a<-"i-^A, a(">+2A, , «'"'+ (nJV~-l)4 

repräaentirt werden, deren Anzahl, wie man leicht ersieht, 
genau aNn beträgt. 

Jetzt ist es aber auch leicht die Anzahl derjenigen 
Zahlen zu bestimmen, welche Meiner als aAN und relativ 
prim sind zu A und zu a. Dazu genügt es, unter den 
ebengefundenen Zahlen , welche relativ prim zu A sind, 
die Vielfachen von a, auszuscheiden; denn, da a, nach 
Voraussetzung, Primzahl ist, so sind alle durch a nicht 
theübaren; Zahlen, nach § 3, relativ prim zu a. Nach dem 
vorhergehenden Lehrsätze sind aber unter den aN Glie- 
dern der Reihe 

«', a'-\-A, «'+2^, k'+3^ , a'-j-{aN—l)A, 

N Glieder enthalten , welche durch a theilbar sind ; folg- 
lich ist in diesem FaUe die Anzahl derjenigen Glieder, 
welche zu « relativ prim sind, aN — N, oder (a — 1)N. 
Dasselbe bemerken wir bei den übrigen Reihen : 

«" , a" +J., «" +2^, , «" ^{aN—l)A, 

«"■ , «'" +^, «"' + 2A, , a"' + (aN-~l)A, 

d">, ttW+^, aW+2^, . . . ., «('■)+ («iY-l)A, 



yGoosle 



22 Kiiil § 7. 

Daraus folgt, dass die Anzahl aller Zahlon, die kleiner 
als aAn und relativ prim siad zu A und a, gleich ist 
(a — l)iVM. ^Folglich verhält sieh diese Anzahl zu der ohen 
gefundenen Anzahl aAn aller Zahlen, die kleiner als aAN 
und relativ prim zu A sind, wie (ß— 1) zu o[*)], was wir 
beweisen wollten. 

Mit Hülfe der oben bewiesenen Lehrsätze , sind wir 
nun im Stande folgenden Lehrsatz zu beweisen. 

12. Lehrsats. Hat eine Zahl N hd Zerlegung in 
Primjsahlfacioren die Gestalt 
N = «"' ß" -j^ . . . . %', 
so stellt 

i"' « () r « 

die Aneakl (dler Zahlen dar, -welche 

kleiner als A und relativ pri/in zu N 

sind [**)]. 

Beweis. Mit Hülfe der vorhergehenden Lehrsätze 

kann man leicht zeigen , wie viel Zahlen es in der Reihe 

1, 2, 3 , K™ /3" j* n'- 

giebt, welche zugleich relativ prim sind zu k, zu ß, zu 7, 
.... und zu 3t. Zu diesem Zwecke schreiben wir diese 
üeihe in Gestalt einer arithmetischen Progression mit der 
DiiFerenz 1, und zwar so; 

1, 1 -f 1, 1 + 2.1, , 1 4- (ß «'"-■' /3" yp !r^— 1). 

Nach Lehrsatz 10 schiiessen wir, dass die Anzahl derje- 
nigen Grlieder dieser lieihe , welche durch a theilbar sind, 

[*) Bezeichnen wir also unter den Z liie vel lie kle ner als aÄ 
Bind, die Anzahl derjenigen, welche za A i\ 1 reKt t p m ? nd t n 
und die Anzahl derjenigen, die nur 7 A reiat prim s d m il so 
ist 91 = oNn; a = ia-i)Nn, also % a = ( —I)] 

[**) Bezeichnet man also, wie nacl Gauss in de Zahlentheor e uhl cU 
geworden , die Anzahl aller Zahlen , ■welche kleiner als eine Zalil JV 
und relativ prim zu N sind, mit ^(N) und ist JV" ~ R'"ß"y>' . . ..n'', so 

a ß y n 



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Ein!. § 7, 23 

ci'ii-' ß" y? . . . . 7t'' sein wh'd[*)], und somit werden alle 
übrigen Grlieder dieser Reihe, deren Änzalil 

a'" ß" yP Jt'' — «"'-^ ß" y'P ....if' = «"' ß" y>' .... tC' . 

ist, relativ prim sein zu a (s, § 3). In der Reibe 

1,2, 3, ...., K'" ß'' f . . . . if- 
sind also genau 

Grlieder relativ prim zu k. 

Daraus folgt nach Lehrsatz 11, dass die Anzahl der 
Grlieder, welche zugleich relativ prim sind zu « und zu (5, 
oder, was dasselbe ist, zum Producte aß, genau 
ß-1 ß-1 

beträgt ['^''')1. Wissen wir nun, dasH in der Reibe 

1, 2, 3, . . . „ «■" (3" j"' . . . . %' 
die Anzald der Grlieder, welebc relativ prim zu der Zahl 
aß sind, 

ß--l 3—1 

beträgt, so scliliessen wir ferner daraus nach demselben 
Lehrsatz 11, [indem man dort Ä =^ aß und a ~ y setzt], 
dass in derselben Reihe die Anzahl der Grlieder , welche 
relativ prim sind zu aßy genau 

ce~l ß—1 y—1 

«"* ß"yf 7t> . ■ . — -■ . 

'^ ^ a ß y 

beträgt ; u. s. w, Auf diese Weise finden wir endlich, 

dass die Anzahl der (ilieder, welche relativ prim sind zu 

aßy . . . . a genau 

[*) Man braucht nur in Lehrsatz 10 die Wcrtke p ^= a und 
)ft = (('»~i ß' yp . , , . jii' einzusetzen], 

[**) Man braucht nur in Lehrsatz 11 in der Formel ^-.a^ a:{a—l), 
oder = *ä dio Wertbe Ä =-- «; a = (3 zu sotzeii]. 



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. «,. , , «-1 (*-! J—l "-1 

a-r,.. ...... _^ .. --. ^ ....--_^- 

beträgt. 

Somit haben wir die Anzahl der Zaldeii, welche rela- 
tiv prini za aß-y .... je und klemer als K"'/J"yP . , . , re' sind, 
bestimmt. Es ist aber dieses vollkommen gleichbedeutend 
mit der Anzahl derjenigen Zahlen, welche relativ prim sind 
zu N, oder, was dasselbe ist, zu k"' ß^ y^ . . . , ^, die wir ei- 
gentlich suchen; weil alle Zahlen, welche zu a"'ß"y^ — ^' 
relativ prim sind , auch relativ prim zxi c/.ßy . . . .^ sein 
müssen und umgekehrt. Davon überzeugen wir uns durch 

den Umstand, dass sowohl zu- te'ß'^yv %'\ als auch za 

aßy % irgend eine Zahl relativ prim sein wird, wenn 

in ihren Bestandtheilen keine der Zahlen a,ß,y, , re als 

Factor vorkommt und im entgegengesetzten Falle wird 
dieselbe weder zu (fß^^f — s"', noch zu ußy x rela- 
tiv prim sein. 

Es giebt also wirklieh der Ausdruck 

„, ^ K~l 3—1 y—1 it—l 



genau an, wie viele unter den Grliedem der Reihe 

1, 2, 3, ...., K™^"/ .... ji«' 
relativ prim sind zu «"' ß'"'y^ . . . . jf ', was bewiesen werden 
soUte. 

Um z. B. zu erfahren wie viel Zahlen kleiner als 36 
und relativ prim zu 36 sind, zerlegen wir 36 in Primzahl- 
factoren. Indem wir nun finden, daas 36 = 2^.3^ ist, 
sehliessen wir nach unserem bewiesenen Lehrsatze, dass 
die Anzahl aller Zahlen, welche kleiner als 36 und relativ 
prim zu 36 sind, genau 

beträgt. In der That finden wir unter allen Zahlen von 
1 bis 36 folgende 12 ZaUen 



1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 83, 25, 29, 31, 35, 



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Ein], g 7. 25 

flie relativ prim sind zu 36; alle übrigen 23 Zalilen 
2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 

27, 28, 30, 32, 33, 34, 
besitzen mit 36 gemeinschaftKclie Theiler. 

Hiermit schliessen wir nun die Auseinandersetzung 
derjenigen Eigenscbaften der Zahlen, welche für die Be- 
gründung des Folgenden nothwendig sind und gehen nun- 
mehr zu der Untersuchung der Congriienzen über. 



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Kt(])itel I. 

Ueber Congruenzen im AllgemeitiGti. 

§ 8. Ueber den Begriff einer Congruenz. 

Die Theorie der Congruemeii hat zum Gegenstand ih- 
rer Untersuchungen diejeiiigeii unbestimmten Grleichungen, 
welche eine der Unbekannten in der ersten Potenz ent- 
halten. Die allgemeine G-estalt solcher Grleichungen ist 

F(x,y,s, ) = ^w + Ji, 

wubei F eine gegebene Function bedeutet und A, wie B 
bestimmte Zahlen sind. Da solche G-leichungen sehr dft 
gebraucht werden, so hat man iiir dieselben eine besondere 
Bezeichniing eingefiihrt, welche auf folgender Betrachtung 
beruht. Es ist nämlich leicht zu bemerken, dass, bei der 
Unbeatimmtheit des "Werthes der Zahl u, die Grleichung 

F(x,y,^,...) = Au^B, 
auf die Porm 

F{x,y,^,...:)-li ^ 
A 
gebracht, nichts Anderes besagt, als die Theilbarkeit der 
Differenz F(x, y,s, . . . .)—B durch A. Mau kann daher 
diese Grleichung auch so schreiben; 

F{x,y,s, ) = B (Med. ^), 

indem man nämlich ein für alle Mal mit dem Zeichen =, 
welches zwischen zwei Zahlen gesetzt wird, die Theilbar- 



y Google 



Kap. I, § 8. 27 

keit der Differenz dieser Zahlen durcb eine dritte Zahl, 
welche letztere mit voranstehendem Worte Mod. [Abkür- 
zung von „modulo"] in runden Klammem beigesetzt wird, 
auadrückt. 

So werden wir z, B., nm die Theilbarkeit der Diffe- 
renz 17 — 5 durch 3 anazudröeken , es so schreiben : 

17 = 5 (mod. 3). 
Änsdnd'' ton dtfser Gestalt: 

M = N (mod. A) 
sind latti bclaiuä untei ämi limien „Gongrtien een'', 
die Zahlen M und N nennt ma» „einander congruent" 
nach dem Modul A, dte Zahl A heisst „der Modul der 
Coiiyt uen,. " [Man druckt damit aus, dass die Differenz 
beider Zahlen 1^1 und JV nach Division durch A den Hest 
NuU liefert. Hat man anstatt einer Zahl M die Zakl N 
gesetzt, 50 hat man einen Fehler von M — N gemacht. 
Kommt es jedocli bei einer gewissen Aufgabe nicht auf 
die Zahl selbst, sondern nur atif ihren Rest an, welchen 
man erhält nach der Division derselben durck A, so hat 
man durch ein solches Ersetzen von M durch N gar kei- 
nen Fehler verursacht, wenn die Differenz M — JV nach 
Division durch A überhaupt keinen Rest giebt. Es ist 
also in solchem Falle gleichgültig, ob man M oder N 
nimmt. Diese Aeq^uivalenz von M und iV in Bezug auf 
ihre Theilbarkeit durch A ist es also , welche man mit 
dem Ausdrucke : „M und JV sind einander congruent, oder 
M ist congruent JV nach dem Modul A" aussagen will]. 
Uehrigens können die Zahlen, deren Congruenz behauptet 
wird, positiv oder negativ sein; in allen Fällen bedeutet 
der Ausdruck 

M = N (mod. A) 
die Theilbarkeit der [sogenannten] algebraischen Differenz 
M—N durch A. Die Zahl A, d. h. den Modul der Con- 
gruenz, werden wir dagegen immer positiv voraussetzen, 

Wir bemerken zunächst, dasa nach der eben ausein- 
andergesetzten Bezeiclmimg immer 
M=r (mod. A) 



yGoosle 



28 Kap, I, S 8- 9. 

sein wii'd, wenn r der liest der Division von M durch Ä 
ist j denn bezeichnen wir mit g den Quotienten der Divi- 
sion von M durch A und setzen den Dividendus gleich 
der Summe des Prodiictea von Divisor und Quotienten 
pU^s dem Reste, so erhalten wir 

M == Äq -\- r, 
woraus sofort erhellt, dass die Differenz von M und r 
durch A theilhar ist. 

Es ist nicht scliwer sich auch von der Richtigkeit der 
Unilfehining zu überzeugen ; nämlich, dass, wenn bei posi- 
tiven M und r die Zahl r kleiner als A und congruent 
ist M nach dem Modul A , dann r der Rest der Division 
von M durch A sein muss. Denn aus der Congruenz 

M = r (mod. A) 
folgt 

-A- = '■' 
wobei q irgend eine ganze Zahl ist; mithin ist 
M = Aq-\' r; 

und diese G-leichimg stellt, bei r <: A und r^O, die Zahl 
r als Rest der Division von M durch A dar. 

Aus dem Umstände nun, dass der Dividendus immer 
congruent ist dem Reste, wenn der Divisor als Modul ge- 
nommen wird, folgern wir als speciellen Fall, dass wenn 
M durch A ohne Rest theilhar ist, dann 

M=0 (mod. Ä) 
sein wird. 

Aus diesem Grunde werden wir häufig sagen : 
„eisie Zahl sei congruent Null nach dem Modul A", 
anstatt zu sagen : 

die Zahl ist durch Ä theilhar. 



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Kap, 1, § 9 



§ 9, Ueber die Eigenschaften der Congruenzen von Zahlen. 

Aus dem aus einander gesetzten Begriffe von Congruen- 
zen ist es nun leicht folgende Eigenschaften derselben di- 
rect ber zuleiten : 

1. Zwei ZaMen, welche einer und derselben äritien 
Zahl nach irgend einem Modul congruent sind, sind 
mich nach demselben Modul unter einander congruent. 
Sind 

M = N (mod. A) , 

M = N (raod. A) , 
so miiSK aueli in der That 

M = M' (raod. A) 
sein. 

Denn die Congriienzen M = N (mod. A) und M' = N 
(mod. J.) setzen die Tlieilbarkeit von M—N und M'—N 
dnrcli A voraus ; folglieh ist A auch ein Tbeiler der DiiFe- 
renz dieser Differenzen , d. h. von M — M'. Die Theilbar- 
keit dieser letzten Differenz M — M' durch A wird aber 
dnrcli die Congrvienz 

M = M' (mod. A) 
ansgedrüett. 

2, In ähnlicher , Weise wie bei Gleichungen, können 
auch bei Congruensmi die Glieder von der einen 
Seite nach der anderen {mit umgehehrten Vorseichen) 
geschafft werden. 
Ist z. B. 

3i+ M'~ N (mod. ^), 
so ist aucli 

M = N-M' (mod. ^). 
In der That drückt die Congruenz M-{-M'^N(moA..A) 
aus, dass M -\- M' — A^ durch A theilbar ist. Die GrrÖaae 
M-\- M'—N kann man aber auch so als Differenz aehrei- 
ben: M — {N—M') iind die Theilbarkeit dieser Differenz 
durch A wird durch die Congruenz M = N — M' (mod. A) 
ausgedrückt. 

3. Zw^ oder mehrere Congrumsen mit einem und dern- 
selben Modul können gliedtveise zu einander addirt 
oder von einander suhtrahiri tverdeit. 



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30 K-^p I, § 9- 

Sind iiäTnli(;li 

M~ N (mod. A) , 
M'= S' (mod. ^), 
HO ist auch 

M±M' = IV ± JV' {mod. A). 

DfiYOn überzeugt man sicli leicht, wenn man liemerkt, 
daas die Congmeuzen If = JV{mod. ^); M' = N' (moA. Ä) 
die Theiibarkeit der DiiFerenzen M — -N, resp. M—IN' 
durch A voraussetzen. Daraus folgt aber die TheUbar- 
keit von M — JV ± {Jf' — iV) oder, was dasselbe ist, von 
M±M'~{N±]^'} dnreli A; die Tlieilbarkeit von 
M±M'—{N±N') durch A drückt man aber durch die 
Congruenz M± M' = N± If {moi. A) aus, was wir bewei- 
sen woUteii, 

Von der Vereinigung zweier Congruenzen ist es nun 
leicht zu einer Vereinigimg von drei, vier und mehr sol- 
cher überzugeben. 

4, Die Glieder emer Congrttens liönnm mit einer imä 
derselben Zahl muUipUcirt werden. 

Besteht also die Congruenz 

M = N (mod, A), 
so ist auch 

lc.M=h.N (mod. A). 

In der Tliat erhalten wir, indem wir avif Grund der 
vorhergehenden Eigenschaft , h gleichlautende Congruen- 
zen M = N (mod. A) gliedweise zu einander addiren , als 
Resultat ; J^M = iiN (mod. A) , wodurch die Berechtigung, 
die Grlieder einer Congruenz mit einer beliebigen ganzen 
positiven Zahl zu multipliciren , bewiesen ist. Was nun 
das Multipliciren mit einer negativen Zahl betrifft, so be- 
merken wir, dass wenn hM = IcN (moi. A) ist, so ist auch 
— kM = — ÄJV(mod. J.); denn die eratere Congruenz sagt 
ans, dass die Zahl IcM — kIN diu'ch A theilbar ist; dann 
ist aber auch noch dieselbe, mit negativen Vorzeichen ge- 
nommene Zahl , d. h. — hM + hN durch A theilbar. Die 
Theiibarkeit dieser letzteren drückt man nun durch die 
Congruenz — ÄJKs — Ic-N {mod. A) aus. 



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Kap. 1, g 9. 



3t 



[Letzteres kann auch mit Hülfe von Eigenschaft (2) 
bewiesen werden ; oder auch auf Grund von (3) und 
zwar in derselben Weise wie für ein positives h, indem 
man nämlich zuerst h -{' 1 gleiche Congruenzen zu ein- 
ander addirt und dann die Summe von der ursprünglichen 
snbtrahirt. Uebrigens ist oben § 8 bei der Erklärung des 
Begriffes der Cougruenz bereits gesagt worden : es dürfen 
die Zahlen M und N auch negativ sein und es sei über- 
haiipt immer von einer algebraischen Differenz die Rede,] 
6. Zwei oder mehrere Congruenmn mit einem tijid dem- 
selben Modul Jcönnen gliedweise mii einander muUi- 
plicirt werdm. 
Bestehen nämlich die Congruenzen 
M = N (mod. A) 
M'= N'(moä.A) 
M"=N"(mod.A), 



so ist auch 

M 31' M" .... = A' N' N" .... (mod, A). 
In der That drücken die ersten zwei Congruenzen 
M=N(moA.A) und M'=N'(modi.A) die Theilbarkeit der 
Zahlen M—N und M' — N' durch A aus. Bezeichnet man 



die Quotienten bei diesen Divisionen mit q , 
erhält man 

SI—N M'—N' 



■esp. 5 , so 



folgt: 



M ^ 



Aq - 



iW = Aq' + jV, 

mit einander , 



Multiplicirt man diese Gleichuugei 
hält man die Grleichung 

M.M' = A'qq' -\- Ä{qN--\-q'i;) + NN; 
oder 

jyjM'— JViY= A\q-J^ ^(SN'+ q'N), 

welche die Theilbarkeit der Differenz MM' —NN' durch 
A aussagt, und folglich gleichbedeutend ist mit der Con- 



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32 Kap. I, § 9. 

MM' = WA" (mod. Ä). 
Miiltiplioireu wir dieaes gliedweise Prodiict der ersten 
zwei CoDgrueiizen wiederum gliedweise mit den Gliedern 
der dritten Congruenz M" = N" (mod. A) und so fort , so 
gelangen wir zu der Coiigriienz 

MM'M". ... 3 NN'N". . . . (mod. A). 
Cor oll ar. Nehmen wir apeeiell an, es sei: 
M = ül'= M"= ....; 
N ^ N'= N"= .... 

und bezeielinen mit h die AnzaM der gleichen Zahlen 

M , M', M", und N, N', N" , mo finden wir noch, 

dass man aus der Congraenz 

M = N {mod. Ä) 

jiP= iV''(mod..4) 
folgei'n kann. 

Auf Grrund dieser Eigenschaften können wir mm fol- 
genden allgemeinen Satz aussprechen: 

6. Die Werthe einer ganzen Function mit ganzen 
Coefficienten von swei Zahlen, welche nach irgend 
einem Modul congnient sind, sind selbst nach dem- 
selben Modul einander congruent, 

Ist nämlich 

M^N (mod. Ä] 
und bedeutet f{x) eine ganze Function von x., etwa 
fix) = ax"^ -]- te'"-' -j- cx™-^ -h ■ ■• ■ -\- P^ -\- i, 

wobei o, b,c, p,q und m ganze Zahlen sind, so ist auch 

fiM) = fil^) (mod.. A). 
In der That folgen nach dem eben Bewiesenen, aus 
M = N (mod. Ä) 
die Congruenzen 
M-" = N"'- Jf"'iaiV"'--i; ßl'"--' = N'^-^; .... (mod.^), 



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Kap. 1, S 9- 33 

Würaiia wir tkiicli büziüliuiigBweise Multiplicatiou mit 
a, h, Cf . . . . erhalten: 



all' is oJY" 




bM—' s 4»—' : 




cM—' s c»"~' 1 


\ (mod. Ä). 


pM spN 




g B 3 




Addirt maji die letzterhalteiien 
und bezeiclmet: 


. CongTuenzen gliedweise 


oM» + SJf— > + cÄ—i! + . . 


.+pM+q = flM), 
.+pS+c, = f(N), 



SO er Kalt man 

f(M)~tW){moA.A), 
was wir beweisen wollten. 

7. Die Glieder einer Congrums können durch ■ 
etwaigen gememschaftUchen Factor d&selbm j 
(dividirt) werden, wenn dn solcher Factor relativ 
prim ist evm Modul der (Jongruen^. 

Ist also 

kM = JcN (mod. Ä) , 
wobei h relativ prim ist zu A, so ist auch 
M'^N (mod.^). 

In der That setzt die Congrnenz kM=kN (mod. A) 
die Theilbarkeit von lcM~kN, oder k{M—N) dixrch ^ 
voraus. Darin ist aber, wenn k relativ prim zu A ist, 
nach Lehrsatz 2, die Voraussetzung der Theilbarkeit von 
M — N durch A enthalten, welche durch die Congruenz 
M = N (mod. A) ausgedrückt wird. 

8. Ist eine Sdte einer Gongruem und der Modul der- 
selben durch eine und dieselbe Zahl thetlbar, so muss 
auch die andere Seite der Gongruem^ dwch dieselbe 

Tohobrschoff. ZnWenthonriP. 3 



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34 Kap. I, § 9. 

ZaJd theiJbai sein, tvenn die Congruens üherhaupt 
mugJixili t^eui soll. 
Ist namlieh die Congruenz 

M = hN (mod.M) 
gegeben, so rnuss M durch h theilbar sein, wenn die Con- 
gruenz richtig sein soll. 

Die gegebene Congruenz sagt nämlich, dasa die Diffe- 
renz M — JcN dvirch JcA theilbar ist. Bezeichnet man nun 
mit q den Quotienten dieser Division, so erhält man 

M—hN 

-~kT- = «• 

woraus folgt; 

M = Jc{N^Äq}, 
wodurch die Theübarkeit voti M durch h erhellt. 

9. Ein geineinschaftlicher Factor der Glieder einer 
Gongrume und des Moduls derselben Jsann wegge~ 
lassen werden. 

Ist also 

kM^kN {i-üoA.hA), 
so ist auch 

M='N (mod. A). 
Die Congmenz ]iM~hN(Tao'\..'kÄ) sagt nämlich die 
Theilbarkeit von hM — ?cJV durch hA ans ; aber die Zahl 
IM —IN 

kann auf die Foi'in 

U—N 

—jr = '^ 

zur ücligeführt werden. Die Theilbarkeit von Jf — W durch 
A wird aber durch die CongTuenz 

M=iV(mod..4) 
ausgedrückt. 

10. Zviei oder mehrere ZaJilen, welche untei' einander 
congruent sind in Bestig auf mehrere Moduln , die 
relativ prim su einander sind, sind auch congruent 
in Bezug auf das Froduct dieser Moduln. 



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Kap. f, g 9. 3S 

Sind z.B. die Congrueiizcii 

M= N{moA.Ä) 
M=N (mod. A') 
gegeben, wo"bci A, A! relative Primzalilen sind, so ist aiich 
M = N {moA. A . A'). 
Denn in den Congruenzen M=N (mod. A) and M=N 
(mod. J.') wird ausgesagt, dass die Differenz M ~— JV so- 
wohl durch A als durch A theilbar iat. Sind aber A 
und A' relativ prim zu einander , so ist in dieser TheU- 
barkeit durch A und A', nach Lehrsatz 3, die Theilbar- 
keit dvirch das Product AA enthalten, was mau durch 
die Congrnenz M. = N (mod. A A') ausdrückt. 
Hat mau nun mehrere Congruenzen 

M=J?(mod.A), M=N{TnoLA'), iJf = JV(mod. A"), . • . ., 

wobei alle Zahlen j4, A', Ä", .... unter einander relativ 
prim sind, so findet man zunächst, durch die Vereinigung 
der ersten zwei Congruenzen: M ~ S {janA. A A) \ durch 
Vereinigung dieser letzteren mit M s JV (mod, J.") erhalten 
wir dann M =: N (mod. A A! J.") u. s. w., worin die ausge- 
sprochene Eigenschaft enthalten ist[*)], 

11. öhxt die JRichtigkeU einer Congruens gu beeinträch- 
tigen , Jcann man den Modul derselben durch jede 
Zahl ersetzen, durch welche derselbe theilbm- ist. 
So ist K. B., wenn 

M = N (mod. A A') 
gegeben ist, auch 

M-^N (mod, Ä). 

MultipHcirt man in der Tliat (nach 4) beide Seiten 
der gegebenen Congrnenz mit A', so erhält man 

A' M = A' N (maA, A' A). 
Nach der obenerwähnten Eigenschaft (Nr. 9) der Congruenzen 

[*) Es folgt dicsa Erweiterung für mehrere Congruenzen auch di- 
rect aus dem erweiterton Lehrsatz 3]. 

3* 



yGoosle 



36 Kap, I, § 9, 10. 

kann ein gemein^cliaftliclier Factor in beiden Seiten iler 
Congruenz und im Modul zu gleiclier Zeit stets wegge- 
lassen werden. Lässt man nun in A' M = Ä' N (moi. A' Ä) 
den Factor A' überall weg, so erhält man M= N (mod. A), 
W. 2. k. w.[«)]. 

Dieses sind nun die Haupteigenschaften von Congruen- 
zen je zweier Zahlen unter einander, welche uns zur Lö- 
sung solcher Congruenzen dienen werden , die eine oder 
mehrere Unbekannte enthalten. Zu dieser Lösung wollen 
wir jetzt übergehen. 



§ 10. lieber die Lösung von Congruenzen. 

"Wir haben gesehen, dass die Glieder einer Congruenz 
von der einen Seite derselben nach der anderen geschafft 
werden können. Denken wir uns alle Grlieder nach einer 
Seite der Congruenz geschafft, so haben wir dieselbe auf 
die Gestalt 

f(x,!/,0,....)sO(moi.p) 
zurückgeführt, wobei /' irgend eine Function, p eine gege- 
bene Zahl, welche als Modul angenommen wird und x, y, s, .... 
unbekannte Zahlen bedeuten. 

Wir werden unsere Untersuchungen mit den einfach- 
sten Congruenzen beginnen ; mit solchen, nämlich, welche 
nur eine Unbekannte entbalteui, und wollen zunächst den 
Fall betrachten, in dem die in der Congruenz vorkommende 
Function eine game, mit ganssahligim üo8ffieientm- ist. 

Indem wir uns auf Congi-uenzeu solcher Art beschrän- 
ken, beweisen wir für dieselben folgenden 



[*) Der Beweis ist mit Absicht so geführt, um eine Anwendung 
der obigen Eigen scliaften zu veranlassen; man kann aber offenbar die 
Eichtigkeit dieser Eigeßachaft, wie dieses bei den obigen Eigenschaften 
oft gescbeheu ist, auch direct so zeigen ; Die Congruenz M~N [mod. AA') 
setzt die Theilbarkeit von M ~ N durch AA' voraus, worin die Vor- 
aussetzung der Theilbarkeit durch A enthalten ist; die Theilbarkeit 
von M~N durch A wird aber durch die Congruenz M= N{moä.A) 
ausgedrückt.] 



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Kap. I, MO. 11. 37 

13, Lehrsats. Befriedigt x = a eine Congruens 
f(x) = (mod.p), 
so befriedigen dieselbe auch alle Zah- 
len, welche congruent sind a nach dem 
Modul p*). 
Beweis. Nach den im vorigen Paragraphen bemerk- 
ten Eigenschaften der Congruenzen (s. daselbst Nr. 6), 
folgt aus 

X = a (mod. p) 
die Oonguuenz 

f(X)sf{c) (mod.ji). 
Nach der Voraussetzung befriedigt aber a die Congruenz 
f{x) = (modi.p), folglich ist 

f(a) Sä (mod. p) 

und nach Nr. 1 dos vorigen Paragraphen folgt in unserem 
Falle ans f(X) =/'(») (mod, ß) atich die Congruenz 

f{X) = (mod. 2)), 
was zu beweisen war. 



g 11. Ueber die kleinsten Reste. 

Wir haben soeben gesehen, dass wenn der Congruenz 
f{x)~0 (moi.p) 
eine Zahl a genügt, derselben Congruenz auch alle Zahlen 
genügen müssen, welche der Zahl a na«h dem Modul p con- 
gruent sind, "Welche Zahlen sind es nun, die congruent 
sind a nach dem Modul p7 Um diese Frage zu beant- 
worten, brauchen wir niir zu bedenken, dass Zahlen unter 
einander nach einem Modul p congruent sind, wenn ihre 
DifPerenz durch p ohne Rest theübar ist ; so wird also X 
eine Zahl sein, welche congruent ist a nach dem Modul p, 

*) Hier sowolil, als iiberliaupt in dem Folgenden, wallen wir unter 
den Zeichen f(x),F{x),(fl^),.... sianw Functionen mit ganzen 
Coefficienteu verstehen. 



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38 Kap, l, S n. 

wenn die Differenz zwischen X und a diiroli p tlieilbar 
ist. Bozeiclmet man den Quotienten der Division von 
a — X durcli p mit IV", so erhalten wir 

«=:^ =. N. 

P 

woi'ans füi' X folgt; 

X = a-pN. 

Dieses ist die allgemeine Formel ±iir alle Zahlen X, 
welche einer Zahl a uaoh dem Modul p congraent sind. 
Ertheilt man nun hierin der Zahl N verschiedene Werthe, 
sowohl positive , als negative , so erhält man eine unend- 
Uche Menge von Zahlen, welche alle congnxent sind a nach 
dem Modul p. 

Unter allen Zahlen, welche einer Zahl a nach dem 
Modul p congruent sind, verdienen zwei eine besondere 
Aufmerksamheit : 

1) diejenige positive Zahl, welche unter allen nach 
dem Modul p der Zahl « eongraenten Zahlen die kleinste 
ist; die'jelbe ist bekannt unter dem Namen des 

Jilemsten positiven Restes äer Zahl a nach dein 
Modul p" ; 

2) diejenige negative Zahl, welche unter allen nega- 
tiven, der Zahl a nach dem Modul p congruenten Zahlen 
den kleinsten Zahlenwerth hat ; diese ist unter dem Namen 
des 

„Uemsten nef/ativen Bestes äer Zahl a nach dem 
Modul p" 
bekannt, 

Ausserdem werden wir noch unter den beiden ge- 
nannten kleinsten Resten, dem positiven und dem negati- 
ven, denjenigen, welcher den allerkleinsten Zahlenwerth 
besitzt, mit einer besonderen Benennung des 

„absolut Memstm Bestes der Zahl a nach dem 
Modul p" 
auszeichnen. In dem besonderen Falle , wenn die absolu- 
ten Werthe beider kleinsten E,este — des kleinsten posi- 
tiven und des kleinsten negativen Bestes — der Zahl a 
nach dem Modul p einander gleich sind , können wir ohne 



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Kap. I, § 11. 39 

Untersoliiecl den einen oder den (mäeren der kleinsten üeste 
als absolut Meinstert, wählen imd wir sagen dann ; 

„der absolut kleinste Best der Zahl a nach dem 
Modtil p hat vn diesem Falle swei Werthe." 
Nach der Formel 

X = a-Np, 

welche alle Zahlen überhaupt, die der Zahl a nach dem 
Modul p congnient sind, definirt, ist es leieM, sowohl den 
kleinsten positiven Rest der Zahl a nach dem Modul ^), 
als auch den kleinsten negativen Rest derselben zw finden. 
Zu diesem Zwecke schreiben wir die Gleichung X^^a — Np 
in der Form 

woraus ersichtlich wird, dass der kleinste Zahlenwerth 
von X denjenigen "Werthen von iV entspricht, welche sieh 

dem Bruche - am meisten nähern ; zugleich ist aber auch 

P 
ersichtllck, dass X einen positiven, oder negativen "Werth 
besitzt, je nachdem N [algebraisck *)] kleiner, oder g 



Folglich wird der kleinste positive Hest einer Zahl a 
nach dem Modul }} dadurch erhalten, dass man in a — Nj) 

für N eine Zahl nimmt, welche - am nächsten und nicht 

a . . P 

grösser als — ist. Eine solche Zahl N erkalten wir offen- 
bar, wenn a positiv ist, in dem Quotienten der Division 
von a durch p, indem wir den Rest vernachlässigen ; N 
ist dann positiv; [und, wenn o negativ ist, in dem um 
Eins vermekrten absoluten "Werth des genannten Quo- 
tienten, welche Summe dann für i\^ negativ genommen 
wird], 

Daraus ist also klar, dass wir den Meinsten positiven 
Best nach dem Modul p einer positiven ZcM « in dem 

[*) Nach Oaiichy soll « algebraisch-Klemej- als m hcisson, wenn 

man zu n eine fiosiiive Zalil addireu muss, um m zu ei'halti'U.] 



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40 Kap. 1, S II- 

Quotienten der Division derselben durch p ßnden [und einer 
negativen Zahl a in dem mn Eins vermehrten abaolutm 
W^th des gmtannten Quotienten, welcher dann negativ ge- 
nommen wird]. 

[Ist a dem absoluten WertKe nach kleiner als p, so 
wird der Quotient der Division von a durch j) Null und 
es ist dann für N bei positivem a der Werth JV = und 
bei negativem a der "Werth N = — 1 zu nehmen]. 

So werden wir z. B, zur Bestimmung des kleinsten 
positiven Restes von 23 nach dem Modul 7, in der For- 
mel X ^ 23 — 7 ^ für N diejenige ganze Zahl nelimen, 
welche durch Division von 23 durch 7 erhalten wird. In- 
dem wir die Division ausführen , finden wir in unserem 
Falle JV = 3. Setzen wir JV = 3 in unsere Formel 
23 — 7iV ein, so ftnden wir 2 als kleinsten positiven Rest 
von 23 nach dem Modul 7. 

Ebenso finden wir den kleinsten positiven Rest von 
( — 2) nach dem Modul 5 nach der Formel —2 — 5JV, wo- 

— 2 

bei für JV genommen werden muss die — p- am nächsten 

— 2 

liegende ganze Zahl , welche jedoch —^ [algebraisch] 

nicht übertrifft. Eine solche Zahl ist (— 1) ; folglich ist 
der gesuchte positive Rest — 2-{-^ = 3. 

Es ist nicht schwer, sieh zu überzeugen, dass der 
kleinste positive Rest von a nach dem Modul p immer 
kleiner als p sein muss. Dieses folgt ans dem, was wir 
über die Bestimmung dieses Restes ausgesagt haben. "Wir 
haben nämlich gesehen, dass derselbe durch die Formel 
a—INp bestimmt wird, wobei iV eine ganze Zahl ist, welche 

— am nächsten kommt; folglich ist JV <: 1 und somit 



-Np =p (^ — -^) ' 

(insten negativen Resi 
u bestimmen , müsser 

-Np, oder p( iVj für JV eine ganze Zahl nehmen, 



Um den kleinsten negativen Rest einer Zahl a nach 
dem Modul p zu bestimmen , müssen wir in der Formel 



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welche [im algeliraischeii Siuue] gTÖsser als — wäre und — 

am näclisten käme. Eine solclie Zalil ist für ein positives 
a offenbar diejenige, welche dadurch erhalten wird, dass 
man hei der Division von a durch p in dem Quotienten 
der Division den noch iibiig bleibenden echten Bruch durch 
Eins ersetzt. [Bei einem negativen a nehme man für W 
direct den ganzzahligen Qiiotieiiteii. Der kleinste postive 
Rest einer positiven Zahl und der kleinste negative Rest 
einer negativen Zahl werden also gleichartig bestimmt 
und der kleinste positive Rest einer negativen Zahl wie 
der kleinste negative Rest einer positiven Zahl.] So wird 
der kleinste negative Rest von 23 nach dem Modul 7 
durch die Formel 23 — 7^ bestimmt, wobei für JV, an- 
statt ■ — = 3 + --i genommen "wird 3 + 1, indem der 
Bruch -^ durch Eins ersetzt wird. Setzt man JV = 4 in 

23 — 7 J^, so findet man 23 — 7.4 = (—5) als den klein- 
sten negativen Rest von 23 nach dem Modul 7. [In glei- 
cher Weise findet man den kleinsten negativen Rest von 
(—2) nach dem Modul 5, indem man in ~2 + 5jV für N 
den ganzzahligen Quotienten Null setzt, welcher bei der 



Hat man iiir eine Zahl nach einem gegebenem Modul 
den kleinsten positiven und den kleinsten negaiivün Rest 
bestimmt, so erkennt man dann leicht, welcher von ihnen 
als der absolut kleinste Rest zu betrachten ist. Allein 
man kann den absolut kleinsten Rest auch dired aus der 

Eormel ü — A^), oderpf — — iVj bestimmen. Man braucht 

zu diesem Zwecke nur JV so zu wählen , dass W den 

P 
Jdeinstm Zahlenwertk erhalte. Einen solchen Werth fiir N 
erhalten wir ofi'enbar dadurch, dass wir den Quotienten 
der Division von a durch p bilden und den dabei auftre- 
tenden Bruch vernachlässigen, wenn derselbe kleiner als 
^ , oder denselben durch Eins ersetzen , wenn er grosse]" 



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42 Kap, I, Ml- IS. 

als I ist. Ist der betreffencle eckte Bnioli weder grösser 
noch kleiner als J, so küniien wir denselben nach Willkür 
entweder vernachlässigen, oder durch Eins ersetzen; in 
dem einen , wie in dem anderen Falle wird der absolute 

"Werth der Grösse JV sleich sein i. 

P 
So hat man z. B. bei der Bestimmnng des absolut 
kleinsten Restes von 23 nach dem Modiü 7 in 23 — IN 



den Bruch f <: | vernachlässigt. Dieses giebt JV = 3 

und somit ist der gesuchte absolut kleinste Resti 

23 — 7.3 = 2. 

Dagegen hat man bei der Bestimmung des absolut 

kleinsten Restes von 25 nach dem Modul 7 flir N in 

25 
25 — 7iV den Quotienten -f^ -— -j -r -n ■ 

Bruch 4^ >■ ^ durch Eins zu ersetzen. Dieses giebt JV"= 4 
und somit wird der gesuchte absolut kleinste Rest 
25 — 7.4 = — 3. 
Aus dem Gesagten geht hervor, dass wir bei der Be- 
stimmung des ahsohit kleinsten Restes in der Formel 
a~~Np für N eine ganze Zahl zu nehmen haben, welche 

mit — eine Differenz liefert , die im absoluten "Werihe 
p 

nicht grösser als ^ wird. Und somit hat der cAsolut Meinste 

Best einer ZaM a nach dem Modul p, mäem d&selbe durch 

die Formel a—Np, oder ^yy N] bestimmt ivirä, einen al- 

soluten Werth, welcher nicht grösser ist als ■"-. 



§ 12. Ueber die Anzahl der Lösungen einer Congruenz. 

Nachdem wir die Zahlen untersucht haben, welche 
congment sind a nach dem Modul p , wollen wir uns der 
Lösung der Congracnz f{x) =. (raod.p) zuwenden, 



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Kap, I, § 12. 43 

Wir habea bereits gesehen, dass wenn dieser Cün- 
gruenz eine gewisse Zahl a genügt, derselben auch jede 
Zahl X genügt, für welche die Congraenz S=a(mod.ij) 
stattfindet. Solcher Zahlen giebt es unendlich viele; aber 
alle diese Zahlen, indem sie alle einer und derselben Zahl 
a und folglich auch unter einander congruent sind nach 
dem Modul p, werden als eine Lösung der Congnicnz 
f(x) = (mod.p) angesehen. Genügen daher einer Congmenz 

f{x) ~ (mod. p) 
nur solche Zahlen x, fiir welche die Congruenz 

x ~ a (mod. p) 
besteht, so sagen wir: „die Congruens f{x) sO {moä.p) 
lässt nur eine Lösung su." Dagegen werden wir sagen: 
„die Congruenz f{x) = (mod. j)) ÄoJe swei Lösungen", 
wenn derselben ausser den Zahlen, welche durch die Con- 
gruenz 

X ^ a (mod. p) 
definirt sind, auch diejenigoii genügen, welche aus einer 
Congruenz 

X = ai (mod. p) 
erhalten werden, wobei unter a und «i eine Congruenz 

ß s «i (mod. p) 
nicht besteht, Und ebenso werden wir allgemein sagen: 
eine Congruenz 

f(x) = (mod, p) 

besitze n Lösungen , toenn derseJben solche und nur 
solche Zahlen genügen, welche durch die ( 



X = ai I 

iK = 02 ) (mod, p) 



irt sind, wohel a, «i, m, 



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Kap. I, § 12. 

len bedeuten, welche unter einander nicht congntent 
sind nach dem Modul p, 
Auf Grund dieser Definition beweisen wir folgenden 
14. Lehrsatz. Eine Congruenß 

f(x)sO (mod.J.) 
hat so viele Lömngeji, wie viele Zahlen 
aits der Reihe 

0, 1, 2, , p — 1 

igen und, sind 



«i , CC2, «3 , .... «„ 
solche ZaMen, so sind 
X = cci; as = cci; X = as't •••■', x^a,, {mod-p) 
die Lösungen der Congruenz 
f{x) = (mod.p). 
Beweis. In § 10 haben wir gesellen, dass wenn 
«1 , «2 , ßa , . . . . , ßji 
der Congruenz f{x) = (mod.p) genügen, derselben auch 
alle Zahlen genügen, welche durch die Congruenzen 
a; = ffii; 3; s Ka; « = Ka; . ■ . .; a; = K« (mod, p) 
definirt sind, Ea ist aber nicht schwer zu beweisen, dass 
es, einerseits, ausser diesen Zahlen keine mehr geben k 
welche der Congruenz f (x) = (moA.. p) genügen sollte, 
imd dass, andererseits, die Zahlen «i , «2 , «a , . . . . , «„ un- 
tereinander nach dem Modul p incongrueni sind, woraus, 
nach dem oben über die Anzahl der Lösungen einer Con- 
gruenz f{x) = (mod. p) Ausgesagten, die Richtigkeit des 
oben ausgesprochenen Lehrsatzes folgen würde. 

Um nun Ersteres zu beweisen, wollen wir das G-e- 
gentheU annehmen, es befriedige nämlich die Congruenz 
/■(a;) = (mod. ^) irgend eine Zahl A, welche keine ein- 
zige der Congruenzen 

o; = ttv ; « s ßa ; ■* ^ «3 ; . . . .; x ~ a„ (mod, p) 
befriedigt. 



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Kap. I, § 12. 45 

; A die Congruenz f[x) = (mocl. ^), so thut 
es (nach § 10) auch jede Zahl, welche eongruent ist A nach 
dem Modul p, folglich auch der kleinste positive Best von 
Ä nach dem Modul p. Bezeichnen wir diesen Rest mit 
a, so erhalten wir 

fwlol (■"»''■*) (*> 

wohei cc, als kleinster positiver Best von A nach dem 
Modul p, unter den Zahlen der Reihe 

0, 1, 2, ...., p~l 
enthalten sein muss. Ist aber « in dieser Reihe enthalten 
und befriedigt es f{x) = (mod. p) , so muss a eine der 
Zahlen ki, «g, «3, . . . ., a„ sein; weil nach der Voraus- 
setzung Kl , «2 , as, Ha die einzigen Zahlen der Reihe 

0, 1, 2, . . . ., p — 1 sind, welche f(x) = (mod. p) befrie- 
digen. Dieses ist aber unmöglich; weil A, nach (4), die 
Congruenz x = a befriedigt , während nach der Voraus- 
setzung A keiner der Congmenzen 

3; = «1 ; X = a2; . . . . ; ä = k„ (mod. p) 
genügen soll. 

Wenden wir uns nun zu dem Beweise, dass die Zah- 
len Kl , «2 , . . . . , «„ nicht unter einander eongruent sind 
nach dem Modul p. 

Lassen wir das Gtegentheil zu und mag etwa 
«i = Ks (mod. ^) 
sein. Avis dieser Congruenz folgt aber die Tlieilbarkeit 
von «I — «s durch p, welche unmÖgKch ist; weil «i und 
«a positive Zahlen sind, von denen jede kleiner ist als p, 
infolge dessen der absolute Werth der Differenz «1 — «a 
jedenfalls kleiner als j3 sein muss und somit nicht durch p 
theilbar sein kann. 

So überzeugen wir uns von der Richtigkeit des aus- 
gesprochenen Lehrsatzes. 

Um eine Anwendiuig dieses Lehrsatzes sofort zu zei- 
gen, nehmen wir an: f{x} =^ x^ — x~l und p = 5, also 
x'~~x — l s Ü (mod. B). 



yGoosle 



46 Kap, I, M2. 

Indem wir lüerin anstatt x die Wertho 

0, 1, 2, 3, 4 
einsetzen , überzeugen wir nns , dass nur die Zalil 2 der 
betrachteten Congruenz genügt; woraus wir sehliessen, 
dass unsere Congruenz eine Lögung 



ic s 2 (mod. 5) 
besitzt. 

In derselben Weise überzeugen wir uns , dass die 
Congruenz 

a:^-3 = (mod. U) 
zwei Lösungen 

^ - ^ l (mod. 11) 

besitzt. 

Indem wir dagegen die Congruenz 

a;ä_il sO (mod. 3} 
ebenso behandeln, üboi'zcugen wir uns, dass dieselbe durch 
keine der Zahlen 

0, 1, 2 
befriedigt wird; diese CongTuenz hat alsu nach unserer 
Deünition gar keine Lösung. 



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Kapitel II. 

Ueber die Congruenz ersten Grades. 



§ 13, Lüsung der Congruenzen ersten Grades, wenn der IVIodul 
relativ prim ist zu dem Coefficienten der Unbekannten. 

Die an^emeinc Uestalt einei' Congruenz L'i.'stcn (Ira- 

ftic — 6 = (mod. p) , 
wobei a h irgend welche positive , oder negative ganze 
Zahlen, wählend p eine positive ganze Zahl bedeuten soll. 
Cnngruenzen die&er Grestalt bieten zwei wesentlich von 
einander -veischiedene I'älle dar, welche wir gesondert der 
Betiachtung unterziehen wollen. Der erste Fall sei der, 
wenn a und p lelativ prim zu einander sind; der zweite, 
— wenn dieselben einen gemeinschaftlichen Theder be- 
sitzen Wii beginnen mit dem ersten Falle und beweisen 
folgenden 

15. Lckrsats. Die Congniens 

ax — h = i) (mod. j)) 
hatf wenn a tmd p relativ prim m 
einander sind, immei- eine und nw 
eine Losung. 
Beweis. Aus dem, was wir in § 12 über die An- 
zahl der Lösungen einer Congruenz f{x) = (mod. p) 
überhaupt bewiesen haben, folgt, dasa unsere Congruenz 
ax — b = (mod. ß) genau so viele Lösungen hat, als es 
unter den Zahlen der Reihe 

0, 1, 2, ,p — l 



yGoosle 



48 Kap. ir, S 13. 

solche giebt, welche die Cüiigrueuz ux—b = (mod. ^j) be- 
friedigen, oder, was nach der Definition ein und dasselbe 
ist, wie viele es in der Eeihe 

n.O — 6; a.l—h; «.2 — 6; ....; ö(j>~l)~6 
Zahlen giebt, welche dnroli p theilbar sind. Da aber diese 
ganze Zahlenreihe überhaupt eine arithraetiscbe Progres- 
sion bildet, deren Differenz die Zahl a ist, welche nach 
der Voraussetzung relativ prini zu p war , während die 
Anzahl aller Grlieder der Reihe p beträgt, so wird hier 
(nach dem lOten Lehrsatz) ein und ««r ein GHed vorhan- 
den sein, welches durch p theilbar ist. folglich bat die 
Congruenz ax—i s (mod. p), bei der gemachten Voraus- 
setzung iinmer eine und nur eine Lösung, was wir be- 
weisen wollten. 

Nachdem wir nns auf diese Weise überzeugt haben, 
dass in dem betrachteten Falle die Congruenz ax — &^0 
(mod.j») immer eine Losung besitzt, wollen wir nunmehr 
zeigen, wie mau diese Lösung wirklich finden kann. Man 
besitzt heut zu Tage in der Wissenschaft mehrere Me- 
thoden, um die Congruenz ax — & = (mod. p) zu lösen. 
Die bemerkenswürdigsten unter denselben wollen wir 
später, wo wir von eigenthüralichen Eigenschaften der 
Zahlen, auf welchen die Methoden beruhen , handeln wer- 
den, auseinandersetzen. Hier wollen wir nur bemerken, 
dass die Congraenz ax—b^O (mod. p) nach derselben 
Methode gelost werden kann , welche in der Algebra für 
die Lösung der unbestimmten G-Ioicbung mit zwei Unbe- 
kannten 

ax —ps = b , 

gegeben wird, die sich von der Congruenz 

ax — & = (mod. p) 
ledigKch in der Bezeichnungsweise unterscheidet. In der 
That drückt die Congruenz ax—b = (mod. p) nichts An- 
deres aus als die Theilbarkeit der Differenz ax — b durch 
p, was auch durch die Gleichung 
ax — b 



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Kap, 11, § 13, 49 

ji'den kann, wenn man in s eine beliebige 
ganze Zalil voraussetzt. Daraus erhalten wü' eben zur 
Bestimmung von x und s die Gleicliung in ganzen ZaMen 

oa; — ^s = h. 
Durch die ganzzalilige Lösung der unbestimmten Glei- 
chung ax — 'ps = b wird also der Werth von x bestimmt, 
welcher die Congruenz ax — & = {mod.jo) befriedigt. Diese 
Werthe von x werden , wie wir wissen , in der Form 
X = a -\- np dargestellt , wobei « einer solcher Werthe 
von X ist, welche die Fähigkeit haben, die Grleichung 
ax — pz = 6 zn befriedigen, und wobei n eine beliebige 
ganze Zahl ist. Nach der eingeführten Bezeichnung wer- 
den wir, anstatt 

X = a -\- np, 
wobei n als beliebige ganze Zahl vorausgesetzt wird, die 
Schreibweise gebrauchen ; 

X ^E a (mod. p) 

und in dieser Gestalt werden wir immer die Lösung der 
Congruenz aa; — & = (mod. j)) darstellen. 
Hat man z. B. die Congruenz 

73; — 3=0 (mod. 10) 
zYi lösen, so nehme man die Gleichung 

Ix — lds = 3. 
L'oat man diese Gleichung nach der in der elementaren 
Algebra angegebenen Methode, so erhält man für x und s 
die Ausdrücke : 

:t = 9 + 10«, 
= 6-1-7«, 

woraus wir als Lösimg unserer Congruenz 

7a; — 3 = (mod. 10) 
erhalten : 

x = % (mod. 10). 



yGoosle 



50 Kap. II, § 14. 

g 14. Die Lehrsätze von Fermat und Euler. 

Auf Grruud der oben in Bezug auf Congruenzen über- 
haupt, wie auf die specielle Congruenz ax — b = {mod.p) 
insbesondere bewieaenen Lehrsätze, sind wir nunmelir im 
Stande, über gewisse Eigenscliaften ganzer Zahlen zwei 
sehr merkwürdige Lehrsätze zu beweisen, welche für die 
Zahlentheorie überhaupt sehr wichtig sind und welche zu- 
gleich auch eine Lösung der CongTuenz ersten Grades 
liefern werden. Mit diesen Eigenschaften der Zahlen wol- 
len wir uns eben beschäftigen. 

16. Lehrsatä. Ist p eine FrinuiaU und Jcein Divisor 
von a, so ist 

a^-' ^ 1 (niod.j^). 
He weis. Mögen 

ri, r2, rs, . . . ., J-;,-! 
die jeweiligen hleinsten positiven Reste der Zahlen 

la, 2a, 3«, . . , ., (p — l)a 
nach dem Modul p bedeuten, so werden dieselben die Con- 
gruenzen 

1« ^ ri 
2« ES ra 
(5) .... . 3a = ra | (mod. p) 



{p—l)a = r^-i] 
befriedigen. Multipliciren wir alle diese Congruenzen 
gliedweise mit eiuander, so erhalten wir 

(6) 1.2.3 (p—l) flP-i ^nr^rs rp_, (mod. p). 

Es ist aber nicht schwer sich zu überzeugen , daas die 
Produete 

1.2.8....(p™l), 



einander gleich sind. 

Zu diesem Ende bemerken wir, dass 

»"1, r2, rs, ... ,, rp_i, 

als kleinste positiven Reste der Zahlen 



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Kiip, II, § 14. r.x 

la, 2a, 3«, , . . ., (j) — l)ci 
nach dem Modul p, liberliaiipt keine anderen "Wertlie, wie 

0, 1, 2, ,i> — 1, 

haten können. 

Dabei kann aber kein einziger dieser Reste denWerfcb 
Null haben ; denn würden wir das G-egentheil ziilasaen, 
so würde die Congrnenz (6) die Theilbarkeit von 

1.2.3 (j)— l)ai-i 

durch p behaupten, während 1, 2, 3, . . . ., p — 1 und a 
alle relativ prim zu p sind. Folglich können die Zahlen 

»■i, n, ra , »-p-i 

keine anderen Werthe haben als solche, welche in 

1, 2, 3, ,p'-l 

enthalten sind. 

Unter den Zahlen n, s-g, s-3, . . . ., r^.-i können aber 
nicht zwei einander gleich sein. Denn, würden w'u: zu- 
lassen, es sei etwa 

so würde nach (B) folgen : 

ma~h\ 

_ \ (mod.p), 

wobei m und ji zwei Zahlen sind aus der Reihe 

1, 2, 3, p — 1, 

und wir hätten somit liir die Congrucnz 

ax^h (mod. pi) 
zwei Lösungen: 

X = m (mod. p) und x ^ (t {moiX.p), 
was {nach Lehrsatz 15) unmöglich ist. 

Daraus folgt, dass unter den Elementen der Reihe 

^1, T'i, Tz, ... ., Tp^i 

nur die Zahlen 

1, 2, 3, ,i>— 1 



yGoosle 



52 Kap, 11, g 14. 

sich vorfinden können und zwar jede nur einmal. Da 
aber die Keilien 



1, 2, 3, ,i}—l 

; Anzahl von Q-liedern iDesitzen, so müsaen in 
der ersteren auch alle Glieder der zweiten wirklich vor- 
handen sein. Somit bestehen beide Reihen aus ein und 
denselben Zahlen tmd in jeder Reihe hommt jede Zahl nur 
einmal vor und somit muss das Product aller Glieder der 
ersten Reihe dem Producte aller Glieder der zweiten 
gleich sein. Haben wir uns davon überzeugt, so können 
wir in (6) das Product r1.r2.rs.... r^-i durch das Pro- 
duct 1.2.3 , , . . p—1 ersetzen und erhalten auf diese 
Weise 
1.2.3 (i^— 1)0"-' =£1.2.3 (i> — 1) {moil.p}. 

Man darf aber beide Seiten dieser Congruenz durch 
die Zahlen 2, 3, .... (p — 1) dividiren; weil nämlich alle 
diese Zahlen, indem sie kleiner als p sind, zu der Prim- 
zahl p relativ prim sein müssen. Püliren wir diese Di- 
vision ans, so erhalten wir 

aP~''- = 1 (mod. p), 
w. z. b, w. 

So erhalten wir z. B. für p == 7 vuid n = 2 die Con- 
gruenz 

2'-' = 1 (mod. 7), 

von deren Richtigkeit wir uns sofort überzeugen, indem 
wir bemerken, dass 2^ = 64 und 64 = 1 (mod. 7) ist. 

Dieser Lehrsatz ist einer der bemerkenswerthesten in 
der Zahlentheorie und lässt sehr wichtige Anwendungen 
zu. Derselbe ist zuerst von F e r m a t entdeckt , war 
aber von Format ohne Beweis aiisgesprochen. Der erste, 
dem es gelungen ist, diesen „Fermaf sehen Sota" zu be- 
weisen, wjir Euler; Letzterer gab auch zugleich folgen- 
den allgemeineren Lehrsatz. 

17, Lehrsatä. Bedeutet n die Ansiahl aller Zahlen, 
welche Meiner als N und relativ ^im 



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Kip n ^ 14 53 

sw W smd MH'f ist a s elativ prim su 
N, so ist tmmei 

a =1 fmod N). 
Beweis. Bezeichnet man mit 

Ni, N-, Na , N 

die Zahlen, welche relatl^ pLini zv. jV und kleiner als N 
sind, und mit 

^l< f'i< ^3, ■ ' ■ -1 >*», 

die in Bezug auf den Modul N kleinsten positiven Reste 
der Zahlen 

aNi, aN^, aN^ , öJV,„ 

so erhält man. das System von Congruenzen: 
aNi = rt I 
'^^-'■^(mod.iV), (7) 

aN,, = r„ I 
welohea durch gliedweise Multiplication die Congruenz 

NiNs W"„ ffl" = n j-a r„ (mod, JV), . . (8) 

liefert. 

Es ist aber leicht sieh zu überzeugen, dass die Pro- 
ducte 

Ni N2 . . . . iV„ und ri ra . . . . r„ 
einander gleich sind. 

Da nämlich ri, r^, . . . ., r„ die nach dem Modul JV 
kleinsten positiven Reste von aNj, aH^, ..... aiV„ bedeu- 
ten, so können dieselben keine anderen "Werthe als 

0, 1, 2, , . . ., JV-1 
haben; aber auch unter diesen "Werthen sind für Ti^r^, — r„ 
nur diejenigen möglich, welche keinen gemeinschaftlichen 
Theüer mit i^Thaben; weil die Congruenz (8), deren linke 
Seite aus einem Producte von lauter solcken Zahlen be- 
steht, die relativ prim zu N sind, [nach Eigeusch. 8 in § 9] 
voraussetzt, dass auch r\, r^, ... ., r„ und JV keinen ge- 
meinschaftliclien Theiler besitzen. 



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54 Kap. 11, § 14. 

Daraus folgt, dass füi- 

r\, »"g, . . . ., J'„ 

mir die Wcrthe 

jvi, m, , jv„ 

möglicb sind. 

Es lat aber klai", dass niclit Irgend zwei der Zahlen 
n, r2, ... ., r„ 
einander gleicli sein können ; denn im Falle der Grleichheit 
zweier derselben, wie etwa 



würden wir nach (7) die Congruenzen 

erhalten, wobei m und (i irgend welche zwei Zahlen aus 
der ßeilie 1, 2, 3, ... ., JV—l bedeuten und somit würden 
wir für die Congmenz ersten Grrades 
ax = b (med. JV) 
zwei Lösungen gefunden haben, was [nach Lehrsatz 15] 
nicht möglich ist. 

Hieraus folgt, dass unter den Grliedern der Reihe 

n, n , r„ 

sich iivTr die Zahlen 

Ni, N2, , N„ 

vorfinden können, nnd zwar jede derselben nur ein einzi- 
ges Mal. Da aber beide Reihen eine gleiche Anzahl Glie- 
der haben, so müssen in der ersten Reihe aneh alle Zah- 
len der zweiten vertreten sein; so dass beide Reihen aus 
ein und denselben Zahlen zusammengesetzt sind nnd in 
jeder dieser Reihen tritt jede Zahl nur einmal auf. Das 
Produet aller Zahlen der ersten Reihe rauss also dem Pro- 
ducte aller Zahlen der zweiten gleich sein; imd wir kön- 
nen somit in (8) das Produet ri »■2 *'3 .... r„ durch das Pro- 
duet JVi J?a J^s . . - ■ JV„ ersetzen und somit 

NiNs ä;, a« = 17, N2 Nn (mod, N) 



yGoosle 



Kap. ir, § 1^. 15. 55 

erhalten. Es sind aber Ni, JVa, . . . ., JV„ und folglich ist 
auch das Product derselben relativ prim zum Modul N 
und man darf sonach beide Seiten der Congruenz durch 
das Produot Ni N2 ■ • • ■ Nn dividiren. Indem wir diese 
Division ausführen, erhalten wir aber die Congruenz 

ö" s 1 (mod. N) , 

wie in dem verallgemeinerten Fermat'sohcn Lehrsatze von 
Euler hehauptet wurde. 

Ist z. B. N = 20 und « = 3, so erhält man aus 
Lehrsatz 12 für die Grösse n, welche angiebt , wie viel 
Zahlen kleiner als 20 und relativ prim zu 20 sind, weil 
20 = 2^5 ist, die Formel 

« = 20 (l-^)(l-i) = 20 (^) (^) - 8 

und nach dem Euler'schen Satze wird also 

3' = 1 (mod. 20), 

sein müssen. Von der Richtigheit dieser Behauptung 
überzeugen wir uns sofort, indem wir fiiiden: 

3^ = 6561 und 6561 = 1 (mod, 20). 



§ 15. Anwendung der Sätze von Fermat und Euler auf die 
Lösung der Congruenz ersten Grades. 

Auf Grund der eben bewiesenen [jehrsätze von Fer- 
mat und Euler kann man nun eine einfache Lösung der 
Congruenz 

ax—h = {mod. ß) 

finden, wenn man, wie früher, voraussetzt, dass a relativ 
prim zu p sei. 

Wir wollen mit dem einfacheren Falle beginnen, wenn 
nämlich p eine Primzahl ist. 

Ba a relativ prim zu p vorausgesetzt war, so ist, 
wenn p eine Primzahl ist, (nach § 3) nothwendig [und 
hinreichend], dass a durch p nicht theilbar sei, Nach 



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56 Kap. IT, § U. 

dem Fcrmat' sehen Satze (so worden wir in der Folge 
immer den Lehrsatz 16 nennen) wird nun die Congrtienz 
stattfinden 

ß!J-i = X (mod. i^), 

welche duTch Multiplication beider Seiten mit & und Sub- 
traction von b, so gesollrieben werden kann; 

a.hc^-'^—b = {) (mod.i)). 

Verglcifilit man diese Congruenz mit der, welche wir 
zu losen haben, nämlich: 

ax—h = (mod. p), 
80 bemerken wir , dass letztere befriedigt werden muss, 
wenn man für x setzt : x = b aP~'^ ; folglich ist die voll- 
ständige Lösung derselben 

X = haf-^ (mod.p}. 

In dieser AVeise bestimmt eich also die Lösung der 
Oongraenz ersten Grades 

ax — & = (mod. j)), 
wenn p eine Primzahl und kein Divisor ist von ö. 
So finden wir z. B. für die Congruenz 
3a!— 8 = (mod. 5) 
die Lösung 

a; = 8 . 35-2 (mod. 5) , 

oder, was dasselbe ist, 

X = 216 (mod. 5). 
Diese Lösung der Congruenz kann man noch auf eine 
einfachere Form zurückführen , indem man 216 durch den 
kleinsten positiven Kest von 216 nach dem Modul 5 er- 
setzt. Man findet auf diese Weise 
X = 1 (mod. 5) 
als Lösung der Congruenz 

3a:---8~ (mod. 5). 
Grehen wir nun zw der Losung solcher Congruenzen 
über, deren Modul eine zusammengesetzte Zahl ist. 



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K;ip, TT, § ir., 57 

Ea mag die CongrneHz 

ax — h = {mod. N) 
gegeben sein, wobei jV eine beliebige ganze positive Zahl 
ist, während a, wie früher voransgeaetzt worden, relativ 
prim zu N ist. 

Nach dem Eider'scheu Satze (Lehrsatz 17) erhalten 

a" £E 1 (mod. K), 
wenn wir mit n die Anzahl der Zahlen bezeichnen, welche 
relativ prim zu N und kleiner als N sind. Durch Mvilti- 
plication beider Seiten mit i und Subtraetion von b kön- 
nen wir diese Congnxenz so schreiben: 

a.ha^-^—h^O (raod.Jf). 

Vergleichen wir diese letztere mit der gegebenen 
Congruenz 

ax-~i^:Q (mod. N'), 
so finden wir die Lösung derselben in der Form 
X = har-^ (mod. N). 
Was nun die Bedeutung von n betrifft, welche die 
Anzahl der Zahlen angeben soll , die relativ prim zu N 
und kleiner als N siad, ao können wir dieselbe nach Lehr- 
satz 12 leicht finden. Es ist nämlich 

_..,..,..... ..(^)(tl)(.._^.) 

wenn N bei Zerlegung in Primfactoren auf die Form 
iV = tf " ß'"' />>" .... 

gebracht wird, wobei a, ß, y, .... von einander verschie- 
dene Primzahlen bedeuten. 

Auf diese "Weise überzeugen wir uns also , dass die 
Lösung der allgemeinen Congmenz ersten Grades 

ax — b^-O (mod. «"• (3"'' f»" ....), 
wobei cc, ß, y, . . . . von einander verschiedene Primzahlen 
sind [und a keine dieser Primzahlen als Factor besitzt] 
dureh die Formel 



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Kap, U, S 15. 16- 



(mod.«"'|5*"'/""' 



gegeben ist. 

So finden wir z. B. für die Lösung der Oongriicnz 
2;b — 7 = (mod. 15), 
da 15 = 3' , 5' ist, die Formel 

x~:7 .2 '" ^ (mod, 16) , 

oder 

X = 896 (mod. 15) 
und, indem wir noch 896 duroli den kleinsten positiven 
Rest nach dem Modul 15 ersetzen, erhalten wir die Lö- 
sung in der einfacheren Grestalt: 

x = n (mod. 15). 

Hiermit schüeasen wir die UntersKchung desjenigen 
Falles der Congrnenz ersten &rades ab, bei welchem der 
Modul und der Coefflcient der "Unbekannten relativ prim 
zu einander sind und wenden uns nunmehr zu dem Falle, 
daas diese Zahlen einen gemeinschaftlichen Factor besitzen. 



§ 16. lieber Congruenzen [ersten Gractes], bei denen der 

Modul und der Coefficient der Unbekannten einen gemein- 

schaftlichen Factor besitzen. 

Nach der in § 10 gezeigten Eigenschaft der Cow- 
gruenzen ist die Congruena 

ax = b (mod. p) 
überhaupt unmöglich, wenn a und p einen gemeinschaftli- 
chen Factor besitzen, der kein TheUcr von 6 ist. Daraus 
folgt der 

18. Lehrsate. Die Congruens 

ax — b :::= (mod.ß) 



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Kap. n, § 16. 59 

hat Iceine Lösung , wenn ein gemein- 
sckaftUcher Divisor von a und p nicht 
auch ein Divisor von h ist. 
So überzeugen wir uns z. B. daas die Congruenzen 
Wx — 7 = (mod. 15), 
6a: — 5 = (mod. 9) 
keine Losung besitzen; [indem die erstere durch keinen der 
Wertke ^ = 1, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 
und letztere durch keinen der Wertke a; = 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8 befriedigt wird]. 

Es bleibt vms noch übrig den Fall zu betrachten, 
dass in der Congruenz 

ax — b = (mod. p) 
die gemeinsekaftlicken Theiler von a und p auch Theiler 
von & sind. Für eine solcke CongTuenz beweisen wir fol- 
genden 

19. Lehrsats. Haien a tmä p den grössten gemei/n- 
schafüiehen Theiler d und ist d zu- 
gleich aueh ein Theiler von b, so hat 
die Congniens 

ax — 5 = (mod. ii) 
& Lösungen, welche so dargestelU wer- 
den Mnnen: 



■ (raod.j>); 



i.(ATJli 



tcoÄei K -c ^ und nicht <. ist tmd 
d 

die Congruens 

-7 X — -- = ( mod. -; ) 
d d \ dJ 

durch <x befriedigt wi/i-d. 



y Google 



60 Kap. TI, § J6. 

JBeiveis. Ist d der grösste gemeinachaftliclie Thei- 
1er von a und p und zugleich ein TheUer von b, so kann 
(nach § 9, Eigenscb. 9) die Congruenz 
ax — h ~ (moi.p) 
durcb Division der Grlieder und des Moduls durch d auf 
die Perm 

gebracht werden, wobei 

a h p 
d' d' d 

ganze Zahlen sind. Dabei sind die beiden Zahlen -, y, 

wie man sieh leicht überzeugen kann, relativ prim zu ein- 
ander, weil sonst d nicht der 



relativ prm zu einander sind, so hat ja die Congruenz 

wie wir gesehen haben, immer eine Lösung, welche durcb 
die oben angegebenen Methoden zu finden ist. Mag nun 
a eine 2ahl sein, welche in der Reibe 



enthalten ist, und die CongTuenz 

|a=-|s(mod.-|) 

befriedigt, so werden alle Zahlen, welche Überhaupt diese 
Congruenz befriedigen, in 



c = a (mod. -^-) 



enthalten sein. 

Dieselben Zahlen, und nur diese, befTiedigen aber auch 
zugleich die Congruenz 



y Google 



Kap. n, § 16- 
(XX — fi = (niod. 2»), 



welche sich von 



(■»»^•f) 



nur durch einen gemeinscKaftliclien Factor ä des Moduls 
und der Grlieder der Congruenz unterscheidet. 

Somit sind alle Zahlen , welche unsere gegehene Con~ 



ax — h s ü (mod.p) 
hefriedigen, durch die "Wertlie 

«.„(.„..'^) 

ToUkonimen he stimmt. 

Darai^f gestützt, können wir nunmehr leicht zeigen 
wie viele Zahlen aus der Keihe 

0, 1, a, , p~\ 

die Congruenz 

ax — h s ü (mod. j)) 
hefriedigen, wodurch sich nach der Definition die Anzahl 
der Lösungen dieser Congruenz bestimmen wird. Zu die- 
sem Zwecke wollen wir eine allgemeine Formel für die 
Zahlen, welche die Congimenz 



' ^ " (™*- f ) 



hefriedigen, aufstellen. 

Nach dem im § 11 Ausgesagten , 
mel für diese Zahlen in der Gestalt 



.- Jormel , wie wir gesehen haben, 
) ist, so erhält man aus derselben 

"Werthe von x, welche zwischen den Grenzen nnd^^ — 1 
sich befinden, lediglich für folgende "Werthe von iV": 
IV = 0, —1, —2 , — ((;~2), ^-{ä — 1). 



yGoosle 



62 Kap, 11, g 16. 

Folglich sind uiitev den Zahlen i.ler Reihe 

0, 1, 2, , P'-l, 

folgende d Zahlen : 



d 
und nnr diese enthalten, welche die Congi'nenz 

..„(n.d.f) 
und somit auch die gegebene Congruenz 

ax — & = (mod.ß) 
hefriedigen. 

Da nun die genannten d Zahlen aus der Reihe 

0, 1, 2, , p — 1 

die Congruenz 

ax — & ht; (mod. ^), 
befriedigen, ao besitzt dieae Congrnenz nach Lehrsatz 14, 
wirklich die d Lösimgen : 
X = a 



= « + -^- \ (mod.p), 



x^a-i- ^ ^1 

wie in dem Lehrsatze behauptet war. 
So hat z. B. die Congruenz 

15a: — 9 = (mod.l2), 
in welcher der Coefficient von x und der Modul den grÖss- 
ten gemeinschaftlichen Theiler 3 besitzen und zugleich das 
die Unbekannte x nicht enthaltende Glied durch 3 theil- 
bar ist, wirklich drei Lösungen. Um dieselben zu finden, 
dividiren wir in der gegebenen Congruenz die Grlieder und 
den Modul durch 3 und erhalten so die Congruenz 
53; — 3 = (mod.4). 



yGoosle 



Kap. n, § 1 6. 63 

Auf Grund des im vorigen Paragraphen Auseinander- 
die Löaung der letzteren in der 
Geatalt 

X = 3 . 5 2 (raod. 4) , 

oder 

X = 15 (mod. 4). 
Ersetzen wir die Zahl 15 durch ihren kleinsten posi- 
tiven Hest in Bezug auf den Modul 4, so finden wir : 
a: = 3 (mod. 4). 
Daraus entnehmen wir nun für die vorgelegte Con- 
gruenz 

15 a; — 9 = (mod. 12) 
die Lösungen^ 

x~ 3 1 

x^ 7 } (mod. 12). 






yGoosle 



Kapitel III. 

Ueber allgemeine Congruenzen höheren Grades, 

§ 17. Ueber die Befreiung von dem Coefficienten der höchsten 
Potenz der Unbekannten. 

In diesen Untersuchimgen wollen wir nns anf die Be- 
trachtang von Congruenzen beschränken, deren Modnl eine 
Primzahl ist. Die aUgemeine Gestalt der Congmenzen, 
mit welchen wir uns hier beschäftigen wollen, wird fol- 
gende sein : 

ÄX^ + Bsr-^ + üic™-^ -{^ ....^ Hx + S^O (mod. p), 
wobei ß eine Primzahl bedeutet und A, J3, 0, . . . ., H, S 
irgend welche ganze Zahlen sind. 

Bevor wir zur Untersuchung der Lösimgen solcher 
Congruenzen schreiten, wollen wir die Bemerkung machen, 
dass man es immer bewirken kann, den Coefficienten der 
höchsten Potenz von x auf Eins zu bringen. In der That 
kann man In einer Congruenz 
Art" 4- ^3;"'-'+ 0x'"-2+ .... + Fic + S = Ü (mod.ß) 

solche Grlieder immer weglassen, deren Coefficienten durch 
p theilbar sind. "Wenn z.B. G durch p theilbar ist, so 
werden wir, in unserer Bezeichnungaweise ausgedrückt, 
die CoHgruenz haben : 

0-0 {mod.i3), 
welchü durch Multiplication mit ^'"-* in 
C*™-2^0 (mod.i)) 



yGoosle 



Kap. Jir, g 17- 65 

übergeLt. Indem wii' niui diese von der Congmciiz 

AxJ/' + Pa;™-' + Cx"-^ + .... + i?« + S s (mod. p) 

subtrahiren, befreien wir die letztere von dem Gliede Cai"^^. 
Dasselbe kann offenbar mit jedem anderen (xliede ge- 
schehen , dessen Coefficient Öureli p theilbar ist. Setzen 
wir nun voraus, die Congruenz 

Ax'« -I- B(E™-i + Cx'"-^ + . . . . -}r Hx + S = (mod.^) 

sei bereits von allen solchen G-liedern, deren Coefficienten 
Vielfache von p sind, befreit worden und Auf' sei dabei 
das Glied mit der höchsten Potenz von x. In diesem Falle 
wird .A , da es kein Vielfaches von der Primzahl p sein 
soU, relativ prim zum Modul p sein und es wird sich nach 
dem oben (§ 13, Lehrs. 15 ; vgl. auch § 15) Bewiesenen eine 
Zahl « finden lassen, für welche die Congruenz ersten Grades 

Aa~l = (mod.p) 
befriedigt wird. 

Multiplioirt man diese Congruenz nach und nach mit 

Sx«-^ Cx»'-^, , Hx, S, 

so erhält man die entsprechenden Congrucnzen : 
ABax"'-^ — Iise»^'^ = 1 
ACciX'^-^—Cx"^^ = 

AHttX -^Rx = l 
ASa ~S =o' 

Äddii't man alle diese Congrucnzen zu der von uns 
betrachteten 

Äx"-+ £iC"'-'+ Cx"-^--]- . . . . -^ llx -{- S = (mod.j)), 
so erhält man ; 

Ax'"-{-ÄBccx"'-^-^ACccx>"~^-\-....+ÄMKx-{'A8tt = (mod.ij). 
Da aber A relativ prim zu p ist, so können wir die 
Glieder der Congruenz durch A dividiren, wodurch wir 
endlich die Congruenz 

X'" -{- Bcix«'-^ -\- Üax"^-^-}- . . . . + Rux -{^ Sa = Ü (raod.i»} 



yGoosle 



m Kap. ni, § 17. 

erlialteu, in welcher der Coefflcient der höchsten Potenz 
von X wirklich Eins ist, was zu hewirken war. 

[Man kann aber leicht beweisen, dass unsere iirsprüng- 
Kche Congraenz dieselben Lösungen bat, wie die, auf 
welche wir sie zurückgeführt haben. Denkt man sich 
nämlich in der Letzteren für x einen "Werth x = ß gesetzt, 
welcher sie befriedigt, so wird sie offenbar auch durch 
X = ß befriedigt sein, wenn man dieselbe mit Ä multipü- 
oirt haben wird. Unsere Congruenz wird aber auch durch 
X = ß noch befriedigt bleiben, nachdem man von derselben 
die Congruenzen (8a) subtrahirt haben wird ; weil die letzte- 
ren, sobald a so gewählt ist, dass Äcc — l = (mod. p) be- 
friedigt lüird , alle für jeden Werth von x überhaupt , also 
auch für x = ß befriedigt loej'den. Ebenso kann man um- 
gekehrt schliessen, dass wenn die ursprüngliche Congruenz 
durch einen gewissen Werth x =^ y befriedigt wird, die- 
selbe es auch noch bleibt, nachdem man die Congruenzen 
(8a), welche für jeden Werth von x befriedigt werden, 
hinzu addirt, und auch nachdem man das Resultat durch 
die zum Modul p relative Primzahl A dividirt hat und es 
wird somit x = y auch die letzterhaltene Congruenz be- 
friedigen. Die ursprüngliche CongTuenz und diejenige, auf 
welche dieselbe immer zurückgeführt werden kann, haben 
somit genau dieselben Lösungen und unterscheiden sich 
bloss in der Form; und wir wählen daher die Form, wo 
der Coefficient der höchsten Potenz von x Eins ist, welche 
durch unsere ferneren Betrachtungen die Eigenschaften, der 
Congruenz besser beleuchten lassen wird]. 
So haben wir z. B., um die Congruenz 

2x^-iriix-[-7 ^0 {mod.ll) 

in eine andere umzuforiucn, in welcher der Coefficient von 
ic* gleich Eins werde, nur eine Zahl a zu finden, für welche 
die Congruenz ersten Grades 

ä«-l = (mod.ll) 

besteht. Eine solche 2ahl k ist 6. Darauf bilden wir 
die CongrueuKien : 



y Google 



Kap. m, § 17. 18. 67 

1 imüd. 11), 
2.7.6—7 =0P ' 

Ha.beii wir diese- zu miserer gegebenen Coagrueiiz 

2 a:* + 3a: + 7 = (mod. 11) 

addirt und geordnet, .^o finden wir: 

2ic3 + 2.3.6fl;-|-2.6.7 = (mod. 11); 

woraus, nach Division durch 2, endlieh die Congrueaz 

;r3 + 18ic + 42=0 (mod. 11) 

folgt, in welchei' der Coeffioient der höchsten Potenz von 
X Eins ist. 



§ 13. Obere Brenze für die Anzahl der Lösungen. 

Wir beweisen in Bezag auf die Lösungen einer Con- 
gruenz höheren G-rades folgenden 

SO. Lelir satz. Ist p eine Primzahl, so kann die 
Congi-uenz im*«" Grades 

nicM mehr aJs m Lösungen haben. 

Betveis. Um diesen Satz zu beweisen, bemerken 
wir, dasa derselbe nach § 13 richtig ist fiii' m = 1, d. h, 
für Congruenzen ersten Grradea. Um die Richtigkeit des 
Satzes fiir einen beliebigen Grad zu beweisen, wollen wir 
zeigen, dass derselbe für Congruenzen vom Grrade m rich- 
tig sein rauss, wenn seine Richtigkeit für Congruenzen 
vom Grrade m — 1 erwiesen sein sollte. 

Um uns davon zu überzeugen, wollen wir versuchen 
das G-egentheil zuzulassen , dass nämlich die Congruenz 
iwtea Grades 

X"' -f Bx"'-"- + Ca^"-«-f , . . . + Jff« 4- S = (mod. p) 

mehr als m Lösungen habe, während jede Congruenz der- 



y Google 



68 Kap. III, § 18. 

selben Art vom Grade m-- 1 molir als m~ 1 Lösungen 
nicht haljen könne, und wir wollen die Unzuläasigkeit ei- 
ner solcken Ajinahme nachweisen. 

Wir Laben bereits gesehen, dass die Anzahl der Lö- 
sungen irgend einer Congruenz mit dem Modul p überhaupt 
durch die Anzahl der in der Reihe 

0, 1, 2, ...., p~l 

enthaltenen Zahlen bestinunt wird, welche die Congruenz 
befriedigen. Daher kann die Congruenz 

a;"' -t- B^«-' + C^«-2 + .... + Ha; + S = (mod. p) 
nur dann mehr als m Lösungen besitzen , wenn derselben 
mehr als m Zahlen aus der Reihe 

0, 1, 2, ..... jj — 1 
genügen. Es mögen nun wirklich m -)- 1 solcher Zahlen 
existiren und wir bezeichnen dieselben mit 

a, ßi, «ä, ... ., «,„, 
Wir greifen eine derselben, z. B. a heraus mid durch die 
Differenz x — a dividiren wir den Ausdruck linker Hand 
in unserer < 



und erhalten den Quotienten, offenbar, in der Gestalt: 
x-^-> + ByX'"-' + Cix'^-^ +....+ Hia; + Si 

und dazu noch als Eeat eine gewisse Zahl li. Indem wir 
nun den Dividendaa gleich setzen der Summe des Pro- 
ductes von Divisor und Quotienten plus dem Reste , er- 
halten wir: 

x'-'^ £*"'-!+ Cx"^^ f . . . . + i?iC + S 
= (x—a) («"'-1+ J?i3i™-2 ^ C'i^"'-3+ ....'\-H,x + S,)-\-E. 

Somit kann unsere Congruenz 

x"' -\- Baf-^ -\- Cx"'-^-{' +71X+ S = (mod.j)) 

in der Form 

(re— H)(3:"'-i+Bi:r"~2+Ci:E"'-«-f....^-JT„z-1-Si)+-R=0(mod.i3) 



yGoosle 



Kap. in, § 18. 69 

dargestellt werden. Setzen wir hierin a: = «, wobei a 
der Voraussetzung gemäss eine der die Congnienz befrie- 
digenden Zahlen sein soll, so finden wir iiir R die Con- 



.R = (mod.i)) 
und indem wir diese letztere, von x vollkommen unabhän- 
gige, Congmenz von der vorhergehenden subtrahiren, er- 
balten wir unsere gegebene Coagraenz, welche nach der 
Voraussetzung (m+1) Lösungen haben soU, in der Gestalt: 

(a:-a)(a:"'-'+Z?ir'-2+Ci^'"~3+...4-/:fia:+Si)=0(mod.i))..,(9) 

Wir wollen nmi zusehen, ob in der That dieser Goagruenz 
m -|- 1 Zahlen 

«, «i, «2, ... ., a,n, 
welche in der Reihe 

0, 1, 2, , p~~\ 

enthalten sind, genügen können, wenn angenommen wird, 
dass eine Congmenz in — Ite« Grrades, wie 
9^-1 -1- Bi3f-'^ + CiX"'-3 + .... + Eix + Si = (raod. p) 
mehr als m—1 Lösungen nicht haben kann. 

Hat letztere Congruenz nicht mehr als m—1 Lösun- 
gen, Bo können nicht alle ans der Reihe 

0, 1, 2, , p~\ 

entnommenen m Zahlen 

ßi, ü'i, . . . ., «„, 
der Congruenz G-enüge leisten. Mag nun üi diejenige Zahl 
sein, welche der Congruenz nicht genügt; es wird dann 
der Ausdruck 

indem derselbe nickt congruent ist Null nach dem Modul 
p, eine Zahl repräsentiren, welche durch p nicht theilbar 
ist und welche folglich, da p eine Primzahl sein soll, re- 
lativ prim zu p ist. Dasselbe findet dann aber auch in 
Bezug auf die Difi'erenz u,~a statt, weil die Zahlen «1 



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70 Kap. lli, M«. 

und a, indem jede von Ilmcn nickt grijs,ser als p — 1 und 
nicht kleiner als Niill vorausgesetzt war, iu ihrer Differenz 
nicht eine Zahl liefern können, die durch p theilbar wäre. 
^Folglich sind die Zahlen 

ßi — a, 

«!>"-' + Bi «i"'--2 -f C, «i"'-3 +.... + iT, a, + S, 

relativ prini zu ^i; und mithin inuss auch änä Proi-hiet 

derselben 

(ai-a)(ai"'-' + Biüi"'-^ + Oiöi-^-^ -j.. . . . . + Ki«! + S,) 

relativ prim zu jj sein, woraus, im Gegensatz zu der ge- 
machten Voraussetzung, folgt, dass a; = «i die Cougruenz 
(9) nicht befriedigt; somit ist unsere versuchte Annahme; 
eine Congruenz mten Grrades könne mehr als m Lösungen 
haben nicht möglich, was zu beweisen war. 

Auf Grund dieses Satzes können wir folgenden all- 
gemeineren Lehrsatz beweisen. 

21. Lehrsatz. Sind nicht alle Coäfßdenten der allge- 
meinen Congruens mten Grades 

durch p theübar, so Tcami die Con~ 
gruens nickt mehr als m Lösungen 
haben. 
Beweis. Wir haben in § 17 gesehen, dass in einer 



^a?"+B«"'"i+ C*"'-3 +....+ Hai + 5' =0 (mod.j?) 
alle solche Glieder weggelassen werden können , deren 
CoSfflcienten durch p theilbar sind. Dm-ch eine solche 
Weglassung von Gliedern wird die Cong-ruenz 

wenn in derselben alle Cogfficienten A, JB, C, . . . ., II, 8, 
Vielfache von p sind attf die Identität 

= (mod. p) 
zurückgeführt werden. Im anderen I'alle wird die Con- 
gruenz 



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Kap. ni, § 18. Ui. 71 

Ax'" + Sx»'-^ + Cx'"-^ -\r....-{-Mx-\-S=0 (mod. p) 
auf eine andere zuriickgefüiirt werden, deren Coeffioientea 
durch p nicht theilbar sind. Verwandeln wir diese (nach 
§ 17) iß eiue Form, in welcher der Coeffleient der höch- 
sten Potenz Eins ist, so scbliessen wir nach dem vorher- 
gehenden Lehrsatze, dass die Congriienz nicht mehr Lö- 
sungen hahen kann als Einheiten in dem höchsten Expo- 
nenten derselben enthalten sind; da aber die Gongruenz, 
welche ans 

Aaf'-i- jBa^"->+ Cx''"-^-\- .... + IIx-^8=0 {mod.p) 
durch weglaasung irgend welcher G-lieder erhalten wird, 
offenbar nicht Yon höherem als «*ten Grade sein kann , so 
kann dieselbe nicht mehr als m Lösungen haben, was wir 
beweisen wollten. 



§ 19. Anwendung obigen Satzes auf den Beweis desWIlson'- 
scisen Tlieorems und anderer Eigenschaften dei* Zahlen. 

Auf Gä-mnd obigen Lehrsatzes können viele merkwür- 
dige Eigenschaften der Zahlen bewiesen werden. Unter 
Anderem wollen wir z.B. folgenden Lehrsatz beweisen. 
22. Lehrsafs. Die Goefficienten aller Fotensen von x 
in dem ausgerechneten und nach Po- 
tensen von x georikieten Ausdruck 
{a:— 1) (a;— 2)(«— 3) . . . .(a;— O— l))~ja'-'-f 1 
smä alle äm'c'h p theilbar, tvenn p eine 
FrimeaM ist. 
Beweis. Der Ausdruck 

(^.^.l)(3,__2)(fl^-3).,.,(^-(p---l)) 
wird Null für die Werthe x = 1, 2, S, , iJ— 1; folg- 
lich befriedigen alle diese "Werthe von x die Congruenz 

(x~l) (x~2) (x—'ä) .... (x~(p—l)) = (mod. 2y). 
Dieselben "Werthe von x befriedigen aber, nach dem For- 
mat' sehen Satze, die Congruenz 

xv-^—l = (mod.p), 



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72 Kap. 111, § 19. 

Subtraliirt man diese letztere Congtiienz von der Yorher- 
gehenden, so erhält man die neue Congruenz 
(x^l) {x~2) (x—n) .... ix—ip--l))~x^-^-\^ 1 = (mod.p), 
welche ebenfalls duroL die Zahlen 1, 2, 3, , p~~l be- 
friedigt wird, weil sie ans Congruenzen erhalten worden 
ist, welche einzeln durch dieselben Zahlen 1,2,3, ,..,,j9—l 
befriedigt werden. 

Geniigen aher der Congruenz 
(x~l)(x~2){x—S) .... {a;— (^)— l))_ai'-i + l = (moä.p) 

die Zahlen 1, 2, 3 , p — 1, so hat dieselbe {p — -1) 

Lösungen 

x^2 j 

x = B \ (mod. p). 



Nach dem vorhergehenden Lehrsatze ist aber dieses nur 
dann möglich , wenn sämmtliche Coefficienten des avisge- 
rechneten und nach Potenzen von x geordneten Änsdmckea 



(a; — l)(a: — 2){a;— 3) .... {x—ip—l))-xP-'~\-l 

einzeln durch p theilbar sind, weil sonst die Congruenz, 
welche offenbar (p — 2)ten Grades ist, keine p — 1 Lösun- 
gen besitzen könnte. Hiermit ist also vmser Lehrsatz be- 



"Wir wollen nun zusehen, auf welche Congrnenzen 
wir durch diesen Lehrsatz geführt werden. 

Zu diesem Ende bemerken wir, dass der Ausdruck 
{x — l){x — 2)(x — S) .... (a; — 0-~l)) — a^p-i + l 
nach Ausführung der Multiplicatitm und Anordnung der 
Glieder in 
-(l+2+3+....+iJ~l>!^3_|_(i.2 + 1.3-|-,.,.+ 2.3+....K-3 
-{1.2.3+1.2.4+....+2.3.4+....)as>-'+....+(— l)p-'(1.2.3....(i)— 1))+1 
verwandelt wird; folglich wei'den nach dem tewiesenen 
Lehrsatze die Zahlen 



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Kap, III, § lö 7^ 

l + 2 + 3+.... + (i;-l), 
1 . 2 + 1 . 3 + . . . . + 2 . 3 + . . . . + (p-2) (J) — 1), 
1.2.3+1. 2.4+.... + (i)-3)(p-2)(p-l) 

(--l).-'1.2.3....ö,-l) + l 

Vielfache von p sein. In nnserer Beaeiclmnngsweisc keis.9t 
das : es bestehen die Congruen^en ; 

1 + 2 + 3+.. .. + (;,-11sO 
1. 2+1.3 + .... + (;)-2lO,-l)£0 I 
1.2.3+1.2.4+....+(p-3)(i,-2)0,-l) = l („„a.jj). 



(-l).-'1.2.3....(p-]) + lsO , 

Alle diese Congrueiizen finden somit statt für jedo 
PrimzaM p. 

So hat man z. B, für j^ = 5 wirklich ; 

1 + 2 + 3+4 = , 
1.2 + 1.3 + 1.4 + 2.3 + 2.4 + 3.4 = | 
1.2.3 + 1.2.4 + 1.3.4 + 2.3.4 =-0 
1.2.3.4 + 1 = 1 
Besonders hemerkenswerth ist hier die letzte dieser 
Congruenzen , nämlich: 

(—1)1.-1 1.2. 3.... (?^ — l} + l = (mod.^), 

welche uns auf folgenden Lehrsatz führt, der nnter dem 
Namen des „ Wilson'sehm Lehrsatzes" bekannt ist. 
23. Lehrsais. Ist p eine FrimsaM, so ist 

1.2.3....(iJ — 1) + 1 = (mod.i>). 

Beweis. Die Primzahl j) kann entweder 2, oder 
grösser als 2 aeiu. Im letzteren Falle muss dieselbe, als 
Primzahl, immer ungerade sein. Die für alle Primzahlen 
p gültige Congviienz 



■ (mod. 5). 



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74 Kap, UT, § la, 

(— 1)1'-' 1.2.3.... Oj — 1.) + 1 =0 (mod.j)) 
wird aber bei iingeradem p in 

1.3. 3.... 03 — 1)4-1 = (mod, 2») 
verwandelt. 

Dieselbe Congruenz ist aber aucü für jj = 2 richtig, 
weil sie in diesem Falle in 

1 + 1 = (mod. ä), 
übergeht, was offenbar richtig ist. Somit ist die Dichtig- 
keit des Wilson' sehen Satzes für alle I"ä]le bewiesen. 

Es ist übrigens nicht schwer allgemeiner zu beweisen, 

dass wenn m Zahlen «i, 02, as, . . . ., Oni, welche Meiner 

als p und nicht Meiner als NuU sind, die Congrueng 



An?'' + Bx«-' + CaJ^-ä + . 


... + LX+M 


BäO (mod.i,) 


hefriedigen, dan/n die 


Congruem 


,en 






-^(«. + «2+«3+... 


. + 0.) 




"''1 




A («1 «2 + «1 «3 -|- 


+ »...,»., 




-1 


(med. 


(— l)'-M(0.iM3....ö,«-l + ... 


, . -f- aa a-i . . 


..«„.) 


-^4 




( — l)"'^öiMa«3 a,i. 






eif! 




bestehen. 










Denn die Werthe 










X = a], a'i, 


«3, ... ., 


am 






machen den Aasdrudr 











J.(a; — öi)(fl; — tta)(Ä — 03) — (« — «™) 
zu Nu]!; folglich befriedigen dieselben Zahlen die Con- 
gruenz 

Ä{x — fti) {x — aa) (x — as) ....(x— a,„) = (mod. p). 

Der Voraussetzung nach befriedigen aber dieselben Zah- 
len auch die Congruenz 
Ax"'^ ßx™-' + Cx-'-2 +.... + Zx -f Jlf = (mod. p) ; 



yGoosle 



Kap. lU, § 19. 76 

folgiicli müssen dieselben Zalilen auch die Cougriienz, 
welche als Differenz der beiden ietateren erhalten wird, 
nämlicli ; 

A(x — ßi) {x — «2) (x — O3) .... (X — Om) 
— Äx"' — Bx"'-^—Cx'"-^-—....~Lx~M= (niod. p) 

befriedigen. Genügen aber dieser Coiigmenz m Zahlen 
»1, fliä, dg) .... «1«; welelie ans der Reihe 



entnommen sind, so besitzt dieselbe jw Lbaimgen, während 
ihr Grad niedriger als der m^^ ist, indem das Glied mit 
x"' in dem Ausdrucke 

Ä(x — ßi) (x — eis) (a; — fls) {x — «,«) 

— J.3^— Sx"^^ — Cx"'-^ — ....~Lx—M 

wegfällt. Folglich müssen, nach Lehrsatz Sl, alle Coeffi- 
cienten von x in dem ausgerechneten und geordneten Aus- 
drucke der linken Seite der Cong-menz 

A{x — «i) {x — oa) {x — ßs) ix — «,„) 

_^x"' — iJa:'"-i — CV'-^--.... — ia:— Jf i= (raod-^j) 
einzeln durch p theilbar sein. 

Es sind aber in dieser Congraenz die Coefficienten von 

folgende : 

— J. (dl 4- «ä + 03 . , . , + a„,) — B, 

-ii («1 «2 + öl Ö3 + . . . . + ß,«-l Öm) — 0, 



(- ].)■"-' J. («, aa .... ö„_i + .... + flä ßa , . , . «,„) ~ L, 
{~l)"'J^aißaH3 — ö,„ — M. 

Die Theilbarkeit dieser Ausdrücke diircli p heiast 
aber in der von uns angenommenen Bezeichniuigsweise : 



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Kayi. III, § 19. 20, 

-^ («1 + «2 + «s + . . . . + ff™) - S = 0\ 



Hmod.p), 



{— 1)'"-'^ (et, Ö2 ■ .- . ffl«,-l + -- ■ .+ C!a «8 ■ - . ■ f',p.) — i = 0? 
(— 1)™^ «i «3 ffis ßj» üf = / 

woraus unmittelbar die Congruenzen 

~^(ffli+a2 + a3+....4-a„.) = iJ » 

1 y (raod, jj) 

{ — l)"'-'^(fl,a.2..,.Hm_i4--.-+M2ff3 ««i) = L \ 

( — 1)"* ^ Ol «2 «3 ß„j = M I 

folgen, welche wir beweisen wollten. 

So ergeben sieli z. B. aus der Congrnenz 
x'>~\-2x' + x~4: = (mod, 11), 
welclier die drei Zahlen 1, 3, 5 genügen, die identischen 
Congitienzen für die Coefficicnten : 
-(1 + 3 + 5) = 2 \ 
1.3 + 1.5 + 3.5 = 1 j (mod. 11). 
— 1.3.Ö=— 4} 



§ 20. Zurücitführung einer Congruenz auf eine Form, in 
welclier der Grad Icleiner wird als der Modul. 

Wir haben bewiesen, dass eine Congruenz «iten Grades 

mcht mehr als m Lösungen haben kann. Nunmehr wollen 
wir nachsehen, unter welchen Umständen eine solche Con- 
grnenz auch nicht wenigei' als m Lösungen hat. Dabei 
werden wir immer voraussetzen , dass der Grad m nicht 
grösser als p -~1 iwt. Damit aber diese Voraiissetzung 



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Kap. III, 5 20. 77 

nicht etwa als eine Eiiiacliränkung tlei- AUgemeinlieit be- 
traohtet werde, wollen wir zuerst zeigen, dass eine allge- 
meine Congrnenz 

afJ^Jßx"^' + Cx"'-^ -\-.... + Lx + M=0 (mod.p) 
immer auf jene Form zurückgefülirt werden tann. 

24. Lehrsatz. Ist j) dne Primsahl, so kann die Cort' 
c/ruens m*«« Grades 

imner durch eine Congrnenz (p—iyen 
Grades 

er seist werden, tmhei das Folynom 

der Rest ist, welcher hei der Division 
des gegä>enen Folynoms 

durch 

xf—x 
erhalten wird. 
Beweis. Dividirt mau das Polynom 

^' + Bx™-' + Ca;™-« ^.... + Lx + M 

durch x^—x, eo werden Quotient tind Rest ganze Func- 
tionen mit ganzen Coefficienten aein ; dabei wird der Grad 
des Restes Heiner aein als der des Divisors x^ — x, folg- 
lich nicht grösser als p-^1. Mag nun der Quotient bei 
dieser Division mit ^(x) und der Rest mit 

AiXP-'-i- BisP-2 + Cix^^ + . . . . -i-Lix + Ml 

bezeichnet werden. Indem wir nun den Dividendas der 
Summe des Produetes von Divisor und Quotienten plus 
dem Reste gleich setzen, erhalten wir : 

a;m -(- Ba:"^i + Ca;™-2 + ....+ Za; + M 
= ^x){xf—x)-\-Äix^-''-\-BiXi'-'-\'CixP-^'\-...'^Lix-\-Mi (10) 



yGoosle 



78 Kap, ITI, § 20. 

Dui'cli die Bet];ai']itaiig dieser Gleichung liaiiu man 
sicli leicht überzeugen, dass die Cougruenz 

der Congruenz 

AiXP-^-\-SiX^--^^ü,xP-'-'-]-.... + LtX + Mi = Ü (mod.ij) 

vollkommen identisch ist. Denn der Ausdruck afi — x ist 
für beliebige "Weithe von x congruent Null nach dem 
Modul p ; schreibt man nämlich 

xf—x = X {a;P-i — 1), 
so siebt man sofort, dass wenn x ein Vielfaches von p 
ist, der erste Factor dea Ausdruckes durch p theilbar wird 
und wenn x durch j? nicht theilbar ist, so genüg-t der zweite 
Factor (nach dem Fermat'schen Batze) der Congruenz 
9?-' — 1 = (mod.^). 
Daraus folgt, dass das Product 
^(x) (xP — x) 
für beliebige Werthe von x congruent ist Null ji.ach dem 
Modul p. 

Somit können wir von der Hnken. Seite der Congruenz 
a:™ + Bx'"-^ + Ca;"'-^ .|. . , . . + L^ _|^ 3/ = Q (,nod. 2)) , 
ohne ihre Griiltigkeit zu beeinträchtigen, das Product 

(x) (xi" — x) 
subtrahiren, wodurch dieselbe die G-estalt 
a;'"+Bai™-'+CiC™-^+. . . .+Lx+M— 0{x){xp~~x) = (mod.») 
annimmt, und nach (10) kann dieselbe auf 
^,«!'-i4-Bi:cP-2-|~Cia:^3+.... + i,«4-irfi = Ü (mod, p) 
zurückgeführt werden, wa.s zu beweisen war. 

Dadurch ist der Schluss begründet, dass der Grad 
einer Congruenz mit dem Modul 2 immer bis auf 1 herab- 
gesetzt, der Grad einer mit dem Modul 3 bis auf 2, einer 
mit dem Modul 6 bis auf 4 u. s. w. herabgesetzt werden 
kann. 



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Kap. III, § 20. 21. 79 

Su künnen wir ■/.. B. , wenn die Congii\euz 

fl!^ + «'^ ~ 1 = (mod. 3) 

gegeben ist, den (xrad deraellien bis auf 2 herabdrücken. 
Zu diesem Ende sticlien wir den Eest der Division von 
x^-\-x^ — 1 durcli x^ — 3! auf, Da dieser Kest x^-\-x — 1 
ist, so können wir die betrachtete Congruenz durch 

:ca_j_3._j = (mod. 3) 



§ 21. Kriterium, zur Entsctieidung ob eine Oongruenz so viele 
Lösungen besiM, als deren Grad Einheiten hat. 

Nachdem wir gezeigt haben, wie man den Grad einer 
Congruenz mit dem Modul ^ bis auf f — 1 herabdrücken 
kann, wollen wir nunmehr zeigen, unter welchen Bedin- 
gungen eine Congruenz mten Grades 

a?- + Sa;™-! + Cs?"-^ + . . . . -f ia^ + 3/ = (mod. f) 

m Lösungen hat, wenn m nicht gTosser als p — 1 ist. 
Wir setzen hierbei den Coefficienten der höchsten Potenz 
von X gleich Eins voraus, weil wir gesehen hallen, dass 
man es bei jeder Congruenz so einrichten kann. 

Nacli folgenden Lehrsätzen wird man immer beiir- 
tlieilen können, ob eine solche Congruenz so viele Lösungen 
als Einheiten in dem Exponenten ihres Grades vorhanden 
sind, hat, oder nicht. 

25. Lehrsats. Hat die Congruens 

x"'-i-Bx"'-^-\-Ox'^-^+....-\-Lx+M^ti(mQd.p) 
m Losungen, so sind die CoSfßdenten 
in dem Beste der Division von x^ — x 
durch 

alle durch p iheilbar. 



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80 Kap. III, § 21, 

Beweis. Wii' bezeiclinen mit .F^x) den Quotiunten 
der Division von x^ — x darcli 

x'"-^ Bx^-^-i-Cx^-^ + + ia: + JM 

und mit ip{x) den Rest dieser Division und erhalten, in- 
dem wir den Dividendus der Summe des Productes von 
Divisor und Quotienten plus dem Keste gleich setzen : 

xr-~x^F{x){x^+Bx"'-^ + Cx"'-^ -]-.... -\-Lx-\-M)-\-^{x), 

woraus 

(11) xP—x~l-ix){x'"-^Bx"'-'+Cx"'~''+ . ...-^Lx^M) = (f{x) 

sieh ergiebt. 

"Wir bilden nun die Congruenz 

und beweisen , dass dieselbe , unter den gemachten Vor- 
aussetzungen, nicht weniger als m Lösungen hat. Dieses 
folgt daraus, dass der Ausdruck x'^ — x^ wie wir in § 20 
gesehen haben, für beliebige Werthe von x coiigriient ist 
Null nach dem Modul p und was das Produet 

Fix) (ai'« + Bx^"-^ + Cx"'-'^ _j_ . , . . _|_ ia; _j_ jjf ) 
betrifft, so wird dasselbe liir alle solche Werthe von x 
congruent Null nach dem Modul p^ welche die Congruenz 

a^" + :Ba^"-i 4- Cfl;™-^ -^ ....-]-Lx-\- M=C> {mod. p) 

befriedigen. Letztere Congruenz hat aber nach der Vor- 
aussetzung m Lösungen. 

Somit hat die Congruenz 
!gf—x-F{x) (a^-f .BiB^-i-f C3?"-^+....+ia:+M) = O(mod.i)) 
mindestens m Lösungen. Diese Congruenz ist aber nach 
(11) auf 

(p{x) = (mod. p) 
zurückfiihrbar , deren Grad kleiner als m ist; weil cp{x) 
für luis den Kest der Division von x^- — -x durch 

^-\-Bx'"-^-\- Gx"'-^-\-....-\-Lx^M 
bedeutet. 



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Kap. ni, § 21. 81 

Haben wir niis auf diese "Weise von der Congruenz 
(p{a:) ^0 (mod.p) 

einerseits überzeugt, dass dieselbe mindestens m Losungen 
hat und andererseits, dass ihr G-rad niedriger, als (1er mte 
ist, 30 sciiKessen wir nach Lehrsatz 21, dass die CoSffl- 
cienten in fp{x) alle durch p theilbar sein müssen, worin 
der zu beweisende Satz bestand, 

"Wir woUen nunmehr den umgekehrten Lehrsatz be- 

26, Lehrsais. Sind in dem Reste der Division von 
icP — X durch 
a^>_|_jBa™-i + Cai"'-2-|- . . ..J^Lx+M 

alle Coefficienten Vielfache von p, so 
hat die Congruenz 
ir"+£a:^i+03?"~2+..,.+i^+i1i = (raod.j?)) 
m Lösungen. 
Beweis. Es mögen wieder F{x) und cp(_x) den Quo- 
tienten, respective Rest bei der Division von af — x durch 

X'" + Ba^'-i + fe"^2 ^ . , . . _|_ i^ -I- Jif 
bedeuten und in dem Reste (p(x) sollen alle Coefficienten, 
nach Voraussetzung, Vielfeiche von p sein. Dann wlcd 
für jeden Werth von x die Congmenz 

ip{x) = (mod.iO (12) 

bestehen, während der Quotient F(x) eine ganze Function 
{p-m)tea Grades von der Gestalt 

F(x) = a;P~™ + .Bia;!'-™-i+.... 
sein wird. 

Setzt man den Dividendus gleich der Summe des 
Productes von Divisor und Quotienten plus dem Reste, 
so findet man 

xP—x = F(x)(x"'-\-J3X'"~-'+Cx"'-^+....-\-Lx-\-M)-{-fp{x), 
woraus 
xv~x—f,(x) = F(x) (x'" +B«'"-i + Ca;™-^ +....+ La; +jy) 

Toliehjsclinff, Kahlenthcom, 6 



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8'2 Kiip, III, s 21. 

folgt. -Da aber uacii (_i2) nnd nach dem oben über xf.—x 
Au3eiiia.ndeTgesetzten die linke Seite der letzten Grleiekung, 
xF~-x--(p{a:) für alle Zahlen 0, 1, 2, ... ., p—l congnient 
ist Null nach dem Modul p, so werden anch alle diese 
Zahlen die Congnienz 
F{x) (a^™ + Bx"'-^ + Ca^-2 +.... + ix + Jlf) = Ü (mod. p) 

befriedigen, weil die linke Seite deraelhen, nacli dem eben 
Ansgefiihrten, mit der Differenz xv--x~-cp{x) identiaeli ist. 
Es genügen also alle p Zahlen 0. 1, ä, . . , ., p — 1 
der Congruenz ^ten G-rades 

F{x)(x'^-]-BX'"-^-\-Cx"-^+.... + Lx-^M) ^Oimoä.p), 

welcher offenbar keine solche Zahl genügen kann, die 
nicM einer der beiden Congruenz en 

F(x) =0 (mod.p), 
X"' + Bx?-'-' + C«"'-ä -f . . . . + ia: + Jtf = Ü (mod, p) 

genügen würde. Denn wenn z. B. der Werth x = a keine 
dieser letzten Congruenzen befriedigt , so werden sowohl 
F{ct) als auch «" + .Ba™-i-l-Ca"'-^+.... + iK + M Zahlen 
sein, welche durch p nicht theilbar sind, d.h. (weil p 
selbst eine Primzahl ist) Zahlen, welche relativ prim sind 
zu p. Sind aber die Zahlen F{a) und 

a'» + iJR"-i + Cc'"-3 + ....+■ iß + JSf 

relativ prini zu p, so mnss auch ihr P]'oduct 

F{cc) (a™ + :eß"'-' + CV'-a + .... + iß + Jf) 

eine Zahl repräsentiren , weleke relativ prim zu p ist; 
und folglich kann die Congruenz 

F{x) (^" + B^-' + Gx"'-^-\-. ...^-Lx-\-M)-^- (I (mod. p) 
durch a; = « nicht befriedigt werden. 

Es mnss also jede der Zahlen 0, 1, 2, . . . ., p—l 
mindestens eine der beiden Congruenzen 

F{x)~(i; a;"' + If^»-i + C,«™"2-]-....-i-ia: + ai'=0 (mod.;)) 
befriedigen. 



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Kap. ni, g -21. 83 

iäezeiclmen wir dalier mit n die .A,Bza.hl derjenigen 
Zahlen der ß.eihe 

0, 1, 2, , p~l, 

wololie die eine Congnienz 

Fix) = (mod. p) 

und mit n' die Anzahl derjenigen Zahlen aus derselben 
Reilie, welche die andere Congnienz 

;r" + J?«"*-! + CV-^ + .... + la: -H jy = (mod. p) 
befriedigen, so ist jedenfalls die Si\mme 

n -\~ n' nicht kleiner als p. 
Dabei geben n und n' beziehungsweise die Anzahl der Lö- 
sungen der Congmenz 

F(x)^0, i'es]i.x'"-{'B^'^^-\-Cx^'-^'{-....-\-Lx-\-M~0 (mod.p) 
an, welche ja, wie wir öfter wiederholt haben, durch die 
Anzahl der Zahlen aus der Reihe 0, 1, 2, ... ., p — 1, die 
die betreffende Congruenz befriedigen, bestimmt wird. 
Folglieh ist nach Lehrsatz 20 

n' nicht grösser als m, und n nicht grösser als p — m; 
weil P{x), wie wir gesehen haben eine Function {p — m)teii 
Grades in dci' (Tcstalt 

«>■-'" + Bixv-"'-^ + . . . . 
ist. 

Es werden also die Zahlen n und n', welche resp. 
die Anzald der Lösungen der Congnienzen 
F{x)~0\mix'"-\-Sx""'+Gx"'-^+ .... +Lx^M~i) {moA.p) 
angeben, den Bedingungen 

w -j- '^' = i^ i ii'l^p — m ; n' ^ m 

zn genügen haben. 

Eliminirt man n ans den ersten zwei dieser drei Be- 
dingungen, so erhält man für n' die Bedingung 

n' '^m, 
welche in Yerbindimg mit der dritten der obigen Bedingungen 



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Kap, in, g 21. 



die Grleicluing 



liefert, was bewiesen werden sollte. 

Auf Grrvuid der letzten zwei Lehrsätze sind wir nun 
immer im Stande zu entscheiden, ob eine gegebene Con- 
gruenz wirklich so viele Lösungen hat, als Einheiten in 
dem Exponenten ihres G-rades vorhanden sind. Zu diesem 
Ende machen wir zuerst, nach der im § 17 gezeigten Me- 
thode, den Coefficienten der höchsten Potenz in der gege- 
benen Congrnenz gleich Eins und dividiren dann , indem 
wir mit ^ den Modi.il der Congruenz bezeichnen, 

xi-' — x 
durch die linke Seite der gegebenen Congruenz. Sind 
dann in dem bei dieser Division sich ergebenden Reste 
sämmtliche Coefficienten Vielfache von p, so schliessen 
wir nach dem letzten Lehrsatze, dass die gegebene Con- 
gruenz wirklich so viele Lösungen besitzt, als Einheiten 
in ihrem höchsten Exponenten vorhanden sind. Im ent- 
gegengesetzten Falle schliessen wir nach dem vorletzten 
Lehrsatze , daas die gegebene Congruenz so viele Lösun- 
gen nicht besitzt. 

Um z. B. zu erfahren, ob die Congruenz 
^9 — ^s — 2x = (mod. 5) 
drei Lösungen hat, oder nicht, dividiren wir 



^»„^2 — 2x. 
Da diese Division den Rest 
6x^ -\- hx 
ergiebt , in welchem beide Coefficienten durch 5 theUbar 
sind, 80 schliessen wir, dass die gegebene Congruenz drei 
Lösungen hat. [In der That überzeugt man sich in die- 
sem Eaüe , wo der Modul eine kleine Zahl 6 ist , durch 
einfaches Einsetzen für x die Werthe a; ^ ü, 1, 2. 3, 4, 



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Kap. in, § 21, 85 

dass :c --^ I niid ,t = 3 die Congruenz nielit befriedigen; 
dagegen 

xsO; X = 2] X = 4. (mod. 5) 
die Lösungen wirklicli sind.] 

L liefert die Division von 



durch 

den Rest 

X'''— dx-i- 2, 
in welchem die Coüfficienten nicht theilbar sind durch 5, 
wnd wir schlieaaen daher, dass die Coagruena 
a,s_[_3;2_2 = (mod. 5) 

weniger als drei Lösungen hat. 

[In der That überzeugt man sich leicht, dass die 
Worthe 

X — Q; x=d; x = 4 

die Congruenz nicht befriedigen, dagegen 
x = l; x = ''2 {mod. 5) 
1 sind.] 



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Kiipitel IV. 

lieber Congruenzen zweiten Grades, 



§ '■itl. Zurückfühi'ung der vollständigen Gongruesizeii zweiten 
Grades auf die Congruenz von der Form 

s^ = 3 (motl. jj). 

Die allgemeine Form einer Congi'neiiz zweiten G-rades 
ist 

ax'' -\-'bx -\- c ^ ^) (mod. f). 
In zwei Tällen kann diese Congruenz auf Congmenzen 
ersten G-rades zurückgeftilirt werden. Erste^zs, wenn p = 2 
ist. In diesem Falle kann man nach Lehrsatz 24 den 
Grrad einer Congruenz mi^" Grades überhaupt, also aneh 
den Grad von 

ax^ + hx-\-c = (mod. 2) 

bis anf 1 herabdriicken. Man dividirt Her die linke Seite 
durch x^—x und ersetzt die gegebene Congruenz durch 
die ihr identische Congrnenz ersten Grades 
((( 4- ft) a; + c = (mod. 2). 
Zweitens kann man die gegebene Congruenz zweiten 
G-rades 

ax'^ -\-hx-\- c ~ (mod, p) 
auf eine solche ersten Grades zurückitihren, wenn a durch 
p theilbar ist; weil wir in diesem Falle die Congruenz 

(t = (mod. p) 
mit x'^ multipliciren und die dadurch erhaltene: 



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Kap, IV, § 22. 87 

ax^ = (mod.ß) 
von der gegebenen 

ax^ + hx ~\~ c = (mod. p) 

snbtrahiren können, wodaroh wir eine Congriienz ersten 
Grade» 

bx-\-c = (mod. p) 

eriialten, welche mit der ursprünglicbeu identiacli ist. 

Also, wenn entweder j> = 2 ist, oder a ein Mnltiplum 
von p, kann die Congruenz zweiten Grrades 

ax^ -f- Ja; + c = (mod. p) 
aiii eine ersten Grades znriiekgeführt werden, welche wir 
lösen können. Wir wenden uns nun zu dem Falle, dass 
p nicht gleich 2 und a kein Vielfaches von ^j ist nnd 
wollen uns vorerst, zur Vereinfachung der Untersuchung, 
auf die Annahme beschränken, dass p eine Primzahl ist. 

Wir werden nun zeigen worauf die Lösimg der Con- 
griienz 

ax^ + &a; 4- * ^ (mod. p) 
in diesem Falle zurückzuführen ist. 

Da p , nach der Voraussetzung , eine Primzahl und 
von 2 verschieden nnd a kein Multiplum von p ist , so 
wird 4 öl relativ prim zu p sein; folglich wird, wie man 
sich leicht überzeugen kann, die Congruenz 

ax^ -\-hx-\-c = (mod. p) 
mit 

4« {ax^ -{- bx ~|- c) = (mod. p) 
identisch sein. 

In der That ist die zweite der beiden Congruenzen 
in der ersten enthalten; weil wir immer, ohne eine Con- 
gruenz zu beeinträchtigen, die Grlieder derselben mit einer 
beliebigen Zahl multipliciren dürfen. Umgekehrt ist aber 
die erst« Congruenz in der zweiten enthalten, indem sie 
aus derselben durch eine erlaubte Weglassung des Fac- 
tors 4a hervorgeht, — eine erlaubte Weglassnng, weil 4a 
relativ prim zu p vorausgesetzt worden ist. 
Die Congruenz 



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88 Kap. IV, § 22. 

4a (ax" -{-Ix-l-c) = (mod. p) 
kajin man aber so schreiben: 

{^ax-{-by'—b''' -{-Aar. = (mod.^j)- 
Hieraus leiten wir die Congnienz 

^^ = b^—4ac (mod.p) 
ab, indem wir 

s ==; 2ax + b 
setzen. 

Daraus ersehen wir, dass die L'ösung der Congrueuz 
ax^ -\~bx-\-c ~0 (mod. ^) 
auf die Lösung von 

gs ^ 5i!_4(;(ß (mod.^j) 

und auf die Bestimmung von x durch die G-leichung 

2ax -\-b = s 
zurückgeführt wird. 

Waa nun die Bestimmung von x aus der Gleichung 

2ax -\-b =: s 

betiifft, nachdem s bereits durch die Lösimg der Congruenz 

^a = ja_4(iM; (mod. p) 

gefunden ist, so ist diese Bestimmung auf die Lösimg 
einer Congruenz ersten Grades zurüchzufiiliren. 

Nach dem, was wir über die Lösungen von Congruen- 
zen in der Torrn f(x) = (mod.ß), in welchen f{x) eine 
ganze Function von x mit ganzen CoSfficienten bedeutet, 
bemerkt haben, wird nämlich die Lösung der Congruenz 
z^ = i^— 4ac (mod. 2)) 

jedenfalls durch eine oder mehrere Congruenzcn in der 
Gestalt 

s = K (mod. p) 
dargestellt werden. Folglich werden wir , um x zu be- 
stimmen, welches mit s durch die Gleichung 

2ax -\-h = s 
verbunden ist, die Congruenz 



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Kap rv, S 22 89 

2fu: -\-h ^^ a (mod. p) 

Diese Congruenz ersten Grades zix lösen, habeu wir 
"bereits gelernt. "Wir bemerken zugleich, daas dieselbe, 
■unter den gemachten Voraussetzungen immer eine Lösixng 
besitzen wird; weil nämlich Her die beiden Zahlen 2a 
und p relativ ptim zu einander sind. 

Somit besteht die Schwierigkeit der Lösung der nll- 
gemeinen Congruenz zweiten Grades 

ax- -\-hx-\-c^O (mod. p) 
lediglich in der Auffindung der Lösung der speciellei'en 
Congruenz 

Ä^ = ¥— iac (mod. i?) ; 
mit dieser letzteren wollen wir uns nunmehr eingehender 
beschäftigen. "Wir werden dieselbe in der Form 

g^ ~q (mod. p) 
schreiben, indem wir. Kürze halber, 
b^—iae = q 
setzen werden. 

Indem wir nun die Congruenz 
^^ ^ g- (mod. p) 
näher betrachten, bemerken wir sofort, dass dieselbe, falls 

5 ~ (mod. p) 
ist; durch 

^ = (mod.j)) 
befriedig-t wird. Man kann sich auch leicht überzeugen, 
dass in diesem Palle « = (mod. p) die einzig mögliche 
Lösung der Congruenz s^ ^q (mod. p) sein wird. Denn, 
sobald q congruent Null nach dem Modul p ist, drückt ja 
die Congruenz s^ ^ q (mod. p) nichts Anderes aus, als dasa 
s^ durch p theilbar ist. Da aber p, als Primzahl, nicht 
durch das Quadrat irgend einer Zahl theilbar sein kann, 
so muss die Theilbarkeit von ^^ dui-ch p, nach Lehrsatz 
6, die Theilbarkeit von s selbst durch p zur Voraussetunng 
haben, was wir aber durch 

s~0 (mod. p) 
ausdrücken. 



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90 Kap. VI, S 22. 

Somit liesitzt die Congruenz 

0^ = q (mod, p) , 
wenn q congrnent Null nach dem Modul p ist, die einige 
Losung 

3 = (mod. p). 
(iehen wir mm zu dem Falle über, dass q in Bezug 
auf den Mod. p mcM congruent Null ist. In diesem Falle 
findet in Betreff der L'ögnngen der Congnienz 2^ s g (mod.ß) 
folgender Lehrsatz statt. 

27, Lehrsatz. Ist q nach dem Modul p nicht con- 
grueni Null, so hat die Cwigmenz 

s^ ~ q (mod. p) 
entweder gar heine Löswig, oder sie 
hesitst dereit swei. 
Betveis. "Wir haben gesehen, dass eine Congruenz 
f(x) = (mod.p) überhaupt genau so viele Lösungen besitzt, 

als es Zahlen unter denjenigen der Beihe 0, 1, 2, , ^5—1 

giebt, welche die Congruenz befriedigen. Darnach ist es 
aber leicht zu beweisen, dass die Annahme, die Congruenz 

^^ ~ q (mod. p) 
habe nur eine Lösung, unmöglich ist, wenn nicht 

("/ = (mod, p) 
ist. 

Es mag, in der That, a diejenige Zahl aus der Reihe 
0,1,2, ....,ß — 1 sein, welche die CongTvienz Ä*' = g(mod.p) 
befriedigt. Die Zahl a kann nicht Null sein : da die Sub- 
stitution von Ä = in s'^ ^ q (mod. p) die Congruenz 
= q (mod. p) abgeben würde , was gegen die Annahme 
wäre. Es kann somit a mir eine der Zahlen ],2,...,p— 1 
sein. 

Es ist aber leicht einzusehen, dass wenn die Congruenz 
s^ = q (mod. jj) durch die Zahl a befriedigt ■wird, dieselbe 
auch durch p — « befriedigt werden musa ; weil (j> — »)', 
als eine mit p^ — 2ap-\-a^ identische Zahl, offenbar con- 
gruent ist «^ nach mod. ^, Es mrd also p — a immer 
dann eine zweite Lösung der CongTuenz s'' = q (mod. p) 



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Kap, TV, § 22. 23. 91, 

liefern , wenn die 2alil p — a erstens imter den Zahlen 
0, 1,2, . , ., p — 1 enthalten und mveitens von a verschie- 
den sein wird, Ersteres folgt aber ans dem Umstände, 
dass a nicht grössei' als p und nicht kleiner als 1 ist; 
während die zweite Eedingting deshalb liier eri'ällt sein 
miisB, weil sonst 

p — a = u, also p = 2a 

sich ergeben würde, was unmöglich ist, da die von 2 vcv- 
sehiedene Primzahl p keine gerade ZaJil sein kann. 

Befindet sich also imter den Zahlen der genannten 
Eeihe eine Zahl, welche die Congmenz s^ ^ q (moä. p) be- 
friedigt, so wird sich darunter zugleich auch noch eine 
zweite Zahl beimden, welche ebenfalls die genannte Con- 
gmenz befriedigt. Folglieh ist es nicht möglich , dass 
diese Congruenz mr-r eine Lösung haben sollte. Da sie 
aber, als eine Congrnena zM'eiten Grades, auch nicht mehr 
als Jtwei Lösungen haben kann, so kann dieselbe nur eni- 
tveäer gwei Lösungen, oder gar heine besitzen, was wir be- 
weisen wollten, 



t^ 2^. Ueber die Existenz der Lösungen der Congruenz 

^^^-1 (mod. p). 

"Wir wollen uns jetzt rait der Untersuchung derjeni- 
gen Kriterien beschäftigen , nach denen man entscheiden 
kann, ob die Congmenz «^^ = 2 {med. p), wenn nicht 5 :^ 
(mod.jj) ist, zwei Lösungen besitzt, oder gai' keine. 

Auf Grrund der in § 21 bewiesenen Lehrsätze ist es 
nun leicht zn erkennen, ob die Congmenz 

s'^ — (^ = (mod. p) 

zwei Lösungen besitzt, oder nicht. "Wir haben zu diesem 
Zwecke den Rest zu finden , welcher bei der Division von 
^ — s durch 3^- (i erhalten wh'd. Um diesen Rest leich- 
ter finden zu können, schreiben wir den Dividendus zi'—n 
in der Yona 



y Google 



92 Kiip. rV, g 23, 

r ,-i ,^ V f^ ] 

imd bemerken, dass der Ausdrtick 

durch s' — q theilbar ist. FolglicH wird der Ausdruck 



{S-] 



der gesiicKte Rest der Division von ^—^ durch s^~q sein. 
Daraus sehliesseu wir nach Lehrsatz 26, dass die 
Congruenz 

B^iLq (mod. p) 
zwei Lösungen besitzt, wenn 



durch p theilbar ist, oder in unserer angenommenen Äv\s- 
drucksweise, wenn die Congi-uenz 

f~l 

9^=1 (mod. p) 
stattfindet. 

Wird diese Congruenz nicht erfüllt, ist also g ^ —1 
kein Vielfaches von p, so schliessen wir nach Lehrsatz 25, 
dass die Congruenz ^^ = 5 (mod. p) keine zwei Lösungen 
und somit auch gar keine Lösung hesitzt ; weil diese Con- 
gruenz nach Lehi'satz 27 entweder zwei Lösungen, oder 
gar keine zulassen kann. 

Wir haben somit das Kriteriuoi gewonnen ; 
Die Oongruens 

s^=^q (mod. p) 
tesitzt zwei Lösungen, oder gair heine, je nacJi- 
äem die Conc/ruenz 

g — ^ 1 (mod. p) 
stattfindet, oder nicht. 



y Google 



Kap. IV, § 23. 24. 93 

Im erateren Fa]\e werden wii- sageu : die Goiigrucnz 
ß'^ = ({ (mod. }i) 
ist möglich; im entgegengesetzten Falle — sie sei uii- 
möglicli. 

Wir erinnern hier noch daran, dasa das eben erhal- 
tene Kriterium nnter der gemachten Voraussetzung ge- 
wonnen wurde , dass p eine von 2 verschiedene Primzahl 
und q eine beliebige, positive, oder negative, durch p nicht 
theilbare Zahl sei. 

Beispiel. Um zu erkennen, ob die Congruenz 
ß' = S (.mod. 5) 

Lösungen hat, oder nicht, erheben wir 3 zur — ^-ten oder 

äten Potenz. Indem wir nun finden , dass 3* nach dem 
Modul 5 nicht congruent ist 1 , schliessen wir , daas die 
Congtuenz £^ = 3 (mod. 5) heine Lösungen hat ; mit an- 
dern Worten, dass diese Congruenz unmöglich ist ; [durch 
Einsetzung der Werthe 0, 1, 3, 3, 4*) Irann man sich von 
der Unmöglichkeit leicht überzeugen]. 

Dagegen überzeugen wir uns, dass die Congruenz 
s^-2 (mod. 7) 
zwei Lösungen besitzt, indem wir finden, dass 
7—1 
2'^ --.8 
nach dem Modul 7 congruent 1 ist; [in der That wird 
unsere Congruenz durch s = 3 und a^ ^ 4 =^ 7 — 3 be- 
friedigt und £; = 3 ; « ~ 4 (mod. 7) sind also die zwei Lö- 
sungen derselben,] 



§ 24. Ueber das Symbol ßA. 

Sind p und g keine sehr grossen Zahlen, so ist ( 
nicht schwer zu erkennen, ob die Congruenz 



[* Es ist nur nöthig für * = 1 «nd a = 2 ku prüfen, weil 
gesclilosseii ist und 15 ; 4 die! Zahlen 2, resp. I zu 5 ergänzen.] 



y Google 



2=1 (mod. p) 
stattfindet, odev niclit. Diese Erkenntniss wird dagegen 
selir schwer, wenn p nnd q grosse Zahlen sind. "Wir wol- 

P-I 
len nun zeigen, wie man sich, ohne den Wertk von g 

zu berechnen, überzengen kann, ob die Congruenz g ^ = 1 
(mod. p) erfüllbar ist, oder nicht, um dadurch zu entsckei- 
den, ob die Congruenz s^ ^ q (mod, p) Lösungen besitzt, 
oder nicM. Zu diesem Zwecke wollen wir zeigen, dass 
wenn g durch p nicht theilhar und p eine von 2 verschie- 
dene Primzahl ist — vuid das waren ja unsere gemachten 

Voraussetzungen — , die Zaid g ^ jedenfalls eine der 
beiden Congruenzen 

p-i j 

befriedigen muss. 

Denn, wenn keiiie von diesen beiden Congruenzen he- 

friedigt sein sollte, so würde weder die Zahl g ■— t, 

noch die Zahl g ^ + 1 durch p theilbar sein und folglieh 
müsste jede dieser Zahlen, da p selbst Primzahl ist, re- 
lativ prim zu p sein. Wären aber beide Zahlen 

g ^ — 1 und (( ^ -f 1 
relativ prim zu }), so miiaste auch ihr Prodixet 

(4^2'_i)(,V+l) = f/-'-l 
relativ prim zu p sein , was nickt wahr sem kann , weil 

nach dem i^'enjiaCschen Satze die Differenz ^ —1 durch 



y Google 



Kap. IV, § 24. S 

21 theUbar sein muüM. Folglich wird eine der beiden Cüi 



g '■^ ~-i; g ^ E_=— l(mod. ^) 
i erfüllt sein. 

Man kann sieli ater andererseits leicht überzeugen, 
dass diese Congrnenzen nicht heide gleichzeitig bestehen 
können. Denn die Zulassinig beider würde 

1 = — 1 (mod, p) und somit 2 s^ {inod.j)) 

ergeben , was unmöglich ist ; weil p, als eine nach Vor- 
aussetzung von 2 verschiedene Primzahl, kein Theiler von 
2 sein kann. 

Aus unserer Auseinandersetzung folgt, daas die Mög- 
lichkeit der Congruenz s^ = q (mod. p) durch dasjenige 
Vorzeichen bestimmt wird , welches man in der rechten 
Seite der Congruenz 

q ^ =±l (mod. p) 
an nehmen hat, damit dieselbe befriedigt werde. Wird 
dieselbe mit dem Vorzeichen + befriedigt, so lässt die 
Congruenz s^ ^ q (mod. p) Lösungen zu und man nennt 
in diesem Falle die Zahl q einen quadratischen Best der 
Zahl p. Im entgegengesetzten Falle, wenn namlicli die 
Congruenz 

q ^ =±1 (mod.p) 

mit dem Vorzeichen — ■ befriedigt wird , lässt die Con- 
gruenz is^ = q (mod, p) keine Lösung zu und man nennt 
dann die Zahl q quadratischen Nichirest von p. 

Man ist femer, um die Schreibweise abzukürzen, 
übereingekommen, anstatt zu schreiben: p imA q befriedi- 
gen die Congruenz 

g E; 1 (mod. j)), 

was, wie wir gesehen haben, ein Kriterhun ist für die 
Möglichkeit der CongTuenz 



y Google 



96 Kaji. IV, ? 24. 

kürzer zAi schreiben: 

p-1 
im entgegengesetzten IFalle , wenn g =—1 (mod. p), 
sclireibt man 

(J) — 

Nach dieser Bezeichiraiigsweise bedeutet das Symbol 
(^'\ die Zahl 1, mit demjenigen der beiden Vorzeichen ± 
genommen, mit welchem dieselbe der Congrnenz 

q ^^ = + 1 (mod. p) 
genügt. Folglich wird die Bedeutung des genannten Sym- 
bols durch die Congruenz 

(7 '^ = ( -) (mod. p) 
und die gleichzeitige Bedingung, daas der Zahlwerth von 

(f) 

immer 1 ist, vollkommen bestimmt sein. 

Beis'piel. Wir haben oben gesehen, das.s die Con- 
gruenz 

q =1 (mod. p) 
für g ^ 2 und p ^7 befriedigt i.st ; folglieh wird nach 
unserer ßczeichunngsweise 

5—1 
sein. Dagegen fanden wir oben, dass 3 , bezüglich 
den Modul 5 eongrnent ist — 1 ; folglieh ist 



©^ 



-1. 



y Google 



Kap. IV, § 24, 25. 
Auf diese "Weise scblieasen wir aus 



©^ 



dass die Löstmg der Coiigruenz s^=i2 (mod. 7) möglich 
ist imd nennen die Zahl 2 qiiadratischen Rest von 7. Da- 
gegen folgern wir aus der Gleichung 



©^ 



-1 



die Unmöglichkeit der Congruenz s^ ^d (mod. 5) tind die 
Zahl 3 wird daher quadratischer Nichtrest von 5 sein. 



§ S5. Eigenschaften des Symbols f-X 

Nachdem wir die Bedeutung des Symbols {— } he- 

stimmt haben, wollen wir zur Entwickelnng seiner Eigen- 
schaften sehreiten und zunächst folgenden Lehrsatz bewei- 

28. LaJiTsats. Das Symiol i — j Imt den Werth 1 

und das Symbol ( — ) den Werth 

p-l 
(-1) ' . 
Beweis. Wir haben gesehen, dass das Symbol ( — ) 
immer die Congrueiiz 

3 2 ^(1) (mod.p) 
hierin hintereinj 

1 s (i); (~1)'"^ s (=1) (mod.?), 
oder, was dasselbe ist: 



befriedigt. Setzen wir hierin hintereinander g = 1 und 
2 = ^1, so erhalten wir 



y Google 



98 Kap. IV, § 25. 

1~Q = 0! (-1)' -(=;l)EHO(m„a,rt. 
Da aber der Zalilwert beider Symbole 

jedeufeUä 1 ist, so werden die Differenzen 

l-(l)anaHl)V_(=-l). 

p — 1 

falls nicht (--') = 1 und (~p) == (—1) ^ wäre, ent- 
weder anf 2, oder auf ^2 fülireu. Nun kann aber weder 
2, noch — 2 bezüglicli Modul p congruent Nnll seinj da p 
eine von 2 verschiedene Primzahl ist. Folglich ist die 
Annahme, es seien nicht 

unzulässig, wodurch unser Lehrsatz bewiesen ist, 

lieispicle. Aus unserem Lehrsätze erhalten wir, 
dass 

wovon man sicli auch leicht überzeugen kann. 

29. Lehrsatz, bedeutet Q das Prodtici der Zahlen 

1U 92, , <Jn, 



SO ist 



\p) \p) \p) ' ' ' ' \pJ' 



^.„... Bi„«,-e(|);(|),(^),..„(|) 
befi'iedigcn, wie wir gesehen haben, die CongrucoKcn 



y Google 



(moci. p). 



Kap, IV, § 25. 
p-~l 

Multiplieirt man alle diese letatercTi Congmenzen, mit 
Ausnahme der ersten, gliedweise mit einander, so erhält 
man: 



-^-e)S)--(f)(— '■ 



oder, was dassellse ist: 

b..,......,.r.(|)(^>..(|) (-,.,, 

Nach der Voranssetamig ist aber gi ga ■ ■ ■ . Si* = Q, folg- 
lich geht die vorhergehende Congnienz in 

über. Ans dieser Congruenz, ziiaammen mit der allerer- 
sten der obigen Cong-menzen, nämlich; 

-— 
Q '^ ~ ("-) {raod. p) , 

erhalten wir dann 

oder, anders geschrieben! 

(i)-(i)(f)-e)^- <-■'"• 

Da nun der Zahlwerth der Symbole 

(fXIXI) (I) 

jedoiifalls 1 ist, so würde die Differenz der beiden Aus- 
drücke 

7* 



yGoosle 



\J)/ \^/\PJ '*' \p/' 



falls dieselben nicht einander gleich wären, entweder 2, 
oder —2 werden. Weder in dem einen, nooli in dem an- 
dern Falle, würde aber die vorhergehende Congrnenz be- 
stehen können; weil p von 2 verschieden ist. Es iat also 
die Annahme, es seien die beiden Ausdrücke 

\j)/ \pJ\pJ'''\i)J 

nicht einander gleich, unzulässig nnd somit ist unser 
Lehrsatz bewiesen. 

Auf Gnind dieses Lehrsatzes wird die Bestimmung 

des Symbols ( — ) » wenn Q eine zusammengesetzte Zahl 
ist, auf die Bestimnunig der Symbole 



(f>(|>---(t) 

'obci qi, qa, . . ., ([n tue i: 
aten. 

spiele. Um die Symbole (t,-); (f,w) ^'^^ '■'^■' 



zurückgeführt, vv'obci qi, qn, , , ., qn tue in Q enthaltenen 
Primzahlen bedeuten. 

Be 
stimmen, findet man: 

V7/ V7^V7/' Vioi/ Vioi/ Vioi/ Vioi/ 

Als speciellen Fall des letzten Lehrsatzes können wir 
auch die Dichtigkeit der Gloichnng 



i 
\pj ~ \p)\p) ' " \p) 



behaupten. Man brauelit, tim diese Gleichung zu bewei- 
sen, nur in dem oben bewiesenen Lehrsatze alle Grössen 
gi, gs, . . ., 2g, gleich q aii setzen. Es geht in diesem 
Falle die Gleichmig 



y Google 



(I)-©" 



und Q, welches dem Producte gi ga . , . g,, gleich scm soll, 
in 2" über. 

Seispiele. Wir finden auf diese Weise: 

(?)-© = G)';(y)-©-(|-)" 

In dem noch specielleren Falle, wenn n = 2 istj geht 

\p) ~ \p) "^ \p) "" \p) 
über. Da nnn das Quadrat von ( — V gleichviel, ob (■ ) 
gleich -|-lj Oflfi' ~1 ist, immer 1 sein wird, so erhalten 

Diese Eigenschaft des Symbols { — \ kann zu bedeu- 
tenden Vereinfachungen dienen, wenn ea sich um die Be- 
stimmi\ng des Werthea desselben handelt. Nach dem oben 
bewiesenen Lehrsätze hat man 

(f)-(?)C-)^ 

setzt man darhi i'Ar ( --\ seinen Werth ans der vorh.erge- 

KpJ 

henden Gj-leiohnng , so findet man : 

(?-) = ©• 

Auf Grnmd dieser Gleichmig kann man bei der Be- 
stimmung des Werthes von f — ] iramei.' in Q jeden Fac- 
tor weglassen, welcher ein vollständiges Quadrat bildet. 

Beispiele. \. Der Werth von (-s-) ist derselbe 
wie der von \ij)- 



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102 Kiip. IV, g 25. 

2. Der Wei'th von ( ^^r ] iat dem von. 

Q gl»». 

Bevor wir weiter gehen , bemerken wir , dasa auf Grand 
der über das Symbol (- j bewiesenen Sätze, der "Werth 

von (- — 1 vermittelst (-\ durch die Grleichmis 

bestimmt wird. 

Betrachtet man, in der That, ( — g) als das Produet 
von ( — 1) und q, ao ftndet man, infolge dea letzten Lehr- 
satzes, 

\ P ) " \ P )\p)' 

Setzt man darin für den einen Factor f — ^ seinen im S8, 

\ P J 
Lehrsatze gewonnenen Werth, so erhält man 

was zu beweisen war. 

Seispiele. Wii' finden auf diese Weise: 

(-).H,¥ (1)^(1), 
(?^)-(-)'^'(|)--(f). 

30. Lehrsatz. Sind q tmd gi einander nach dem 
Modul p congi-ueni, so ist 

Beiveis. Nach der Voraussetziing sind die Zahlen 



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2 unii gl nacli MocM ji) einander congruent. Erhebt man 
beide Seiten der Congrnenz 

<i = <l\ (mod-i)) 

B— 1 

zur - ■— teil Potenz, so erhält man; 

2 3 = ^j 2 (^jnod. p\ 
Die cbizelnen Symbole f'-V C\ befriedigen tilicr die 
Congruenzen 

Jolglieh ergiebt sich ans der vorhergehenden Congrnenz : 
oder 

Da nnn der Zahlwerth sowohl von ( \ als von (—\ 

immer 1 ist, so kann der Werth der linhen Seite der 

letzten Congrnenz, falls nicht die Werthe von ( ~ ) und (- ] 
^ \pj \PJ 

einander gleich wären, mir entweder -\-2, oder — 2 sein, 
was unmöglich ist , da p von 2 verschieden ist. Folglich 
müssen die beiden genannten Symbole denselben "Werth 
haben; was wir beweisen wollten. 

Beispiel. Man findet demgemäss : 

Wir sehliessen aus dem obigen Lehrsatze, dass das 
Symbol f-\ dem Symbole f-^ gleich ist, wenn r den 
Rest bei der Division von q durch p bedeutet; weil der 



y Google 



104 Kap. IV, § 2Ö. 2G. 

Rest, wie wir in § 8 bemerkt haben, immer dem Dividen- 
dus congruent ist, wenn der Divisor als Modul genommen 

wird. Indem wir also in (—] die Zahl q durch den Rest 

der Division von g durch p ersetzen, erhalten wir anstatt 

f — ), wenn 5 >■ 1^ das Symbol (—], wobei r <:p ist. 



§ 26. Ausdrücke, welche den Werlli des Symliols f-\ be- 
stimmen. Folgerungen aus denselben: 1. Die BestimmiEng von 
/2\ 



Q-' 



2. das Reciprocitätsgeseti zweier Prim-^ahleii. 



Die obigen Lehrsätze lioiinen uns , wie wir gesehen 
haben, dazu dienen, den "Wertli irgend eiues Symbols [ - ) 
auf denWerth eines einfacheren Symbols (-] znrüchzufüh- 

ren, wobei 3 eine positive Primzahl, welche kleiner als p 
ist, bedeutet. Was nun die Bestimmung des Werthes ei- 
nes solchen Symbols (—\ betrifft, wenn q eine positive 

Primzahl und kleiner als p ist, so wird dieselbe sich durch 
folgende Lehrsätze begründen lassen. 

["Wir wollen jetzt eine Bezeichnnngsweise erklären, 
welche zur Enthüllung vieler merkwürdigen Eigenschaften 
der Zahlen Manches beigetragen hat und von welcher 
wir im Folgenden Gebrauch machen werden. 

Man bezeichnet die in einer Grösse X enthaltene grösste 
ganze Zahl dadurch, dass man vor diese Grösse A den 
Buchstaben E (entier) setzt , also EX. So bedeutet z. ß. 
Ef die Zahl 7, weil die grösste in f enthaltene ganze 
Zahl 7 ist.] 

31. Lehrsats, Versteht man imter EX die Grösste in 
irgend einer gegehene^i Grösse X ent- 
haltene ganse Zahl, so ist der Werth 



y Google 



Kap, IV, § 26, 1.05 

des Si/mhols(^j [wenn p eine tmgerade 

FrimsaJil mtä q 'kein Vielfaches von 
p istj\ genau dargestellt durch die Glei- 
chung 

Setoeis, Man kann, sich zunächst leicht überzeugen, 
dass man immer, wenn p ungerade ist und a irgend eine 
positive Zahl, eine bestimmte positive Zahl s finden kann, 

welche kleiner als -„- ist und die Congruonz 
2a 
»a(-l)'?o(i™d.ri. .... (13) 
befriedigt. 

Denn i 
Zahl ist, einfach in 

^ a (mod, p) 

im Falle ^lE 

ist, so wird a — ^pE— eine ganze Zald sein, welche, für 
Ä gesetzt, die Congmenz 

g ~ a (mod. p) 
offenbar befdedigt. Diese Zahl, welche aucli in der JTorm 
/2a 



' \.p pj 



gesehi.'ieben werdeii kann, ist positiv nnd kleiner iüa 
weil nach der Bedeutung von E — die Differenz 



immer kleiner als 1 nnd nicht kleiner als sein wird. 
Es bleibt uns also nur noch der Fall übrig, wenn 



y Google 



"iOti Kaji. IV, 5 26, 

2« . 
E- — ■ eine ungerade Zahl ist. In diesem I"alle geht die 

Congrnenz (13) in 

g = — a (mod. p) 



2c/ 
1. +_E^ 
P_ 

2 

eine ganze ZaM sein miiX \vir werden die vorliergeheude 
Congraenz befriedigen, wenn wir inr ,s den \Vertli 

setzen. Diese Zalil, welche man auch so sclireilien kann; 

ist ofteutar positiv Ti.nd niclit grösser als -y-; weil die 
Differenz 



wie schon bemerkt, immer kleiner als 1 i^nd niemals klei- 
ner als ist. 

Haben wir uns nnu überzengt, dass man imme].' den 
Beding\uigeii 

^ = (-l)'Ja (mod.p); 0^^<| 
G-enüge leisten kann, so wollen wir beziehnngswcise mit 

ft, .=,..., *^,.„^ 

2 
diejenigen Zahlen bezeichnen, welche den obigen Bedin- 
gungen genügen, wenn man für a die Werthe 



yGoosle 



Kap. IV, § 2G. 
setzt. Bann werden die Congrucnzen 

ft E (-1) .!> ä 



ä(-l) "22 



(moil.j)) . . . (14) 



"»-!„ 



"bestehen, welclic, gliedweise miteinander miiltipiicirt, die 
Congruenz 

^1 ^. . . . ^^_,j -^ (-1)'' t . 2 . . . ^^ g '"^ (™od. ^) . . (15), 

wol)ci 

g _ .B^a 4j, ,(y--l)a 

ergeben. Man kann sich nun leicht überzeugen, dase das 

i)-l , 



ist. Zu diesem 2wecl:e bemerken wir, dass die 2alilen 
.^1, Ä'a, . . . ., ^ _ , indem sie alle kleiner ala ^ luid nicht 

~2~ 
kleiner als shid, keine anderen "Werthe als die in 
p~l 
' 3 

enthaltenen annehmen können. Dann bemerken wir femer, 
dasB keine unter ihnen den "Werth Null haben kann; weil 
sonst aus der obigen CougTuenz folgen würde , dass das 
Produet 

durch p theilbar wäre, während die ZEihlen 1, 2, . . ., 



0, 1, 3, 



?=1 



y Google 



108 Kap, VI, Ü 2(5. 

offenbar relativ prim zu p sind. I^olglicli können die Zah- 
len 01, 02, 



liaben. Es ist aber aucli. leieht einzusehen , class Ivcine 
zwei imter den Zatlen Si, sz, ■ • -, ^p^-i einander gleich 

2 
sein können. Denn würden etwa s„i und s^,[ einander gleich 

„ X 

sein, während m iind (i irgend zwei in der Reihe 1, 2, . . ., ^-ö— 

enthaltene Zahlen bedeuten sollen , so würde sich av\s den 
in (14) enthaltenen Congrnenzen 

,, ^ (-1) ^' n ] 

die Congruena 

(—■ 1) '^' m'i = ( — 1) ^ fiq (mod. jj) 
ergeben. 

Diese Congnienz, welche iiach Division durch die ku 
P relative Primzahl q in 

(—1) P m=(r-l) J' (L (niod.i)) 



übergeht, ist aber offenbar nnmöglioh; weil aus derselben 
die Thoiibarkeit der Differenz 

(-1)'^' ..-(-1)'^\« 

durch ji) folgen würde. Diese Differenz hat aber einen 

der vier Werthe 

m + (t; — (m + ((.); m — ji.; — (m — ft) 

und da in und f* zwei von einander verschiedene Zahlen 

»—1 
aus der Reihe 1, 5i, . . ., — ö— bedeuten, so ist ihre 



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Klip. IV, § 26. 109 

Snmmo kleiner als p und ibre Differenz iat von 'Miill ver- 
schiedeu, folglich kann weder die Samme, noch die Diffe- 
renz von m und fi dnrcli p theilbar sein, 

Auf diese "Weise hahen vi'ir uns überzeugtj dasa unter 
den Zahlen 



keine anderen als die aus der Eeilie 

1, A ■ ■ ■. 2 
entnommenen enthalten sein können und zwar kaiin jede 
von ihnen sich nur einmal darunter vorfinden ; da aher 
beide Seihen aus gleich viel Grliedem bestehen, so müssen 
auch aUe Zahlen der zweiten Keihe in der ersten Reihe 
enthalten sein. Es bestehen somit die Reihen 

Si, ä<!,, . . ., ^p_i 

1, £, .,., -g-- 

aus ein und denselben Zalilen und zwar so , das9 jede 
Zahl in jeder Reihe einmal vorkonmit tind somit iat das 
Product aller Grlieder der ersten Reibe dem Produete aller 
G-lieder der zweiten Beule gleich. 

Haben wir uns nun davon überzeugt, so können wir 

j, 1 

in (15) das Product ^1^3... ^ ^ durch 1.2... . —n- 

ersetzen und dann beide Seiten der Congrucnz (15) diirch 

jj 1 

die Zahlen 1, 2, . . ., --q— , welche relativ prnn 7,v,. p sind, 

dividiren und erhalten dann 

^■] j^^l. J, -E^l + . , , -f ^fcl)? 

\ = (l ^ (-1) i> ^' P (iiiod.^))- 

Multiphcircn wir beide Seiten dieser Congruenz mit 



(-1) 



El« + E3 + ,..+ Jä 



Üi-l)g 



y Google 



IIÜ Kap. IV, § 26. 

und bemerken, dass (—1), erhoben zur Potenz 

Li' t i> y 

jedenfalls 1 wird , so finden wir : 

(-1) ' ' " ^.q^ (raod.p). 

Nach der Bedeutung des Symbols (--\ hat man nun 



'' s(|)(mod.y), 



welche Congroenz, zusammen mit der vorliergelienden, end- 
lich die Coiigmenz 

f3\—(-l) r 1' '1 sO(mod.i)) 

liefert. Ans dieser Congruenz folgt aber die Gleielmug 

(f-)=-(-l) '■ '■ 

weil sonst die linlre Seite der Congruenz entweder 2, oder 
—2 bedeuten würde und in beiden Pällen könnte die 
Theilbarkeit durch die ungerade Primaahl p nicht statt- 
haft sein. Dadurch ist der Lehrsatz bewiesen; und wir 

sind nunmehr im Stande den "Werth von ( — ) zu berech- 
ncn, ohne die Zahl q auf die Potenz — a— zu erheben. 

Beispiel. Um den Werth des Symbols y-r-i) ^t-i 
bercchuen, erhalten wir zunächst: 

,.8.5 , ,,10.5 



©-(-^)--^^- 



.Bemerkt man nun, ilass 



y Google 





Knp, ly, S 26. 


-¥--s- 




folglich ; 

J5-Q-- + « 


.-..g=. 




-y=-s-^ 




= + 1, ^ 


.-..g = s 






.-- = .g = 4 







SO erlialten wir aus der obigen G-lciclimig 

(n) = (-1)" = 1- 

Aos der oben begründeten, für jede Zahl q, welche 
kein Vielfaclies von p ist, gültigen Grleiehnng zur Beatim- 
mimg des Werthes eines jeden Symtols (~) kann man noch 
eine einfachere Grleichung herleiten, welche zur Bestim- 
mung des Werthes von ( — ) dienen soll, wenn a unge- 
rade ist. 

Zu diesem Zwecke wollen wir in dei' (Tleiclmng 

(I) ~ (-1) " " ' 

für g den "Werth 3 == 5 (« +i>) setzen, wohei ß, ebenso 
wie jPj ungerade sem soll, und erhalten ; 



(*^) ■= HD "'" 



MultipKciren wir beide Seiten tlicscr Gleichung mit ( — ), 
so finden wir : 



y Google 



^HfM, ,-,2a+3M, , „ 2 ^ 2 -"^ 

Nach Lehi-sa-tz 29 ist aber das Product (^) (^5 (^' + ?') \ 
dem einfacheren Symbole 

gleich, welches seinerseits nach Lehrsatz 30 dem Symbole 
( — ) gleich ist. Eolglieh erhalten wir ans der obigen, 
Gfleicliung : 

-,,a-\-p , .,-,2a-|-2j' , ,„2^2-' 

@ = (0(-^) " ' ' . 

Nun ist aber 





L 


/P-1 
^^H- 


•-.^^ 


P-1 
2 


^4- 


folglich wird ; 












(j)-(f) 


(- 


l + 8+.., + l'-T-'+Ei 
-1) 2 1 


+*■?!+. 

P 




Setzt man hierin 


für die Snmme doc 


arltlnnetischen Pro- 


grcssion 
















1 + 2 + 


■■■+'-1 


1 




ilu'en Werth 













y Google 



Kap. IV, § 26. 113 

2 ~ 8 ' 

ndelt sich die obige G-leichnng in 

Aus dieser, für jede ungerade Zahl a, welche kein Viel- 
faches von p ist, gültigen Gleichung können wir zunächst 

den Werth des Symbols i—j leicht erhalten. Setzen wir 

nämlich ft ^= 1 tind berücksichtigen die Werthe 

(^) = 1; Ji- = 0, £?- = E^- _ 0, 

\P ' P P 1' 

SO finden wir ; 



1 : 



(f)<-ir 



woraus wir für das Symbol (— } den Werth 

erhalten. 

Tragen wir nnn diesen Werth von ( — ) in (It)) ein, 
so erhalten wir zu Lehrsatz 31 den 

Zusatz I, Ist a ungerade und kein Vielfaches von p, 
so ist 

/„N iS» +»?? + ,.. + i5 «tili' 

(y) = (-1' " ' " .. ■ (17). 

Diese Grleichmig ist derjenigen ähnlicl], welche wir 
für ( — ) im obigen Lehrsatze (31) hergeleitet haben, mit 
dem einzigen Unterschiede, dass hier die hinter dem Zeichen 



y Google 



114 Kap. IV, g 26. 

E stehenden Zahlen nur lialb so gross sind als die ent- 
sprechenden dort. 

Beiläufig haben wir auch die Gleichung, die wir als 
Zusatz II 

hervorheben, gefunden, welche zur Bestimmung von ( — ) 

nur dienen wird, wenn q gleich 2, oder ein Vielfaches von 
2 ist. 

Auf G-rund dieser Glciehung k;xnn man behaupteUj 

daas ( — ) = 1 ist, wenn ^) ^ 8m ± 1; dagegen (—j =—1, 

wenn p = 8 i» ± 3. 

Setzen wir in der Tliat in der obigen Gleichung an- 
statt p hintereinander B n ± i und 8 w ± 3, so erhalten 
wir: 

(8m+ 1)^—1 

welches Resultat wir in folgendem Ijehrsatz zusammen- 
fassen ; 

32. Lehrsats. Ist p = Sn±\, so ist (■-) — 1; 

ist aber 

p = Sn±3, so ist (-) =-1. 

Beispiel. Man findet leicht: 

Auf Grund der Grleichung (17) können wir noch einen 
anderen Lehrsatz beweisen, welcher ebenfalls sich auf die 

Bestimmung des Werthes von (—j bezieht; derselbe be- 
steht in Folgendem. 



y Google 



Kap, IV, ^ 2G. 116 

33. Lehrsatß. Ist a ungerade uiid Meiner als p, so ist: 

(f) - (-1) ^ ■' ' ' 

Beweis. Wir haben in (17) für die ßestimmmig von 
(—], wenn a ungerade ist, die Gleieiiung erhalten: 

(!)_(-!) 1' " 

"Wir wollen nun zusehen, welche Werthe die Ausdrücke 

E- E- ^feil^ 

haben, wenn a kleiner als p vorausgesetzt wird. 

Den kleinsten Werth hat offenbar das erste Glied 

dieser Eeihe, E-~, während das letzte G-Hed E^- — 

^ . a P. 

den grössten Werth besitzt. Da nun der Bruch — kleiner 

a i^ 

als 1 ist, so ist E— ^ 0. Was nun den Ausdruck 

jgti£_ — ^betrifft, so kann man denselben auch so schreiben: 

a-1 



E 



(1^4)' oder auch ^(^H- 



in welcher Form man sofort übersieht, dass derselbe den 
Werth 

f(-l 

hat; weil -„— eine ganze Zahl ist und ■■^-- ein positiver, 

echter Bruch ist, indem a <p vorausgesetzt war. 
Somit haben die GrÜeder der Reihe 

e'L e- £;te=^ 
p' p' ' p 

ihrer Anordnung nach steigende Werthe von 0, bis — ■^— - 

Um ihre Summe zu berechnen , müssen wir genau bestim- 
men, wie viele von den Grliedern die Werthe 

0-1.2 , £=i 

haben. 



y Google 



116 Kap, IV, § 26. 

Zu diesem Zwecke bestimmen wir zunächst wie viele 
irnter den Gliedern eine gewisse Zaiil k nicht übertreffen, 
wenn ft eine bestimmt gewählte Zahl aus der Reibe 

». 1. 2 "i- 

bedeutet. 

Nehmen wir an, dass das letzte unter denjenigen Grlie- 
dem der Eeihe 

(18) e"^, B^-? E^, E'i+^^ ..... E4<£=i>», 



dann stattfinden, wenn 

^/c+1 
P 

sein wird*). 

Aus diesen Ungleichungen ergeben sich die folgenden 

?L2i±i)_i>0 und ?lff + l)-i<l, 
a a 

)) f )!|; _1_ 1 ■) 

woravis ersichtlich ist, dass — -- um einen positiven 

ß *■ 

echten Bruch grösser als die ganze Zahl l ist. ^Folglich 

ist l die grösste in — ^ enthaltene ganze ZaM, was 

nach unserer Bezeichnung so dargestellt wird; 

l = EiSttl), 
Wir ersehen also, dass die Anzahl derjenigen Glieder der 
*) f I II k n ofienba 1 e cl t « attftndeu, weil die Brüche 

PI t ' 

n lene j ne P mzal 1 nd ke n Th 1p von a ist, keiner ganzen 
Zahl gle 1. aen k ne ie Biuclie - 9 . t P . !* sinä abev aus der 



y Google 



Kap. IV, § 2Ö. 



Reihe (18), welche die ganze Zahl k niclit ü"bertrefl'eü, 
genau 



,,v{k + '^) 



beträgt. 

In derselben Weise findet man, dass hierbei die An- 
zahl derjenigen Glieder, welche die Zahl /c— 1 nicht über- 
treffen, B— beträgt; worans wir dann schliessen, dass 

die ÄJiKahl derjenigen Grlieder, welche genau den Werth 
h haben, durch die UÜferenz 



sich ausdrücke!! 


L lässt. 








In der Kaihc (18) 


befiiideB 


sich somit 




££- 


a 


aiioder 


, deren 


Werth ist, 




-Ei- 
a 


. 


- 


1 „ ■ 


*|- 


-i-| 


' 


•• 


2 7 5 


eK«-1)j' 


-E'^ 


-3)iJ 




?-=i-l... 



Was nun die Anzahl aller übrigen Glieder der Reihe (18) 

betrifft, welche alle den Werth. -— „— haben, so finden wir 

dieselbe, indem wir die vorhergehenden Zahlen addiren 
und ihre Summe 

von der Anzahl aller Glieder der Reihe (18) überhaupt, 
d. h. von. ^(p — 1) aubtrahiren. Es ist somit die Anzahl 

derjenigen Grlieder, welche den Werth — ^ besitzen, durch 

die Differenz 



yGoosle 



118 Kap. VI, g 26. 

2 a 

ausgediTickt. 

Man kann somit die Siimme allor Glieder der Eeilie 
(18) in der Porm 

\ a ff/' \ a aJ \ a a / 

darstellen, welche sich ancli auf die Foim 

tri ?i=:i_p^-_pl£_ ^ K^— i )y 



bringen lässt. 

Es ist somit die Summe 




der Summa 




?^.12^„J,|_Jä|-...-£it 


-l)p 



gleich. Ans dieser Gleiclmng, in Verhindimg mit der im 
Znsatz I zn Lehrsatz 31 für jede ungerade Zahl «, welche 
kein Vielfaches der Primzahl f ist, bewiesenen (irleichung 
(17) i 

(f)-(-l) ' ' 

erhält man folglich die fiir dasselbe Symbol (—V nntev 
der Bedingung a -< 71 gültige Gleichving : 

»-i.''--l-i?Ä-.E?i'-... .-E'ii=M 

was wir beweisen wollten. 

Auch dieser Lehrsatz kann dazu dienou, den Werth 

von ( — ) zu berechnen, wenn a ungerade und kleiner als 

p ist. Diese Berechnung ist sehr bequem, wenn a keine 
grosse Zahl ist. 



y Google 









Kap. IV, 


g ^6. 








119 


Sc 


itltiei 


;. A¥ir 


eAalto,. für (jj,.) 


den 


Wt: 


rth 


(roi) =( 


7^ 


-1 lOl-l 


_eHL_ 


-V^ 


1.101 
"7 


-i' 


3.101 
7 . 


raus 


sich sofort ej 


.•giebt; 













/_7_\ _ 3.50-U-28 — 43 _ 

Vioi/ ~ ^ ^J - i. 

Besonders bemerkenswerth ist aber dieser Lehrsatz 
dariim, weil aus itim in sehr einfacher Weise folgender unter 
dem Namen des Beciprocitäisgesetses sweier Frim- 
sahlen bekannter Lehrsatz von Legendre hergeleitet wer- 
den kann. 

34. Lehrsatz. Sind v und s ungerade und von ein- 
ander verschiedene Frimsahlen so ist 



(:)-©(-)^ 



Jieweis. Mag v die kleinere von den beiden Zahlen 
V, s sein; nach Lehrsatz 33 gilt, wemi v ■< s ist, die 
Gleichnng 



i_K-^-y';^-...-£ 



•,{v-\)s 



L Grleichuiig (. 



Setzt man aber in G-leichung (17) die Werthc « = s ; p 
so findet man: 



(:)-(-!) 



Multiplicii't man diese beiden öleichnngen gliedweise mit- 
einander, ao erhält man 



(t)(v) = (-!)' 






Mnltiplicirt man ferner beide Seiten der letzten Grlcichnng 
mit ( — ) und berücksichtigt, dass ( — ) =^ 1 ist, so er- 
hält man : 



y Google 



120 Kap, TV, g 26. 27. 

was zu beweisen war. 

Belpielc. 1) Man crliült leicht; 

2) Dagegen ist 



§ 27. Methode, um in allen Fällen den Werth des Symbols 
^ " A zu finden. 

Auf Grand der bis jetzt in Bezug auf ( - j bewie- 
senen Lehrsätze ist es mm leicht seinen Werth zvi be- 
rechnen, wie gross auch die Zahlen p und q sein mögen. 

Man verfahre bei der Auswerthnng von f- - i wie 
folgt : 

1) Ist q gi'öaser als ß , so ersetze man in f ■ J die 

Zahl 3, nach Lehrsatz 30, durch den Rest der Division 
von q durch p ; oder auch durch den kleinsten negativen 
Eest von q in Bezug auf Modul p , falls dieser Eest be- 
deutend kleiner als der erstere ist. 

2) Auf diese Weise hat man die Bestimmung des 

Werthes von f - ) auf diejenige von ( \ zurückge- 
führt, wobei B jedenfalls kleiner als p ist. "Was nun das 
Vorzeichen ( — ) von R betrifft, so kann man, nach Lehr- 
satz 29, die Untersuchung von / - \ ai\f die von t ■ \ 
zurückführen. 



y Google 



Kap. JV, § 27. 121 

3) Um ilaim [ — ) zu berecimen , zerlegen wir B in 

seine Primzahlfactoren , indem wir Faetoren, welche ein 
vollständiges Quadrat bilden, vernaolilässigeii. 

4) Haben wir R als Product von lauter Primzailfac- 
toren dargestellt, so erbalten wir nach Lehrsatz 29 für 

( — ) ein Product von lauter Faetoren der Form ( — K wo- 
bei r eine Primzahl bedeutet, 

5) Darauf verfahren wir bei der Bcrechnmig dieser 
einzelnen Faetoren folgendermaasen. Ist r = 2, so be- 
stimmt sich der Wertb von (~\ nach Lehrsatz 31, Zu- 
satz 11 u. 32. Ist r ungerade, so drücken wir f' -J nach dem 
ßeciprocitätagesetz durch [--) aus und verfahren dann 
mit f~\ genau ebenso, wie wir früher mit /— ) verfuhren 
und so wird die Untersuchung auf die von ( ~ ) zu- 
rückgeführt, wobei »■' < r. 

6) Indem wir in derselben Weise fortfahren, erhalten 
wir Symbole mit immer kleineren und kleineren Zahlen 
und kommen noth wendiger weise schliesslich entweder auf 

( — ), oder auf ( — ), deren Werth wir leicht finden kön- 

nen, um dadurch aueb den eesuchten Werth von (—\ zu 

ViV 
bestimmen. 

Beispiele. 1. Es werde der Werth von (-„7;^-) 
gesticht. Indem wir 1013 durch 601 dividiren, finden vfir 
412 als Rest; folglich ist (^) = (g~). 

Es ist nun 412 = 2^ . 103 und weil wir das Quadrat 

von 2 vernachlässigen können, so wird ( ^-— ) = ( ;; — ) . 

^bül^ VtiOl^ 
Nach dem Reciprocitätsgesetze ist aber 
103-1 601—1 

Vl03^ ^ ' Vl03/' 



y Google 



122 Kap. IV, § 27. 

Dividiren wir darauf 601 durch 103, so ünden wir 86 
als Rest; dagegen ergiebt sich als kleinster negativer 
Rest von 601 in Bezug auf den Modvd 103 die bedeutend 
kleinere Zahl — 17 vmd wir finden es bequemer diese 
letztere zu gebrauchen [*)]. Man betrachte also 

V103/ V 103 ) 
Da aber 

103—1 

(lor) = (ior)(T(33") ™'^ \m) = (-^> ' - "^ 

ist, so erhalten wir 

Weil 17 eine ungerade Primzahl ist, so können wir 
wiederum das Reciprocitätsgesetz anwenden und finden 



Ersetzen wir in (-:.-,-) die Zahl 103 durch ihren 

kleinsten positiven Rest in Bezug auf den Modul 17, wel- 
cher hier 1 ist, so erhalten wir 

Die Verbindung aller dieser Gleichungen ergiebt 
schliesslich ; 



[*) Uehrigens würde der Rest So in folgeudet Weise zwm Ziele 
führen. Es ist zunäclist : 

Vl03/ ~" Vl03/ VlOS'' 
Nun ist 

/■i3\ n03\, ,,„,., nOB\ /I7\ fAS\ /!l\ ,, 



yGoosle 



Kap, IV, § 27, 123 

fiom\ _ /412-N _ fmi\ __ f—n\ _ r i' ^ _ 

KmJ ^ KmiJ ~ VioäV ^ ViösJ ~ ~Vi03/' "^ 

Es ist also in unserem Beispiele 



/1013\ _ 
V 601 / ^ " 



-1. 



'2. Der Werth von ( -^-=-7^ } wird sesnckt. Indem 
V 1847 / ^ 

wir berücksichtigen, dass als kleinster positiver Rest von 

20470 in Bezog auf den Modul 1847 sich 153 = 3M7 

ergiobt, so erhalten wir 



/20470-\ ___ f^\ _ ('^'^7\ _ ( 17 \ 
\ 1847 / ~ V1847y ~ V1847V ~ Vi8i7/' 
Dann ist 

17—1 1847-1 

und 

Es ist aber {-.-,) = — 1 "iiiid 

Die Verbindung aller dieser Gleichungen ergiebt also 

/20470\ 

Vl847/~ 

3. Es soll der "Werth von ( sTrÄö ) berechnet werden. 
Man findet zunächst : 

V2003/ V2OO3/ V2003/ V2003/ V2003/' 



y Google 



124 Kap. IV, 5 27. 28. 

Ferner ; 

3—1 3003—1 

5—1 2003—1 



und somit ist 

V2003/ 



§ 28. Lösung der Gleichungen 

Wir baben gezeigt, wie man, wenn q und p gegeben 

sind, den Wertli des Legendi'e'schen Symbols f — ) be- 

reclmen kann, um dadurcli zu entscheiden ob eine Con- 
grueaz 

^'^ = q (mod. 2>) 

Lösungen hat, oder nicht. Wir gehen jetzt zur Lösung 
der umgekehrten Aufgabe über : 

Ber Wertk des Symbols ( — ) sei gegeben, der Werth 

von X soll gefunden t 
Mit anderen Worten; 

es wird die Lösung 1. 



y Google 



Kap, TV, S 28, 



gesucM. 
Wir beginnen mit der ersteren Gleichung ( — } = 1. 

Wie wir gesellen liaben , drückt die G-leicliung f - ) ^ 1 
nichts anderes aus, als dass die Congruenz 

X ^ iis 1 (raod. p) 
befriedigt werden kann. 

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass diese Congruenz 

2 

nach § 21, den Ausdruck a^'— * durch a: '^ — 1 und in- 
dem wir bemerken, dass 

durch X ^ — 1 ohne Rest theilbar ist, so schliessen wir, 

nach Lehrsatz 26, dass die Congruenz 

p-i. 

X s 1 {raod, p) 

»— 1 

-ö— Lösungen besitzt. 

Diese Lösungen werden aber (nach § 12) durch 

X -~ ai, X -^ a<i, . . . . , X = a y (mod. p) 

dargestellt, wobei 

<H, Os, . ■ ■ -, ap,_i 

diejenigen Zahlen aus der Reihe 

0, 1, 2, .. .,23-1 
sind, welche die Congi'uenz 



y Google 



126 Kap. IV, § 28, 

X =1 (mod. 'ji) 
befriedigen. 

Es ist aber klar, dass keine diesei' Zalilen der Null 
gleich aeiti kann , weil die Null nicht die Congrnenz 

tri 

X =1 (mod. _p) 
befriedigen kann, Folglich befinden sich iü der Heihe 
1, 2, . . ., p~Y 

~ — Zalden, welche die Congriieüz x ' =1 (mod. p), 

also auch die Gleichung (— j = 1 befriedigen. Mit an- 
deren Worten: unter den Zahlen der Reihe 

1, 2, , . ., p—l 
sind ^—iy~~ solche vorhanden, welche quadratische Uestc nach 

dem Modul p sind. Dann miiaseii aber alle übrigen Zah- 

»—1 
len dieser Tieihe, deren Anzahl ebenfalls — — sein wird, 

die Gleichung 

befriedigen ; dieselben sind quadratische Nichtresie nach 
dem Modul p. 

Aus dieser Auseinandersetzung ergiebt aich, dass alle 

Zahlen überhaupt, welche der Congruenz x =1 (mod.p), 
also auch der Gleichung ( — 1 = 1 genügen , durch die 
Congruenz en 



x~a^_l (moä.p) 



bestimmt sind, wobei 



y Google 



Kap, IV, § 28. 127 

positive Zahlen bedeuten , welche kleiner als p sind und 

die Cougruenz x '^ =■! (med. p) befriedigen. 

Wir würden diese Zahlen dadtiroh finden können, dass 
wir die Lösungen der letzgeuannten Congmenz mrklich 
aufsuchen. Dieses Verfahren würde aber ausserordentlich 
besehwerlieli werden, wenn p eine grosse Zahl ist. Daher 
wollen mr ein anderes Verfahren zeigen, wie man die 
gesuchten Zahlen unabhängig von der Losung der Con- 

grueuz X =1 {mod. p) finden kann. Zu diesem Zwecke 

erinnern wir uns, dass die Congmenz x " =1 (mod. ji) 
die Bedingung für die Möglichkeit der Congruenz 

ä^ = a (mod. ji) 
war. 

Von dieser letztei'en Congruenz haljen wir (§ 22) ge- 
sehen, dass dieselbe, wenn sie überhaupt möglich ist, durch 
zwei Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . ., p — 1 befriedigt wird, 
und zwar so daaa, wenn die eine der zwei Zahlen « ist, 
die andere p — k mrd. Da aber eine von den zwei Zahlen 

nothwendiger weise kleiner als ^ ist, so können sie auch 
nicht beide grösser als — ö— ^ein ; weil die Summe beider 
Zahlen p ist, während sie von einander verschieden sind. 

Befriedigt daher eine Zahl a die CongTucuz a =1 
(mod. p), so wird man immer in der Reihe 

' ä 

eme Zahl finden, welche, für b gesetzt, die Coiigruenz 

z'^ = a (mod. p) 
befriedigt. Mit anderen Worten : für eine solche Zahl a 
wird immer eine der Congruenzen 

l'~ü, 2- ä a, . . ., (^-)'s « (mod. p) 



1, 2, 



y Google 



128 Kap. IV, § 28. 

stattfiüiieu. Ea miiss also « in Beziig aut' den Modul p 
einer der Zalilen 



1^ 2^ 



■■■.C'-?^)' 



congruent sein; weil mm a kleiner als p sein soll, so 

muss man a unter den Resten der Division dieser Zalilen 

diirch p finden. 

B— l 
Jede der — y— Zahlen 

welche kleiner als p sind nnd die Coiigriienz 

i'-l 
0^=1 (mod, p) 

p— 1 
befriedigen, finden wir daher unter der Reilie der -„— 

«—1 
Reste, weiche nach der Division der — = -- Zahlen 

^'•-' e-ii)" 

durch p sich ergehen. 

Darauf wird der Werth von x, weiclier die Gleichung 

befriedigen soll, durch die Congmenzcn 

a; = «i, X = ois, . . ., X = a^_^ {moA. p) 
"2"" 
bestimmt. 

Wir erhalten somit (nach § 11, indem wir dort in 
den Formeln die Zahl iV durch — n ersetzen) die Lösun- 
gen der Gleichung 



(f)^ 



y Google 



Kap. IV, § 28. 129 

X = np + «i; X =^ np + «-3, . . . ., x = mp -f a^^_^ 

dargestellt. 



Beispiel. Es werden die Lösungen der 



Diese Grlcichung wird nach der obigen Auseinander- 
setzung 

U- 1 _ , 
' 2 ~ ° 
Lösungen haben, weli^lle durch die Congrucnzcn 

a: = ai, x = a2, x ~ «3, a: = «4, x ~ a^ (mod, 11) 
sich, darstellen lassen, wenn 

«1, fflä, «B, «4, «5 
die Reste sind, welche bei der Division der Zahlen 

l^ 2^ 3^ 4^ ^\ 

durch 11 sich ergeben. Da nun diese Reste die Zahlen 

1, 4, 9, 5, 3 
sind, so erhält man die Lösungen der Glcichnng 

in der Form 

x~l, x = d,, x=4, x = h, xs9 (mod. 11), 
oder, was dasselbe ist, die Lösungen sind durch die rormeln 

x=lln + l, « = ll« + 3, a; = Un + 4, a:=lln + 5, 

X = 11 n + 9 
dargestellt. 



y Google 



130 Kap. IV, § 28. 

Kennt man nun die Lösungen der Grleichung ( — J ^% 
so sind die Lösungen von ( — ) = — 1 leicM zix finden. 

Wir bemerken zu diesem Zwecke, erstens daaa bei 
der Bedeutung des Symbols ( — ) vorausgesetzt war, dasa 
X nicht dnreh p theilbar sei ; und isweitms, daaa diejenigen 
Zahlen , welche der Gleichung (~\ ^^ 1 nicht genügen, 

nothwendigerweisc die G-leichung ( — ) = — 1 befriedigen. 
Daraus folgt, dass wir alle Zahlen, für welche die Glei- 
chung (—) = — 1 stattfindet, dadurch erhalten, dass 
wir von allen den Zahlen, welche durch p nicht theilbar 
sind, diejenigen fortlassen, welche die G-leichnng (—] = 1 
befriedigen. Da nun alle Zahlen überhaupt durch die 
Formen 

np, np -\- 1, np -{- 2, . . , . , np -{- p-^1 
dargestellt werden, und da die Zahlen von der Form np, 
als Vielfache von p, für unseren Zweck ausgeschlossen 
sind , so bleiben für die Lösungen heider Gleichungen 

(—\ r= 1 und ( — \ = — 1 nur noch die Zahlen von 
den Formen 

»p 4- 1 1 np -\~2, . . , , np + p- — 1 
übrig. 

Lässt man nun unter diesen die Zahlen von der Form 

np +"11 np -\~ m np -\~ «„_i, 

2 

welche die eine jener Gleichungen, nämlich ( — ] = 1 be- 

\pj 
friedigen, fort, so erhalten wir alle Zahlen, welche die an- 
dere jener Gleichungen, nämlich ( - j = — 1 befriedigen, 



y Google 



Kap. IV, § 28. 131 

Somit ergiebt sioli, dass die Zalilen, welche der Gtlei- 
chuns 1—1 = — 1 Genüge leisten , durch die Formen 

np -\~hi, np -{- J)2, . . .) np + &„_! 

dargestellt sind, wohei 

»., h 6^ 

2 
diejenigen Zahlen aus der Reihe 

1, 2, . . ., p~l 
sind, welche von 

«1, Ct-2, 



2 
d. h. von den Rosten der Division von 

V, 2^ 
durch p verschieden sind. 



-.a^-^y 



Beispiel. "Wir suchen die Lösungen von ( ^T ) ^^ ~■'■' 
Die Zeihlen, die diese Gleichung befriedigen, vi'erden, wie 
1 haben, dnrch die Formen 



il« + &i, 11« + 62, nn-\-h, lln + 64, lln + 65 
dargestellt, wobei wir die Zahlen 

h, &2, ^3, ^4, h 
dadurch finden, dass wir in der Reihe 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 

diejenigen weglassen, welche als Reste bei der Division 
von 

l^ 2^ 3^ 4^ 5^ 

durch 11 sich ergeben. Solche Reste sind aber die Zahlen 

1, 4, 9, D, 3 ; 
lassen wir diese in der Reihe 1, 2, 3, 4, &, 6, 7, 8, 9, 10 
9* 



yGoosle 



132 Kap. IV, § 28. 29. 

fort, so bleiben als Wertlie von 6], 62, f>s, &i, hg die Zahlen 
2, 6, 7, 8, 10. 

Die Lösungen der Gleichung (rr) = — 1 ergeben 
aicb somit durch die Formen 
11» + 2, llw + 6, 11^4-7, lln + 8, llw + 10, 



In dieser Weise wird somit die Aufgabe über die 

Bestimmung von x, wenn f—\ gegeben ist, mit anderen 

Worten, über die A-uffindung der qtiad/i-atischen Reste und 
Nicktreste einer gegebenen ZaU gelöst. 



§ 29. Lösung der Congruenz /^ = q (mod. p) , wenn p eine 
Primzahl von der Form 4n+3 ist. 

Wir haben uns in den vorhergehenden Paragraphen 
mit der Untersuchung beschäftigt, wann die Congruenz 
s'^ = q (mod. p) Lösungen bat und wann sie keine hat. 
Es bleibt uns noch zu zeigen übrig, wie diese Lösungen 
von s' = q (mod. ^j) gefunden werden, wenn sie möglieh 
sind. 

Später, bei der Behandlung der Congruenzen von der 
Gestalt 

a" ~ A (mod. p), 

werden vrir eine allgemeine und sehr einfache Methode 
für die Lösung der Congruenz s^ ~ q (mod. p) hennen 
lernen. Hier wollen wir uns mit einem speeieUen Falle 
begnügen, in welchem diese Lösung unmittelbar gefunden 
werden kann, Dieses ist der Fall, wenn die Primzahl p 
die Form 4« + 3 hat. 

Wir haben oben gesehen, dass die Möglichkeit einer 
Lösung der Congruenz s^ = 5 (mod. p) voraussetzt, dass 

3^=1 (mod.il) 



y Google 



Kap. IT, § 29. 133 

ist. Setzen wir hierin p = in -\- 3, su finden wir: 

in + S-l 
q ^ = l (mod.p), oder q^'"'^ ' = 1 (mod. p), 

welche durch Mnltiplieation beider Seiten mit q in 

q ** + ^ = g (mod. p) 
übergeht. 

Vergleicht man diese Congriienz mit den vergelegten 
.3^ = 2 (mod.jj), so bemerkt man sofort, dasa der letzteren 
die Zahl ä^ = ä' genügt. 

Haben wir nun eine Zahl , welche der Congruenz 
.e^ s g (mod, p) genügt , gefunden , so ist es leicht deren 
ixnendlich viele aus der Congruenz s' = q*^~^ (mod. ^j) zu 
finden. Wir haben aber gesehen , dass eine von diesen 
Zahlen positiv und kleiner als p sein wird; es ist dieses 
nämlich der Rest bei der Division von j**"^ durch p. Be- 
zeichnen wir diesen Best mit a, so wird eine der beiden 
Lösungen der Congruenz s'=.q (mod.|)) durch e = a (mod.p) 
dargestellt sein. "Was nun die zweite Lösung betrifft, 
so wird dieselbe, nach § 22, durch s =|> — « (mod.j)) dar- 
gestellt. 

Somit habeu wir beide Lösungen der Congruenz .^^ = g 
(mod. p) gefandeu, wenn p = 4w -|- 3 ist. 

Seispiel. Es sollen die Lösungen von 
^-' = 5 (mod. 11) 
gefunden werden. 

Diese Congruenz ist möglich, weil 

da aber 11 = 4.2 + 3 ist, so werden die Lösungen unse- 
rer Congruenz 

s = a und .? = 11 — k (mod. 11) 

sein, wobei a der Rest der Division von 3 + durch 11, 
also « = 5 ist. Die beiden Lösungen der Congruenz 



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134 Kap, IV, § 29. 30. 

Ä^ = 3 (mod. 11) 
sind somit: 

s = 5 und ^ ^ fi (mod, 11). 



§ 30. lieber die Congruenz s^ = q (mod. ^j) , wenn p eine 
zusammengesetzte Zahl ist. 

Bis jetzt haben wir uns ausscMiesslich. mit der Unter- 
suchung solcher Congruenzen zweiten Grrades heschäftigt, 
deren Modul eine Primzahl ist. "Was nun solche Con- 
gruenzen betrifft, deren Modul eine zusammengesetzte 
Zahl ist, so wollen wir uns auf den Beweis beschränken, 
dass 

eine Congrums s^ = q (mod. p) eine Lösung hat, 
wenn p ungerade und relativ prim eu q ist und 
aus den Primsahlen 

«, /?, y, . . . ■ 
zusammengesetzt, für tvelche die Gleichungen 



Wir beginnen mit dem speciellen Falle p = k"* und 
wollen zeigen, wie man die Lösungen der Congruenz 

s^ = ([ (mod. ß"') 

finden kann, wenn die Lösimgen von 

z^ = q (mod. k) 

bekannt sind, deren Möglichkeit, wie wir wissen, durch 
die Gleichung 

bedingt ist. 

Nehmen wii" an, es sei a eine Zahl, welche die Con- 
gruenz e'^ ^ q (mod. «) befriedigt und P, Q seien durch 
die Grleichungon 



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Kap IV, § 30. 135 

_ (<i + \/g)"-( »-v'g)"' 
g _ ^^__ 

defiujrt. Man kann sicli leielit, diircli Entwickelnug von 
(ffl + Vö)"' Ti^d (a — VS)'" nach dem binomischen Lehrsätze, 
überzeugen, dass P und Q ganze Zahlen siiid[*)]. Wir 
wollen nun beweisen, dasa 

1) F xmd Q die Congruens 

P'—Q'q = (mod. K"*) 



2) Q ist relativ prim mt «. 
A'^on du Eiohtigkpit dei ei^teien Bchiüptung uLtizengen 
wii uu'5 leuht indem wir Ijemtrkeu da'^^ ^U1 dtn i lugen 
Grleiehungen «ich die Beziehungen 

[ ) Um biei nichts unbewiesenes voiaiisau'ii'tzeii, huUph wir Jon 
leicht /a fühlenden Beweis liinziiftigLii 

J&stPtis sind die BinoiDial-Coetficienten \on l,a + ')' bekaniitlicli 
immei ^anze Zahlen sobald A eine gan^e Zaiil ist 

Nimmt man namlii,h die Richtigkeit ilieaei Behaopfung flii (ff i Ö)' 
au, so überzeugt man sich durch Miiltiplication mit (a + h), dass die 
Bichtigkeit dann auch flu (a + !>)''+'- bestehen bleibt da nun für 
il = 1 2, ä die Behauptung offenbar iichtig ist, so muss sie auch 
für jede ganze positive Zahl t iichtig bleiben (Wir biauthen es hier 
nur für positne l indi-sa kann man dit Bichtigkeit für negatne ganze 
h dadurch beweisen, dass man nur fui (a-\-by~' beweist) 

Zmede>is sieht msD iiiiniiltelbir, dass dei Zahlei lon .P bei Ver 
tauschung toh + v'ä und — \/if um crlmdert bleibt, wahrend dei Zah 
lei -von y dabei uui die Vorzeichen mdeit, es itiuss diher \j q im 
Zihlei von P nur in gersdeu Potenzen niid in demjenigen \oii Q nur 
in ungLraden Potenzen auftietPn 

Drittens iit der Zähler \on Q offenbar durch 

theilbar, wihiend im Zahler lon P alle Coefficienteii lei imgeiaden 
Potenzen von \l q^ wegfallen und diejenigen dei geraden Potenzen sich 
verdoppeln, so dass der Zihler \on P duich 2 theilbai wird 

D'idurch ist bewiesen, dast P lu 1 Q gan^e Zahlen s m mtissen, 
sobald o, 3 m ^jlche sind] 



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136 Kap. IV, § 30. 

ergeben, deren gliedweise Multiplication die Gleicliung 

P'-e'g = {u'-q)' 
liefert. 

Nach der Annahme sollte aber a die Congruenz 
s* s g (mod. cc) befriedigen, d. h. es ist a^ ~ q^ (mod. aj, 
was die Theübarkeit der Differenz a^—q durch « ans- 
drücht. Hat nnn a^ — q einen Theiler «, so miiss 

p'-ev = («•-5)» 

den Theiler k'" besitzen, d. h, es findet die Cougriicnz 

p^— Q2g = (mod.«™) 
statt. 

Nachdem wir die Richtigkeit der ersten Behauptung 
bewiesen haben, gehen wir zum Beweise der zweiten 
Behauptung über, dass nämlich Q relativ prim zu a ist. 

Zu diesem Ende bemerken wir, dass nach der Glei- 
chung 

_ (a + \/gy"-(fl-\/g)"' 
^- 2^q 

die Theübarkcit von Q durch a die Bcstchung der Con- 
gruenz 

fchÄ"-(ü:Wi)!'sO{mod.„l . . . (J) 

aussagen würde. Die linke Seite dieser Congruenz ent- 
hält 2, wie man sich leicht durch Entwicklung der Aus- 
drücke 

überzeugen kann , nur in ganzen positiven Potenzen und 
mit gauzzahligeu Coefficienten. Die Congruenz würde so- 
mit (nach § 10, Lehrsatz 13) auch noch richtig bleiben, 
wenn wir darin q durch «^ ersetzen, weil a^ = q {mod. «) 
ist. Folglich würde die Congi'uenz (A) in 

(» +Vi?r-(a-v'.?r ^ 



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Kap. IV, g 30, 137 

übergelien, welche auf 

9™- 1 «™-' = (mod. ß) 

führen würde. Diese Coiigruenz ist aber tmmöglieh, weil 
a eine ungerade PrimzaH und a relativ prim zu « war. 

Haben wir uns nun überzeugt, dass P, Q die Con- 
gruenz 

P^—Q^q = (mod.«'") 

befriedigen und, dass Q relativ prim zu a ist, so wird es 
leicht sein zu beweisen : 

1) Die Congruens Qx = F (mod. «'") hesUs<i eine 
Lösung ; 

2) Diese Lösung befriedigt die Congnwns 

x^ = q^ (mod. «"•). 

Ersfcere Behanptung folgt direct aus dem Umstände, 
dass Q relativ prim zu a und somit aucli zu k« ist; in 
diesem Falle hat aber die Congraenz Qx—P ^ (mod.«'") 
(nach § 13, Lehrsatz 15) immer eine Lösung. 

Es bleibt uns also nur noch zu beweisen, dass die 
Zahlen x, welche die Congruenz 

Qx=F (mod. «"'} 

befriedigen, z^^gleic]l auch, für ^ gesetzt, der Congriienz 

«^ = g (mod. K™) 

Grenüge leisten. Zu diesem Ende erheben wir beide Sei- 
ten der erstercn Congruenz zum Quadrat und erhalten 

(22^s = pa (mod.«'"). 
Verbinden wir diese Cougruenz mit der oben bewiesenen 

pä_Q3g^o (mod. «'"), 
so erhalten wir 

Q'^x^ = Q'''q (mod. k'"), 

deren beide Seiten durch Q^ dividirt werden dürfen, weil 
13 relativ prim zu a, also auch zu a" ist. Wir erhalten 
also 



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138 Kap. IV, § 30. 

a;* = 3 (mod. k™) , 
was zu beweisen war, 

Wir finden somit die Lösungen von 

n^ = q (raod, ß"') 
aus der Congruenz 

(3s -P (raod. a"'), 
wobei P, Q aus den Gleichungen 

gefunden werden, wenn « eine Zahl bedeutet, welche die 
Congruenz 

a^ ~ q (mod. «) 
befriedigt. 

Beispiel. Es sollen die Losungen der Gongruens 
^2 = _2 (mod. 3=) 
gefunden iveräen. 

Man findet, nach der obigen Auseinandersetzung, eine 
diese Congruenz befriedigende Zahl aus der Congruenz 

Qz= P (mod, 3") , 
wobei 

^ "" 2 ' 

_ (i.+\/-=ä)'^(»-^ v/=2)' 

wenn a die Congruenz 

a^= — 2 (mod. 3) 



Die letzte Congruenz gehört zu denjenigen, welche 
nach der im § 29 gezeigten Methode gelöst werden kön- 
nen. Wir finden nach dieser Methode, dass die Zahl a ^ 1 
die Congruenz befriedigt, wovon man sich im gegebenen 
Falle auch unmittelbar überzeugt. Setzt man diesen "Werth 
o = 1 in die obigen, P, Q definirenden Grleichtingen ein, 
so erhält man ; 



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Kap. IV, S 30. 139 

p _ (i + v/^)»+(i-V=l)- _ _j. 

_ (l + \/~2)--(l-V^ )- _ 

« iV=-^ - ^- 

Daraus ergiebt sich eine Zahl s, welche die Coiigrnenz 
^s = ~2 (mod. 3^) 
befriedigt, in der Form 

s = —o (mod. 3^). 



Nachdem wir gezeigt haben, wie die Lösungen einer 
Congruenz s^ ^ g (mod. k™), wenn « irgend eine ungerade 
Primzak! ist, gefunden werden, können wir leicht zur Lö- 
sung der aUgemeinern Congruenz 

ä^ = <l (mod. K™ (3" f . . . .) 
übergehen. 

Hat man gleichzeitig 

(f) = i^ (f) = i^ (f)=i^ 

so findet man nach der eben angegebenen Methode solche 

Zahlen m, v, w, . . ., welche die Congruenzen 

M^ = g (mod. a™) ; i^^ = g (mod, ^") ; in^ '= q (mod. y') ; .... 

befriedigen. Diese Zahlen werden, wie wir gesehen ha- 
ben, durch Congruenzen von der Gestalt 
u = A (mod. «"") ; «j = S (mod. /3») ; w = 6' (mod. yO ; . . . . 

dargestellt. 

Man kann sich aber leicht überzeugen, dass unter den 
Zahlen, welche durch jede dieser Congruenzen deflnirt sind, 
sich eine Zahl «■ von der Gestalt 

= ^(/i-/...)°""''°""+i({«-)'..-f"'"'~"+C(«-/i-...)''"'"'~"+ 
finden muss ; welche also zugleich alle diese Congruenzen 
befriedigt. 



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140 Kap. TV, § 30. 

Denn diese Zahl x, welche aus einer Summe von Glie- 
dern besteht, von denen alle, mit Ausnahme des ersten, 
Vielfache von a'" sind, genügt offenbar der Gongruenz 

a=syl((i.,'...)"'"'°-"(mod.<,-), 
während nach Lehrsatz 17 die Gongruenz 

(C"r'-..)"""'""''sl (mod.«-), 
also auch 

A {/i" f . . .)""'"'(«-l} = ^ (-„lod. «"') 

besteht. Man erhält somit für nnsere Zahl x die Gon- 
gruenz 

X ^ A (mod. a™). 
Ebenso kann man beweisen, dass für x die Congruenzen 

X ^ B (mod. jS") 

X = G (mod. y*) 



stattfinden; folglich wird unsere Zahl x die Congri: 
m' = 3 (mod. «"') ; v^^ii (mod. |3") ; w^ = g (mod. j''') ; .... 
gleichzeitig befriedigen; so dass zugleich die Congruenzen 
a:^ = 2 (mod. k'") ; a:^ = g (mod. (3") ; x^ = q_ (mod. y') ; .... 
bestehen. Da aber die Moduli 

«"', ,3", f,... 

dieser Congruenzen relativ prim zu einander sind, weil 
a, /S, y, . . . als von einander verschiedene Primzahlen 
angenommen waren, so haben die letzten Gongruenzen 
(nach § 9) die Gongruenz 

x^ =■ q_ (mod. ß"', /Ü", f ) 

zur Folge. 

Auf diese Weise wird eine Zahl « bestimmt, die die 
Gongruenz 

3!^ = g (mod. ^i) 
befriedigt, wenn g relativ prim zu f und f eine ungerade 



yGoosle 



Kap. IV, § 30. 141 

Zahl ist, welche aus einem Producte von Potenzen der 
Primzablen 

c, ß,y: ■ ■ ■ 

besteht und die Gloiohungen 

stattfinden. 

[Umicehrung. Besitzt die Congruens 
^^~q = (raod. a'" /3" y' . . .) 

eine Losung, während a, ß, y, . . . von einander und von 
3 verschiedene Trimzahlen und g relativ prim su 

N = a"^ ß« f . . ., 
so bestehen gleichzeitig die Gleichungen 

Beweis. Ist die Congruenz 

5^—5 = (raod. a™ . ji" . /' . . .) 
gegeben, so sagt dieselbe a^s, dass ä^ — q ein Vielfaches 
von («^ /3" }■'■.. .), also jedenfalls ein Vielfaches von «, 
von ß, von y, . . . einzeln. Die obige Congmenz setzt 
also jedenfalls die gleichzeitige Existenz der Congruenzeii 
2^—q = (mod. «); s^—q = {mod. ß); 
s" — q = (mod. y) . . . . 
Diese Congruenzen können aber nach § 24 nur dann eine 
Lösung besitKen, wenn die Grleichungen 

gleichzeitig bestehen. 

Man kann, wie man sieht, diese Umkehrung diteet 
beweisen und dann den oben direct, aber auf oomplieirtem 
Wege bewiesenen Lehrsatz, indirect, aber sehr leicht be- 
weisen. 

Vorausgesetzt, nämlich, dass die (rleiohungen 



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142 Kap. IV, 5 30. 

atattönden, so muss die Congruenz 

s^ — q = (mod. «"" ß" y^ . ■ ■) 
eine Lösung besitzen. Denn angenommen diese Congruenz 
liabe keine Lösung, so hiesse dieses unter den Zablen 

0, 1, 2, . . ., K"' ß" y- . . . . —1 
findet sich keine einzige, welelie, für s gesetzt, s^ — q zu 
einem Vielfaclien von a'^ ß** y' . . . machen könnte. Es 
musa also fiir jeden Werth von s die Division von s^ — q 
durch «"' ß" y' . . . immer irgend einen Rest li zurück- 
ia^aen, welcher von Null verschieden ist. 

Wählt man einen dieser Werthe von s, etwa zi, zu 
welchem der Werth Jii, als Rest gehört, so besteht die 
Congruenz 

s] — q s El (mod. or"' ß" y' . . .), 
also 

^•-ll + E,) E O(mod..-(i>'. . .)■] 
Hiermit sehliesson wir die Theorie der Congruenzen 
zweiten Grades. 



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Kiil.itel V. 

Ueber binomische Congruenzen. 



§ 31. Ueber die Coisgruenz *'" — 1 s o (mod.p), wenn p 
eine Primzaiil ist. 

Unter dem No.nieii „bhiomische Coiigruenz" verstellt 
man eine solclie von der Grcatalt 

s:" — A zi^Q (mod. p) , 
wobei n, A, p irgend welche ganze Zahlen siad. Wir 
beginnen mit dem einfachsten Falle, wenn .4 = 1, imd p 
eine Primzahl ist. 

Wir werden annehmen , es sei p von 2 verschieden, 
weil für p = 2, die Congmenz 

x^—A~0 (mod. 2) 
nach § 20 auf eine Congruenz ersten Grades zurückgeführt 
wird. 

In Bezug auf die Congruenz von der Gestalt 
a:"— 1 = (mod. ;j) 
wollen wir zunächst folgenden Lehrsatz beweisen. 

34. Lehrsatz. Befriedigt eine Zahl die beiden Con- 
gruensen 

a:"'— 1=0; a^ — 1=0 (mod.p) 
gleichseitig, so befriedigt dieselbe Zahl 
OMch die Congruenz 

x" — 1^0 (mod. p) , 
wenn ea den grössten gemeinsamen 
'i'heilcr von in tind n bedeutet. 



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144 Kap. V, g 31. 

Beweis. Es mag a eino Zalil f-ein , welche sowolü 
«"' — 1 = (mod.j)), aiy auch «■' — 1=0 {moA. p) befrie- 
digt ; wir erhalten dann 

a"' = 1 ; ra" s: 1 (mod. p) 
und ß mnss relativ prim zu p sein , weil sonst 

tt™ ^ (mod. p) 
wäre. 

Indem m als grösster gemeinsamer Tbeiler "von m und 
isgesetzt war, erhalten wir in den Quotienton 



ganze Zahlen, die relativ prim zu einander sind. Sind 
aber — , — relativ piim zu einander , so wird man eine 
Zahl s finden können, die der Congruenz ersten Grades 

-.s — 1^0 (mod.-) 
(0 (0 

genügt. Diese Congruenz sagt aus, dass die Differenz 
— s- — 1 durch — theilbar ist; bezeichnen wir den Quo- 
tienten dieser Division mit y, so finden wir 



woraus folgt 

me-~ny = ra (19) 

Erhebt man die erste der beiden Congruenzen 
a"" = 1 ; ft" = 1 (mod. p) 
zur Potenz e, die zweite zur Potenz y, so erhält man 

a™ = a"9 (mod. p). 
Dividirt man beide Seiten dieser Congruenz durch a"^ 
(eine Zahl, welche zu p relativ prim ist, weil, wie wir 
gesehen haben , a relativ prim zu p sein mnss) , so ver- 
wandelt sich die Congruenz in : 

fl™""" = 1 (mod. p) , 



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Kap. V, § 31, 145 

oder, wenn man für mß — ny seinen "Werth m aus (19) 
setzt , in ; 

of" = 1 {mod. p) 
was zu beweisen war. 

Aus diesem Lclirsatze kann mau ferner den folgenden 
herleiten. 

35. Lehrsatz^, a) Die Lösungen einer Congruens 
a;'" — 1 ~ (mod, p) 
sind zugleich auch Lösungen von 
3;P-i — 1 = (mod. 2>). 
b) Ist ra der grösste gemeinsame Tkei- 
ler von m und p — 1, so iesitst die 
Congruene 

x"' — 1 = (mod.p) 
CO Lösungen, ivelche aus der Con- 
gruens 

ic™ — 1 =0 (mod. ^j) 
sich ergeben. 
Beweis. Der Congruenz «" — 1 = (mod.p) kön- 
nen nur Zahlen genügen , die durch p nieht theilbar 
sind; weil für jedes x, welches ein Vielfaches von p ist, 
jp™ = (mod. p) sein würde. I"ür jedes durch p nicht 
theilbares x besteht aber nach dem ^ermafschen Satze 
die Congruenz 

3S^-^~1 =0 (mod. 2»). 
Folglich müssen alle Zahlen , welche die Congruenz 
«"' — 1=0 (mod. 2)) befriedigen, zugleich auch der Con- 
gruenz x"-'^ — 1 = (mod. p) geniigen. Daraus ergiebt 
sich dann, nach dem vorhergehenden Lehrsätze, dass die- 
selben Zahlen auch die Congruenz 

x°' — 1 ^0 (mod.^) 
befriedigen, wenn w den grÖ3steu gemernaamen Thciler 
von m und p — 1 bedeutet. 

Ebenso leicht kann man sich, umgekehrt, überzeugen, 
dass alle Zahlen, welche die letzte Congruenz befriedigen, 
auch die Congruenz 



yGoosle 



146 Kap. V, § 31. 

X'"^! E^ (mod. p) 
befriedigen müssen. 

ScLreibt man die Congnienz x'" — l:=,zO (moA-p) in 
der !Form x" = 1 (raod. p) und erliebt beide Seiten zur 

Potenz — (es ist offenbar — eine aranze Zabl, weil ta ein 

Theiler von m ist) , so erbält man in der Tliat .*'" e^ 1 
(mod. p), oder 3;'" — 1 = (mod. p). 
Somit werden beide Congruenzen 

3™~1 = 0; x'" — 1 ^ (mod. p) 

durcb ein und dieselben Zablen befriedigt. Es bleibt uns 
daber nur noch zu zeigen übrig, dass diese Coagmenzen 
wirklich m Lösungen besitzen. Dieses lässt sieb leicht an 
der Congruenz x""—! — (mod. ^) zeigen. Da ra ein 

p X 

Theiler von p — 1 ist, so ist — eine ganze Zahl; be- 
zeichnen wir dieselbe mit n, so erhält man p — 1 = an. 
Man wird daher x^—x in der Form 

s^—x = x{si^"'—l) = X [(x"')" — !"] 
darstellen können. In dieser Form erkennt man aber die 
Theilbarkeit von x^—x durch x°' — 1 sofort; weD. die Dif- 
ferenz der Potenzen A" — B" bekanntlich immer dorch die 
Differenz der Wurzeln A — B tbeilbar ist. 

Ist aber af — x dtirch x" — 1 ohne liest theilbar, so hat 
die Congruenz a:" — 1^0 (mod. ^) , nach Lelirsatz 26, ro 
Lösungen. "Weil aber diese Congruenz nur durch Zahlen^ 
welche der Congruenz x"' — 1 = (mod. p) genügen, be- 
friedigt werden kann, so muss auch die letztere Congnienz 
m Lösungen haben; was zu beweisen war. 

Beispiel Die Congnienz .;c"'— 1 = (mod. 17), bei 
welcher 2 der grösste gemeinsame Theiler der Zahlen 10 
imd 17 — 1 ist , hat nur zwei Losungen , welche aus der 
Congruenz 

x' ^ 1 (mod. 17) 
gefunden werden, 

Bemerkt man, dass dieser Congruenz die Zahlen 1 
und 17 — 1 = 16 geniigen, so dass die Lösungen derselben 



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Kap, V, § 31. 147 

x-l; X:-:W (raofl. 17) 
sind, so kann man sehliessen, dass auch die Löaimgen der 
Congmenz 

x">-t. = (raod. 17) 
keine andere als 

x = l; a; = 16 (mod. 17) 
sind. 



Aaf Grund des letzten Lehrsatzes wird somit die 
Lösung einer Congruenz x'"' — l = (mod. p) auf die Lö- 
sung der Congruenz x"' — 1^0 (mod. j) ziiriickgetuhrt, 
wobei ro ein Theiler von p — 1 ist. Mit dieser letzteren 
Congruenz wollen wir uns nunmelir beschäftigen und be- 
weisen zunächst folgenden 

36, Lehrsatz. Der Congrumts a;'° — 1^0 (mod.j?), 
in welcher w ein Theiler von p — 1 ist, 
genügt eine Zahl 



tuenn n relativ prim su p 

Betveis. Man hat nämlicli , da « ^= w ™ 
men wird , 

Nach dem Fermat'schen Satze bestellt aber , wenn n rela- 
tiv prim zu p ist, die Congruenz 

n^'~ — 1 = (mod. p), 
folglich auch 

«" — 1 = (mod. p) ; 
was zu beweisen war. 



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148 Kap. V, § 31. 

Seispiel. Der Congnienz x^'—l = (mod. tl) ge- 
nügen die Zahlen 

11—1 11-1 n-1 

2 5 =4; ä '" =9; 4 ^ = 16: , . . . 



Auf diese Weise kann man mehrere Lösungen der 
Congruenz x"" — 1 = (mod.^) finden. Was nun die Auf- 
findung aller Lösungen dieser Congruenz hetcifft, so be- 
weisen wir diesbezüglich folgenden Lehrsatz. 

37, LeJirsatä. Befriedigt eine Zahl % die Congruens 
x" — 1 = (mod. _p), 
ohne eine der Congruensen 
3;"— 1 = 0; «^—1=0; ...;a;^— 1 =0(mod.p) 



Theiler von a {die 1 mit inbegriffen) 
bedeuten, so werden aüe m-Lömngen 
der Congruens durch die ea successiven 
Potenzen von &, also 
x^ d'i X :^ &^; ....; x = &'" (mod.^>) 
erhalten. 
Beweis. Man überzeugt sich leicht, dass wenu &■ 
die Congruenz 

x""— 1 = (mod. p) 
befriedigt , derselben auch &" genügt, wenn n eine be- 
liebige Zahl ist. Denn , wenn & diese Congruenz befrie- 
digt, so hat man ö'°* — 1 =0 (mod.^); also 

d''" ^ 1 (mod. p). 
Erhebt man beide Seiten dieser Congruenz zur wtea Potenz, 
so erhält man #"" = 1 (mod. p), oder, was dasselbe ist: 

*"">— 1 =0 (mod. 35), 
woraus erhellt, dass &" der Congruenz x"^ — 1 = (mod, p) 
genügt. 



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Kap. V, § 31. 149 

Daraus folgt, dasa &, &'■',... ., S-™ und somit auch 
alle durch die Congruenzcn 

ai = ■&; x = &'^]....;x = &"' (mod. j-) . . (20) 
definirten Zahlen die Coiigruenz 

«<"— 1 = (mod.^») 
befriedigen. 

Wir wollen nun beweisen, dasa unter den Congruen- 
zen (20) nicbt zwei einander identisch sein können. Neh- 
men wir zu diesem Ende das Gregentbeil an, dasa nämlich 
irgend zwei, etwa 

X = &'"; X = &" (mod. p) 
einander identisch seien, während m, n, ala Exponenten 
von -& in den Congruenzen (20), grösser als und niebt 
grösser als (o sein sollen. Es sei nun m grösser als n. 
ladem wir zulassen, dass die beiden letztgenannten 
Congruenzen durch eine und dieselbe Zahl x befriedigt 
werden, erhalten wir 

*"' = 9" (mod. p) 
und durch Division beider Seiten durch ^" (welches relativ 
prim zii p) — die Congruenz 

^m-«_i ^ (mod.^j). 
Diese Congruenz liefert, in Verbindung mit 
*'" — 1 = (mod. p), 

welche nach Voraussetzung durch -9' befriedigt wird, nach 
Lehrsatz '64 die neue Congruenz 

fl."'—! = (mod.p), 

wobei fit' den grössten gemeinsamen Theüer von m—n 
und ro bedeiitet. Da <o' ein Theiler von m — n ist, so 
kann nicht w' = ta sein, weil m und n grösser als und 
nicht grösser als ro sind und somit tu — n •< o. Ist aber 
ro' < fl) und ein Theiler von ra, so miiss a' eine der Zahlen 

«,15 9 

sein, welche alle Theiler von ro darstellen. Die Congruenz 



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150 Kap. V, § 31. S2. 

musa also ein« jener Congrnunzen 

Q.''—l .^_ ; .&,'— 1. = ; ; »"—1 = (mod. p) 

sein, wclfilie nach der Voraussetzung nicht stattfinden 
können. 

Es können folglich nicht zwei der w Congruenzen 
x = &; x = &^] ....; w — d-"' (mod. jj) 

einander identiscli sein ; dieselben liefern daher alle <o Lö- 
sungen der Congruenz 

x"—! ^ (mod. p) , 
was wir beweisen wollten. 



Beispiel. Um alle Lösungen der Congruenz 
x^—1 = (mod. 13) 

zu finden, müssen wir eine solche Zahl aufsuchen, welche 
diese Congruenz befriedigt, ohne die Congruenzen 

a:— 1 = 0; a:^— 1=0; a^'— 1 = (mod. 13) 
zu befriedigen. Indem wir nun finden, dass die Zahl 4 
eine solche Eigenschaft besitzt, erhalten wir alle Lösun- 
gen der Congruenz x^—X ^ (mod. 13) durch die Con- 
gruenzen 

« = 4; x ~ 4^; x = 41' ; x = 4^ ; x = 4* ; x = 4.^ (mod. 13), 
oder: 
x = 'i; x = 5 ; x-^12; x = ^ ; x = 10; x = 1 (mod. 13). 



§ 32. Ueber die Congruenz x"'—A = (mod. p), wenn p 
eine Primzahl ist. 

Wir gehen jetzt zu den allgenieinci'n Congruenzen 
von der Gestalt 

x"'—A = (mod. p) 



y Google 



Kap. V. ^y. ist 

über, wobei Ä eine beliebige, diircb p uicht theiibare Zabl 
bedeutet, während p eine Primzalil, die wir wiederum, 
von 2 verschieden voraussetzen, sein soll. 

lieber Cougrneßzen von dieser Gestalt beweisen wir 

Lden Lebrsatz. 
38. Lehrsatz, a) Die Congruenz x'" — j4 = 0(mod.j*) 
ist nur dann möglich, u-enn 

J. ■" = 1 (mod. p), 
toakrend ra der grösste gemeinsame 
Theilar von p — 1 und m ist. 
b) Ist die Congruenz ic"' — ji=0(mod.j') 
üherhaupt möglich, so besitzt die. 
selbe 03 Lösungen, welche aus der 
Congrueiiz 

a;™ — jI" = (mod. p) 
sich ergchen, loemi % eine ZalU ist, 
tvelcJie der Bedingung 



:sl(mod.?-=i) 



genügt. 
Beweis. Ea war A durch p untheilbar vorausge- 
setzt ; daher kann eine die Congruenz x'^—A ~ (mod. p), 
oder af" =- A (mod. p) befriedigende Zahl x nicht ein Viel- 
faches von p sein ; weil sonst a^" ^ (mod. i^) w'äi:e und 
wir aus x'" ^A (mod. p) für A die Congruenz J. = (mod. 2?) 
erhalten hätten. Ist aber x durch j) nicht theilbar, so er- 
halten wir nach dem J5'er)»u('sohen Satze 

x^'~ = 1 (mod. p). 
Erhebt man beide Seiten dieser Congruenz zur Potenz 
- und beide Seiten der Congruenz a^" = J. (mod. p) zur 

Potenz (die Exponenten — , sind ganze Zahlen, 

ö ^ -^ (o fo 

weil ra gemeinsamer Theiler von m und p—l ist) , so er- 
hält man 

m(p-I) m{p— l) p-l 

X '" iiElja:'" = A "^ (mod. p) ; 



y Google 



162 Kap. V, § 32. 

woraus folgt 

A '" ^1 (mod.ß). 
Damit also die Congruenz ^"— J. = (mod. p) mög- 
lich sein soll, ist notliw endig , dass A der Congraenz 

J. ■" ZE 1 (mod. p) (21) 

Genüge leistet. 

Nehmen wir nun au, diese Bedingung sei erfüllt, so 
können wir beweisen , dass dann alle Zahlen , welche die 
Congruenz 

x'" ^ A (mod. p) 
hefriedigeu , zugleich auch der Congruenz 

genügen, wenn % eine durch die Congruenz 



-. 1 ( mod. 



p-1 



deiinii'te Zahl bedeutet. 

Da nämlich ta den grössten gemeinsamen Theiler von 
m und p — 1 bedeutet, so erhalten wir in 

m p — 1 

(0 ' w 

ganze Zalilen, welche relativ prim zu einander sind. Man 

kann aber immer, wenn — , relativ prim zu einander 

wo 

sind, eine Zahl jt finden, welche die Congruenz 



,^i(„„d.'i-=i) 



befriedigt. Für diese Zahl x wird, mit anderen Worten, 
die Differenz 



durch — — theilbar sein. Bezeichnen wir den Quotienten 
dieser Division mit 9, so erhalten wir 



y Google 



Kiip. V, § 33, 153 

m ^ __ j)^l 

oder, 30 geschrieben: 

.»i-s(y-l) = o (22) 

Auf Grrnnd dieser Grleicbimg kann man sofort zeigen, 
dass ztigleicli mit 

X'" = A (mod. p) 
auch 

x'" = A" (mod. p) 
bestellen muss. 

Ei-heben wir näralioh beide Seiten der Congrnenz 
a;"' = A (mod.jj) 
zur arten Potenz, so erhalten wir 

x"'" = A' (mod. j)) ; 
erhebt man zugleich beide Seiten der ans dem Ferinaf- 
sehen Satze sich ergebenden Congruenz 



p—l __ 



1 (mod.ß) 



zur pt'^n Potenz, so erhält man : 

x^'^~'' = l, oder 1 - ^Pf^-^' (mod. j.). 
Multipücirt man beide Congrueuzen 

/"' = ^''; 1 = /^^"^' (mod-i)) 
gliedweise mit einander, so erhält man 

woraus nach Division beider Seiten durch x , welche 

Zahl nach Voraussetzung relativ prim zu p ist, sich 

l"— '■"-"s^"(mod.j,) 
ergiebt. Ersetzt man darin die Zahl m%-^Q{p — 1) durch 
die (nach 22) ihr gleiche Zahl ta, so erhält man endhch 

^(0 ^ jn (^mod, p) , 
was zu beweisen war. 

Haben wir uns somit überzeugt , dass die Congruenz 



y Google 



\M Kap, V, § 32. 

iC" = ^ (mod. p) keine anderen Lösaugen als diejenigen 
der Congruenz a^"* = Ä" (mod. p) besitzen kann, so können 
wir aucli den zweiten Theil unseres Lehrsatzes beweisen. 
"Wir beweisen nämlich, dass die Congruenz 

x'" £E Ä" (mod, p) 

wirklich m Lösungen besitzt und dass alle diese Lösungen 
zugleich auch die Congruenz 

x"' = A (mod. p) 
befriedigen. 

Wir verfahren , nm uns von der Richtigkeit dieser 
Behauptung zu überzeugen, wiederum nach der im § 21 
angegebenen Methode, indem wir den ßest suchen, wel- 
cher bei der Division von a:^ — x durch x'^—A" verbleibt. 
Man findet diesen Eest sehr leicht, wenn mau bemerkt, 
dass mau x^ — x so achreiben kann : 



L(^") '" -{A-) '" \ x+[a '" -ij X. 
In dieser Form erkennt man sofort, dass der erste Theil 
r P— 1 J'—h 

l.(^-) "-C^'^) '- \x 

durch x'^—A^ theilbar ist, woraus sich somit 

( ^"' ^ 
\A "" —Ijx 

als der gesuchte üest ergiebt. 

Der Coeffieient Ä '^ —1 ist aber hier durch p 
theilbar, weil die Erhebung beider Seiten von (91) zur 
jcteii Potenz die Congruenz 

J. ■" ^1 (mod. p) 
liefert. Nach Lehrsatz 26 besitzt daher die Congruenz 

^10 ^ _^7I (^iiiod. p) 
wirklich a Lösungen. 



y Google 



Kap. V, § 32. 155 

Es bleibt uns nur noch zu beweisen übrig , dass alle 
der Congruenz 

x'" = A" (mod. p) 
auch die Congriienz 

X'" ~ Ä (mod. ^i) 



Erheben wir beide Seiten der vorletzten Congruenz 
zur Potenz — , so erkalten wir 

x™ = ä'" (mod. p). 
SubtraMrt man A von beiden Seiten dieser Gougnienz, 
so erliält man 

x'"—A = A " —A (mod, p) , 
oder, so geschrieben: 

x"^^A-^A \A "' --l) {mw\.p). 
Setzt man hierin für nm — ra den ans (22) sich erge- 
benden Werth 9(p — 1), so erhält man 
/ e(g— 1) •, 
x'"—A^A \A '" ~\) (mod.iO .... (23) 
Nach (21) befriedigt nun A die Congruenz 

J. *" = 1 (mod. p) , 
welche durch Erhebung beider Seiten zur Potenz p in 

A *" =1 (mod, ii) , 
oder 

A " —1 = (mod.^j) 
übergebt. Infolge dieser letzteren, geht aber die Con- 
gruenz (23) in 

x"'^ A = (mod. p) 
über; was noch zu beweisen übrig geblieben war, 



y Google 



15G Kap. V, § 32. 

Beispiel. In der Congruenz 

«9—3 sO (mod. 11) 
ist 2 der grösate gemeinsame Thciler von 8 und 11 — 1. 
Damit also die Congruenz wirklich Losungen habe , ist 
noth wendig, dass 

11— l 
3 '^ = 1 (mod. 11) 
erfüllbar sei. Diese Bedingung ist aber wirklich erfÜUtj 
weil 

1J_-1 
3 ^ = 3^ = 243 und 243 = 1 (mod. 11). 
ist. 

Man findet auch die LiJsungen unserer Congruenz in 
der That aus der Congruenz 

x'~'ä'' = d (mod. 11), 
wobei Jt duroli die Bedingung 

8 _, / , 11— n 

also 

4 Ä = 1 (mod. 5) 
defiiiirt ist. 

Indem wir diese Congruenz nach der in § 15 gezeig- 
ten Methode lösen, finden wir 

7t = 4^-2 = 64 (mod. 5). 
Daraus ersieht man, dass jt = 4 gesetzt werden kann, 
Infolgedessen geht die Congruenz 

«ä — 3" = (mod. 11) 
in 

3^^ — 81=0 (mod. 11) 
über, der offenbar die Zahlen x — Q und a: = 11 ~ 9 — 2 
genügen. Die Lösungen der Congruenz 
a:«— 3 = (mod. 11) 
sind somit 

x^2; « = 9 (mod. 11). 



yGoosle 



Ka],. V. S 32. 157 

Aus den über die CoTigrnenzen von der G-estalt 
a:"'— -4 = (niod. ^) 
bewiesenen Lehraatzeii wollen wir folgenden Lehrsatz her- 
leiten. 

39. Lehrsatz. Du CmtcpitPn;^ 

^" + 1 = U (mod p) 
hat heine Losung, icenn p — 1 nach 
Beft etung von (femetmamen Tkälem 
mit m auf eine ungeiaär Zahl fuhrt. 

Im entgegengesetzten Falle, besUet 
äie Üongmens <o Lo&ungen, wenn co 
den gtossten gentetnsamm Theüer von 
p — 1 und ro hedeiitet, und diese Lö- 
sungeji uciden «m? dp) Congruenz 

7™ !- 1 = U (mnd jt) 
gefundpn 
Beweis. Naeli Lehrsatz 38 wissen wir, dasa, damit 
die Congruenz x'" + 1 s (mod, p) möglieh werde , es 
nothwendig ist, dass die Congruenz 

(—1) " = 1 (mod. p) 

»—1 
bestehe. Dieses ist aber unmöglich, wenn ■ — — eine un- 
gerade Zahl ist; es mus3 folgKoh der Quotient der Divi- 
sion von p — 1 durch den gröasten gemeinsamen Theiler 
a> von p — 1 und m eine gerade Zahl sein. 

Ist aber ^— — eine gerade Zahl , so wird die Bedin- 
ro ° ' 

gung 

(—1) " = 1 (mod. p) 
erfüllt und die Congruenz 

x'"-\-l = (mod.^) 
hat in diesem Falle, nach unserem bereits bewiesenen 
Lehrsätze, ro Lösungen und diese Lösungen werden durch 
die Congruenz 

x'" — {—l)" = (mod-iO 



yGoosle 



158 Kap. V, § 32. 

ermittelt, wobei je durch die Congniens 

w \ m / 

definirt ist. 

Da min in dieser letzten Congruenz der Modnl eine 
gerade Zahl ist, während die rechte Seite durch 2 untheil- 
bar ist , so muss auch die linke Seite relativ prim zu ä 
sein. Daraus &lgt, dasa Jt eine ungerade Zahl sein musa, 
infolge dessen die Congmenz 

x"' — ( — 1")" s (mod, p) , 

diireh welche die Losungen der Congriiena 

X'" -|- 1 = (mod. j)) 
bestimmt werden, in 

x" + 1 ^ ^ (mod. p) 
sich verwandelt. 

So haben wir uns von der Bichtiglteit des aiisgc^pro- 
chenen Lehrsatzes überzeugt. 



Beispiele, 1) Ans imserem Lehrsätze achliessen 
wir, dass die Congruenz 

«* + 1 = (mod. 13) 

keine Losung- hat; weil der grösste gemeinsame Theiler 

von 4 mid 13 — 1 die Zahl 4 ist und der Qiiotient der 

Division von 13^ — 1 dvtreh 4 die ungerade Zahl 3 liefert. 

3) Dagegen hat die Congruenz 

«9-1-1 = (mod. 13) 

drei Lösungen, weil als gröaster gemeinsamer Theiler von 

9 und 13 — 1 sieb 3 ergiebt und die Division von 13—1 

durcb 3 die gerade Zahl 4 zum Quotienten liefert. 

Die drei Lösungen erhält man aus der Congruenz 

■r* + ] = (mod. 13). 



yGoosle 



§ 33. Ueber die Congruenz x"'—A = (moil. A'), wönn N 
eine zusammengesetzte Zaiil ist. 

Bisher Laben wir uns bei der Behandlmig der Con- 
gruenz 

x"'—A = (moä. p) 
auf den Fall besclirankt, wenn der Modol i7 eine Prim- 
zahl ist. "Wir wenden uns nunmehr zu dem aügemeinen 
Fall 

-(-—1 = (mud N}, 
wenn der Modil A eine zn'^ammengesetzto Zahl ist.. 

Wir nebniPn in das? der Modul N relativ jirim zu 
m und zn A ist unl beweisen fui diesen Fall, dass wenn 
die Congruenz 

3;"' — A = (mod. p), 
deren Modul 2> eine der in JV" enthaltenen Primzahlen be- 
deutet, befriedigt werden kann, dann anch der Congruenz 

x^—Ä = (mod. iV) 
Grenuge geleistet werden kann. 

"Wir beginnen mit dem speciellen Falle 
x'"—A = (mod. M), 
wenn der Modiil M eine Potenz einer Primzahl, etwa 

wobei tt eine Primzahl, welche nicht Theiler von m oder 
von A ist, bedeutet. Wir wollen zeigen, wie man aus 
einer Lösung der Congruenz 

a:™ — yl =0 {mod. a) 
Lösungen der Congruenzen 

a?" — A = (mod. a^); x"' — A = (mod. «^j; . . . . 

herleiten kann. 

Eb mag a eine Zahl sein, welche die Congruenz 

x'-—A = (mod.«) 

befriedigt ; es kann a nicht durch a theilbar sein, weil A 



y Google 



160 Kap. V, § 33. 

nach Voraussetzung dureli « untheilbar war. Um eine 
Zalil zix finden, welche die Congrnenz 

X»'—A = (mod. «*) 
befriedigt, setzen wir x = a -^- «ß und suchen die Zahl 
z so zu bestimmen, dasa die Bedingung 

{a + a^y—A = (moa, k^) 
erfüllt werde. 

Die letzte Congruenz kann man so schreiben; 

a'"—Ä-\-mW-^K0-\- - 4.- -'■a'"'-V^^-\-....-\-a'"s"' ~ (moa.«^) 

und man sieht sofort, dass hierin ce ein gemeinsamer Thei- 
1er aller Glieder der Congrnenz nnd ihres Moduls ist. 
Denn da a die Congrnenz a;'" — j1 = (mod. k) befriedigt, 
so mass die Differenz a™ — A ein Vielfaches von a sein; 
alle übrigen Glieder unserer Congruenz and der Modul 
enthalten aber cc explicite als Factor, Dividiren wir da- 
her alle Glieder und den Modul durch k, so erhalten wir 



Subtrahiren wir von dieser die offenbar idontiyche Con- 
ßS^+..., + a»-'2"' = (mod.«), 



1.2 "^ "* ^-■■T« 
so erhalten wir die Congruenz 



= (mod. k), 



welche, als Congruenz ersten Grades in Bezug auf s, leicht 
gelöst werden kann. 

Man überzeugt sich leicht, dass diese Congruenz im- 
mer eine Lösung besitzt ; weil der CoeöicieD.t von s, als 
Product von m und einer Potenz von a, welche beide re- 
lativ prim zu a vorausgesetzt waren, selbst relativ prim 
zum Modul a ist. Wir wissen aber, dass eine Congruenz 
ersten Grades in diesem Falle immer eine Losung besitzt. 

Die Lösung der Congruenz 



y Google 



Kap. V, § 33. 161 
f- »jia'"-i.j ^ (mod a) 

liefert somit eine ZaM ^, mit Hülfe deren man diejenige 
Zalil 3; = 6, welche die Congrnenz 

3!"' — A = (mod. ß*) 
befriedigt, in der G-eatalt 

i ^ a t\- CCS 
darstellen kann. 

Man kann aber leicht zeigen, dass man vermittelst 
einer solchen Zalil b, welche die Congruenz 

af^—A = (mod. a^) 
befriedigt , immer eine Zahl x = c finden kann , durch 
welche die Congrnenz 

x'"~A = {mod. a^) 
befriedigt ist. 

Wir setzen zu diesem Zwecke in der letzten Con- 
grnenz 

und erhalten für u die Bestimmitug 

(b + ahiy""-A = (mod. a^). 
Indem wir wiederum 

(6 + «>»)■• 
nach dem binomischen Satze entwickeln, alle G-Keder der 
Congrnenz und den Modul durch «^ dividiren und die 
Glieder , welche noch dann Vielfache von a bleiben , fort- 
lassen, erhalten wir, ganz analog wie oben, für die Be- 
stimmung von u die Congruenz ersten Grades 

^ 1- »i?)"'~U( s (mod. a). 

Bestimmen wir daraus u, was oifenbar wieder immer 
möglieh ist, weil auch hier der Coefficient von u relativ 
prim zum Modul ist , so finden wir eine Zahl x ^ c, 
welche der Congruenz 

a:'"— J. = (mod. c?) 
;t, vermittelst Gleichung 

X = h -\- ahi. 

left. ZahlMtLooriu. H 



y Google 



162 Kap. V, g 33. 

Pahren wir auf diese Weise i'ort , so eriialten wir 
ebenso die Lösungen der Congmenzen 

x'"~A = (mod. «*); X"'—A = Ü (niod. a'-') u. s. l 



Beispiel. Wir wollen die Lösung der Congruenz 
^6„äsO (mod. 3^) 
auffinden. 

Wir suchen zuerst die Lösung von 
a;^— 2sO (mod. 3), 
welche, nach Lelirsatz 38, auf 

a;— 2" := (mod. 3) 
zurückgeführt wird, wotei je durch die Bedingung 

5n= 1 (mod. 2) 
bestimmt wird. 

Bemerkt man , dass diese Bedingung durch tt = 1 
erfüllt wird, so erhält man 

3^ — 2 = (mod. 3) 
als Lösung der Congruenz 

.^5_2 = (mod. 3). 
Nachdem wir gefunden haben , dass diese Congruenz 
durch X = 2 befriedigt wird, setzen wir, um die Lösung 
von 

x^-2 = (mod. 3^) 
zu finden, 

Ä = 2+ 3:?, 

wobei s aus der Bedingung 

3 
oder 

10 + 8Ü^ = (mod. 3) 
bestimmt wird, 

Nach Division beider Seiten durch 10, welche Zahl 
relativ prim zum Modul 3 ist, erhalten wir 
8^ = —1 (mod. 3). 



yGoosle 



Kap, V, § 33. 163 

Unter den 2^alilen , welche diese Congruenz befriedigen 
findet sich s = 1 ; dieser Wertli, für « genommen, liefert 
die Zahl 

3^ = 2 + 3^ = 5, 
welche die Congruenz 

a:5_2 = o (mod. 3^) 
befriedigt. 



Wir gehen jetzt zu dem allgemeinen Falle 
X^—A = (mod. N) 
über, wobei N eine beliebige zuaammengeaetzte Zahl be- 
deutet, welche jedoch zu m und zu A relativ prim vor- 
ausgesetzt wird. 

Wir wollen beweisen, dasa wenn N aus dem Produete 
von Potenzen der Primzahlen 

a, ß, y, 

besteht, für welche die Congruenzen 

a;«»__ A = Q (mod. «) ; x™ ~ J. =- (mod. ß) ; 

X'" — A^G (mod. y); .... 

Lösungen besitzen, man immer eine Lösvuig der Congruenz 

2"'— 4^0 (mod. J\0 
finden kann. 
Ist 

N= k'- ß!' r ■ ■ ■ •. 

so finden wir zunächst, nach der auseinandergesetzten 
Methode, Zahlen, weiche die Congraenzen 

X'" — A = (mod. «^) ; a?' — A^O (mod. ßf") ; 
X"' — A = (mod. y*) ■ . . ■ 
befriedigen. 

Es mögen diese Zahlen mit 

9(, ©, e, . , . . 

bezeichnet werden. 

Nach Lehrsatz 13 werden dann auch alle Zahlen, 
welche durch die Congruenz 

11* 



yGoosle 



164 Kap. V, § 33. 

« = 5f (mod. «'■) 
definirt sind, ebenfalls die Congruenz 

a?" — j1 = (mod. «') 
liefriedlgen ; ebenso werden alle durcli 

x = i8 (mod. ß") 
definirten Zablen die Congruenz 

x^' — Ä — O (mod. (3.") 
befriedigen ; u. s. f, 

In § 30 haben wir aber gezeigt, wie man eine Zahl 
finden kann, welche zugleich alle Congruenzen 
x = ^ (mod. a') ; O! = S8 (mod. ßf) ; x = 'S. (mod. y'); . . . . 
also aiich alle Congruenzen 

af"~A = (mod. k') ; a;'" — ^ = (mod. ^■"'l ; 
jK"' — A. = (mod. y'); .... 
befriedigt. 

Da nun a, ß, y, . . . . von einander verschiedene Prim. 
zahlen hedenten, so sind die Modnli a^, /3", y", .... re- 
lativ prim zu einander und in diesem Falle folgt aus die- 
sen Congriienzen, nach § 9, die Congruenz 

x^ — A~0 {moA. (x^ ß'' y' ....), 
Somit haben wir also, eine die Congruenz 
^—A = {moi. tt^- ßf^ y^ . . . .) 
hefriedigende Zahl dadurch gefunden, dass wir vorerst 
eine Zahl aufgesucht haben, welche den Congruenzen 
x = % (mod.a^); x = ^ (mod-ß"); a: ^ ß (mod-^); .... 
gleichzeitig genügt, wobei 

9(, 33, e, . . . . 

durch die Bedingungen 

91'"— -^=0 {moä.a'-), 
®"'— ^ = (mod./S"), 
g»_^=0 (mod-y), 



yGoosle 



Kapitel YI. 
Ueber Congruenzen von der Gestalt 

a" = J, (mod. p). 



§ 34. Ueber die Cotigriienz a'= = Ä (mod. p) im Äiigemeinen 
und insbesondere über die Congruenz a" = 1. {jaoi.p). 

Wir liaben uns bis jetzt immer mit soleben Congriieii- 
zen, welche aus einer ganzen rationalen Function beste- 
hen, beschäftigt, und aus diesen liaben wir die bemerkena- 
werthesten , nämlich : die Congrnenzen der ersten zwei 
Grade und die binomischen Congruenzen, eingehender un- 
tersucht. Jetzt gehen wir zu Congruenzen über, welche 
die Unbekannte als Exponenten enthalten. Unter diesen 
CongTuenzen ist die bemerkenswertbeste 

a" ^ Ä (mod. p), 
wobei p eine, weder in a, noch in Ä als Tkeiler enthal- 
tene , sonst aber beliebige Primzahl bedeutet. Mit der 
Untersuchung dieser Congruenz wollen wir uns jetzt be- 
schäftigen. Es ist leicht in Bezug auf dieselbe folgenden 
Lehrsatz zu beweisen. 

40. Lehrsatz. Befrieäü/t eine Zahl e. die Congruens 

o^ = J. (mod. p) , 

so befriedigt dieselbe Congrueas auch 

jede Zahl, welche congruent tc nach 

dem Modul p — 1 ist. 

Beweis. Ist eine Zahl s congruent w nach dem Mo- 



y Google 



im Kai», VI, § -64. 

dul p — l, 90 ist s—a dui'oli p — 1 tbeillDar. Bezeioliücn 
wir den Quotienten der Division von si—a diircli p — l mit 
Q, SO erkalten wir 

woraus folgt 

Nacli dem Fermafschen Satze ist aber af~^ und so- 
mit auch ß(P~''- = (af'-^f cotigruent 1 nach Modul p, 
folglich ist 

a^-" = 1 (mod. p). 
Haben wir nun, nach der Voraussetzung 
a" = A (mod. 2^) , 
so erhalten wir dui'ch gliedweise ilultiplication dieser 
letzten Congruenz mit der vorhergehenden: 

a* i^ A (mod.^), 
was zu beweisen war, 

Aus dem eben bewiesenen Lehrsatze folgt, dass wenn 
eine Zahl die Congruenz 

a" ^i Ä (mod. p) 
befriedigt, dieselbe Congruenz auch imendhuh viele an- 
dere Zahlen befriedigen welche der ei 9ten nach dem 
Modul j)— 1 congruent sind 

Alle solche Zahlen , uolche e%nandi'> nach Modul 
p~~l congruent smrf, fassen im ah eine Lösung 
der Congruens 

a" = A (mod. p) 
auf. 

In dieser Bedeutung hat dann die Congruens 
a^ =. A (mod. p) 
so viele läsungen, als es ganse positive Zahlen gieht, 
welche läeiner als p — 1, welche also untereinander 
nach Modul p — 1 nicht congruent (incongi'uent) 
sind, und die Congruens befriedigen*). 



*) Man gelangt au dieser Aullassimg , wenn man ganK analoge 



y Google 



Kap. VI, 5 34-, 167 

Diese Lösungen werden durch 
a; = «1 ; x ^ a2; ■ . . . ; x = «„ (mod. p — 1) 
dargestellt, wobei 

Kl, K3| . . . ., «„ 
positive ZaMen, welclie kleiner als p — 1 sind und die 
Congruenz 

a" ~^ A (mod.p) 
befriedigen, bedeuten. 

Nachdem wir gezeigt haben , wie die Lösungen der 
Congruenz 

a" = A (mod. p) 
zu zählen .gind, wollen wir zur wirklichen Bestimmung 
ihrer Anzahl schreiten und beginnen dabei mit dem spe- 
ciellen Jalle J. = 1. 

Bezüglich der Congi-uenz 

aF ^ 1 (m.od. p) 
kann man folgende Lehi'^atze leirht beweisen. 

41. Lehrsatz. Sefaedigt x ^ a die Conc/ruene 
ö* ^ 1 (mod p) , 
so hefriediijt auch /edts Vielfache von 
a diesdhi, Cont/iamc 
Betoeis. Wenn der Werth x = a die Congruenz 
d* = 1 (raod.^)) 
befriedigt, so besteht: 

a" = 1 (mod. ß). 
Erhebt man beide Seiten dieser Congrnenz zu irgend wel- 
cher , etwa «ter Potenz , so erhält man wieder 

«"" = 1 (mod. p) , 
woraus ersichtlich ist, dass auch x = -ncc die Congruenz 

a^ = 1 (mod.^) 
befriedigt. 

Ueberlegungen, wie wir sie in § 12, um die Anzahl der Lösungen der 
Congmenz f(x) ™ (mod.^) ku deftiüteu, gebraucht haben, auch in 
Beaug auf die Losungen der Congruenz of'^A (mod.jp) austeilt. 



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168 Kap. VI, § 34. 

42. Lehrsats. Befriedigt eine Zahl « die Gongruens 
ffi^ = 1 (mod. jj), 
so hefrieäigi auch der grössie gemein- 
same Theiler von u und p — 1 dieselbe 
Gongruens. 
JBeweis. Man kann diesen Lebrsatz leicht aus dem 
35tsi, über die binomische Congrwenz 
x«i — 1 ^ (mod. p) 
bewiesenen Lehrsatze herleiten, nach welchem jede diese 
Congraenz befriedigende Zahl a zugleich auch die Con- 
gruenz 

x"— 1 = (mod.?)) 
befriedigen musa, wenn to den grössten gemeinsamen Thei- 
ler von m und p — 1 bedeutet. Dai^aus folgt nämlicli lui- 
mittelbar, dass zugleich mit 

a"* = 1 (mod. p) auch a" = 1 (mod, ^y) 
bestellt; wodurch unser Lehrsatz bewiesen ist. 

43. Lehrsats, Die Ueinste unter den Zahlen, welche 
die Gongrußiw 

gx == I (mod. p) 
iefriedigen, die Null ausgenoinmen, ist 
ein Theiler wn p — 1 ; alle übrigen die- 
ser Zahlen sind Vielfache dieses Theilers. 
Beweis. Es mag « die klein,°te imter den Zahlen 
sein, welche die Congrnenz 

ö" = 1 (mod. p) 
befriedigen ; dann wird , nach dem vorhergehenden Lehr- 
sätze, dieselbe Congmenz auch diirch den grössten gemein- 
samen Theiler von a und p — 1 befriedig-t werden. Dieser 
Theiler von a und ^i — 1, welcher die Congruenz 

a" = 1 (mod. p) 

befriedigt, kann aber nur gleich a sein; da er sonst klei- 
ner als K wäre , während nach der Voraussetzung « die 
kleinste unter den die CongTuenz 



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Kap, VI, S 34. 169 

a^=l (mod, p) 
.den Zahlen sein soll. I'olglici. muss a selbst ein 
Theiler von p — 1 sein. 

"Wir wollen nun beweisen , dass alle Zahlen , welche 
die Congrnenz 

«'^ = 1 (mod. p) 
befriedigen, Vielfache von a sein müssen. 

Zu diesem Zwecke bemerken wir, dasa nacli dem Vor- 
hergehenden Lehrsatze zugleich mit der Congi'Uöna 

a^T^l (mod. p) 
auch die Congrucnz 

a" = 1 (mod. ;)) 
bestehen muss, wobei w den grössten gemeinsamen Thei- 
ler von X und p — 1 bedeutet. Aus der letzten Congnienz, 
in Verbindiing mit 

a" ^ 1 (mod. p), 
folgt aber, nach Lehrsatz 34, die neue Congruenz 

a"* = 1 (mod. p) , 
wobei ra' den grössten gemeinsamen Theiler von k und 
m bedeutet. Es kann aber oj' nur gleich a sein ; weil 
sonst oj'j als grösster gemeinsamer Theiler von a und ro, 
kleiner als « wäre und wir hätten somit eine Zahl to', 
welche kleiner als a wäre und die Congruenz 

a^ = 1 (mod. p) 
befriedigt; was der Voraussetzung, dass k die allerkleinstc 
unter den diese Congruenz befriedigenden Zahlen sei, wi- 
derspricht. Es ist also 

Es war aber to' der grösste gemeinsame Theiler von X 
und p — 1 ; folgHch muss « = ra' ein Theiler einer jeden 
Zahl X sein, welche die genannte Congruenz befriedigt, 
was wir beweisen wollten. 



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170 Kai,. V[, § a4. 

Seispiel. Bemerkt man, dass, nach der Ntill, die 
5 die kleinste Zahl ist, welche die Congrueiiz 

2^ = 1 (mod. 31) 
befriedigt, so schlieaaen wir daraus, dass überhaupt nur 
VieKaehe von 5 diese CoiigTuenz befriedigen können. 



Aus dem soeben bewiesenen Lehrsatze folgt, dass die 
kleinste Zahl, welche die Congruenz 
a* = 1 (mod. p) 
befriedigt, einer von den Theüern von p — 1 sein muss; 
p — 1 seibat nicht ausgenommen, welche Zahl nach dem 
i^ej-jwai'schen Satze die Congruenz 

«p-' ~ 1 (mod-ii) 
befriediget, Bezeichnen wir daher den kleinsten Divisor 
von p — 1, welcher die Congruenz 

M^ zz 1 (mod. p) 

befriedigt, mit a, so bilden alle Zahlen, welche überhaupt 
diese Congruenz befiiedigen, die Reihe 

0, ß, 2«, 

Sollen aber die Zahlen, welche die Congruenz 

a^ = 1 (mod. ^) 
befriedigen , noch der Bedingung imterliegen kleiner als 
p — 1 zu sein, so können dieselben keine anderen sein, als 

die tli : 



0, o, 2», 



e-7i-> 



Nach der oben für die Anzahl der Lösungen gegebe- 
nen Definition, sagen wir also : 
die Congruens 

«^ = 1 (mod. p) 

M— 1 

iesitet immer die ~ — '~ Lösungen , welche durch 



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Ka]). VI, g ä4. 171 

X = 0; x = a; 3;=: 2«; ; x = cc M— — — 1 j (mo(Li)--l) 

dargestellt werden. 



Beispiel. Haben wir bemerkt, dass die kleinste, 
von Niül verschiedene ZaM, welche die Congi'iienz 

2^ = 1 (mod. 31) 
befriedigt, o ist, so sehliessen wir daraus, dass diese Con- 
gruenz 

31-1 

-^ = ^ 
Losungen besitzt, welche durch 

x = 0; x = 5; x = 2.b; x = ii.6; « = 4.5; «^5.5 
(mod. 30) 

dargestellt sind. 



Wir haben somit gefunden, daas die Anzahl der Lö- 
sungen der Congrnenz 

«^ = 1 (mod. p) 
durch den Quotienten 

bestimmt ist, wobei a die kleinste von Null verschiedene 
Zahl bedeutet, welche überhaupt die Congruenz befriedigt. 
Daraus folgt, als speeieller Fall: 

die Congruenz «^ = 1 (mod. p) hat mir eine einsige 
Lösung^ wenn die kleinste sie befriedigende, von Null 
verschiedene, Zahl p—1 ist. Diese Lösung ist dann 
durch 

X = (mod. jü— 1) 
dargestellt. 



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172 Kap. VI, § ^5. 

§ 35. Ueber die Lösungen der Congruenz 

a^ = Ä (mod. j)). 

Wir gelicu umimehi' zu üen allgemeineren Congriienzen 
ts' = j1 (raod, p) 
über, wobei Ä eine beliebige, durcli p nicht tlieilbarc Zabl 
ist, und beweisen folgenden Lebrsatz, 

44. Lehrsatz. Genügt der Congruens 

a^ = Ä (moä.p) 

eine Zahl A, wahrend k die Ideinste 
Zahl ist, welche die Cortgruems 

a* = 1 (mod. p) 
befriedigt, so hat die erstere \e'benfalls\ 

Lösungen, welche durch 
fl; = A; ai=A-|-K; x^^).-\~2a; ....; 
a; = A + (^=i— i)« (mod.i.-!) 

dargestellt sind. 
Beweis. Befriedigen A und a bezieliungsweise die 
Congmenzcn 

a^' ^ A; a^ = 1 (mod. p) , 
so hat man die beiden Congruenzen 

«'■ = J. ; a" = l (mod. p). 
Erhebt man beide Seiten der zweiten dieser Congruen- 
zen zu einer beliebigen, etwa wten, Potenz und multiplicirt 
das Resultat gliedweise mit der ersteren der beiden letz- 
ten Congruenzen, so erhält man 

«'■+'"' = J, (mod.p), 
woraus erhellt , dass x ^ X~{- na die Congruenz 

a^ ^E. A. (mod.ji) 
befriedigt, wenn n eine beliebige ganze 2ahl bedeutet. 



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Kap, VI, § 35. 173 

Man kann sieh aljer ancli leicht überzeugen, (lasa es 
ausser den Zahlen von derl'orm k-\-im keine sonst giebt, 
welche der Congnienz 

a" = A (mod. ^) 
G-enäge leisten könnten. 

Denn, da A nach der Voranssetziing die Congruenz 

a'^ = Ä (mod, p) 
befriedigen soll, so folgt aus dieser letzteren anch 

d^ = a'- (mod. j)). 
Dividirt man beide Seiten durch a'-, so erhält man 
gx—i. ^ ■[ ^jii(j3, ^^^ 

was, nach dem 43, Lehrsätze, aussagt, dasa cc — k durch k 
theUbar ist. ßezeicluiet man den Quotienten der Division 
von x~l durch a mit «, so erhält man x — l =; «k, 
also a; == J. + «a. 

Somit sind alle Zahlen, welche der Congrneuz 
a^ = A (mod, p) 
genügen, durch die Form x ^ l-\- na, in welcher n eine 
beliebige ganze Zahl ist, vollständig bestimmt. Ertheilt 

man n in dieser Form "VVerthe, welche nach Modul — 

einander congment sind, so erhält man für x Zahlen, 
welche nach dem Modul p — 1 einander congruent sind, 

ö— 1 

Und umgekehrt: irgend zwei nach Modul - -- ■ ■ incongruen- 

ten Werthen von n entsprechen incongrueiite Werthe von 
a; =: Z + HK. Davon überzeugen wir uns , indem wir be- 
merken, dass die ( 



X -{- an = l -\- an' (mod,^j — 1) 

durch Subtraction von l und Division beider Seiten und 
des Moduls durch a in 

' { 1 v—'^\ 

n = n (mod, I 

übergeht. 



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p—1 
Nach Modvil sind aber allo Zahlen überhaupt 

beziehungsweise congruent irgend einer von den unter- 
einander incongru&nten Zahlen 

0, 1, 2, ^^—1; 

folglich sind alle durch die Form x = l -{- an bestimmten 
Zahlen irgend einer der Zahlen 

A, X-\^a; A+2«: ; A + «(^^--l) 

nach dem Modul p — 1 congruent, während diese Zahlen 
selbst einander incongruent sind. 

Es werden daher alle Zahlen von der Form l -\- na, 
d. h. alle die Congruenz 

a^ = Ä (mod. 1)) 
befriedigende Zahlen durch die Congruenzen 

x~^; x-^-l + a; x^l-\-2a; ....; it = A + «(Ö~l) 

{mod. p~l), 
welche sämmtlich von einander verschieden sind , voll- 
ständig bestimmt. Dadurch ist unser Lehrsatz bewiesen. 



Beispiel. Bemerkt man, dass die Congruenz 

2* ^ 13 (mod. 17) 
durch X = ß befriedigt wird, während 8 die kleinste Zahl 
ist, welche die Congruenz 

2^ = 1 (mod. 17) 
befriedigt, so schliessen wir, daas die Congruenz 

2^ = 13 (mod. 17) 
— g — = 2 Lösungen hat, welche durch die Congruenzen 

x^%] x^Q-\-S (mod. 16) 
dargestellt sind. 



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Kap, VI, g 36. 175 

§ 36. Ueber die Indices. 

Auf /Grand des eben bewiesenen Lehrsatzes wird die 
Anzalil der Lösungen der Congruenz 

0,^ ~ ^ (mod. p) , 
falls dieselbe überhaupt möglich ist, durch die Anzahl der 
Lösungen der Congruenz 

«^ ^ 1 (mod. p) 
bestimmt. Wir wollen jetzt den speciellen Fall betrach- 
ten, wenn die Congruenz 

o* = 1 (mod. p) 
eine einzige Lösung besitzt; d.h., wie wir wissen, wenn 
p — 1 die kleinste S^ahl ist, welche die letztgenannte Con- 
gruenz befriedigt. 

In diesem Falle sagt man : 

„die Zahl a sei primitive Wtirsel der PrimsaJd p". 
Die betreffende Congruenz 

«^ = A {mod. p), 
ist dann durch ihre eigenthüniliche Eigenschaften und we- 
gen ihrer Anwendbarkeit besonders bemerkenswerth. Mit 
dieser besondern Congruenz wollen wir uns jetzt be- 
schäftigen und beweisen „in Bezug auf dieselbe folgenden 
Lehrsatz. 

45. Lehrsats. Ist a primüive Wursel von p und A 
nicht durch p thetlbar, so hat die Oon- 
grueits 

a"' ~ A (mod. j)) 
eine tmd mir eine Lösung. 
Beweis. Nach drr BebchafFenheit der primitiven 
Wurzel a, muss p — 1 die kleinste Zahl sein, welche die 



a* = 1 (mod. p) 
befriedigt. In diesem Falle kann aber die Congruenz 
ö^ = -4 (mod. p) , 



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176 Kap. VI, § 36. 

uacli dem vorh ergehenden Lehrsätze, entweder eine Lösung 
besitzen, oder gar keine. Wir wollen nun beweisen, dass 
Letzteres immöglicb ist, sobald Ä dureli p nicht theilhar 
sein soll. 

Lassen wir nämlich, zu diesem Zwecke, zn, dass die 
Congrueuz 

a'^ ^^ Ä (mod. p) 
keine Losung besitzt, während Ä kein Vielfaches von p 
sein soll. Ea mnss dann die Division von A durch p eine 
der Zahlen 

1, 2, . . . ., p—l 
als Rest liefern ; mit anderen AVorten , es iimss A einer 
dieser Zahlen nach dem Modul p congruent sein. Es mag 
r diese Zahl sein. Auf Grund von 

AzEr (mod. p) 
können die beiden Congruenzen 

a^ ^ A (mod. p) und a^ 21 )■ (mod. p) 
nur gleichzeitig möglich, oder iinmöglich sein. Da nun 
nach der Annahme 

a'^ = A (mod. j)) 
keine Lösung haben soll, so kann dann auch 

a^ ^£r (mod.p) 
keine Lösung besitzen. 

"Weil aber a relativ prim zu p ist, so können 
a", «S a^ . . . ., fli'-ä 
nicht durch 2' theilbar sein ; es muss daher jede dieser 
Potenzen irgend einer der Zahlen 

1, 2, 3, , p~l 

nach Modul p congruent sein. 

Daraus folgt, dass jede der p—l Zahlen 

0, 1, 2, , p~2 

irgend einer der Congruenzen 

»^ = 1 ; ft^ = 2 ; a'^ = 8; . . . .; a^ — p — 1 (mod. p) 
genügen muss. Eine darunter ist aber die Congrucnz 



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Kap, VI, § 36. 177 

a"^ "Br (mod. p) 
ist, welche keine Losung haben soll, so müssen die jj — 1 

Zahlen 0, 1, 2 , p~2 den übrigen i)—2 Congruenzen 

genügen. Daraus folgt, dasa mindestens eine dieser j) — 2 
Congruenzen durch zwei von den Zahlen 0, 1, 2, . . . ., p — ^2 
befriedigt werden müsste; was aber unmöglich ist, weil 
dieses heissen würde : eine dieser Congruenzen habe zwei 
Lösungen. 

Es ist somit die Ajinahme, die Congruenz 
a^ ^ A (mod. p) 
habe gar keine Lösung , während Ä durch p nicht theil- 
bar ist, unrichtig; und das war es ja, was wir beweisen 
wollten. 

Aus diesem Lehrsatze schliesscn wir, dass wenn a 
eiue primitive Wurzel von j) ist, die Congruenz 

<f ^A (mod. p) 
für jede durch p nicht theilbare Zahl A eine Lösung be- 
sitzt, d.h. diese Congruenz wird durch eine Zahl befrie- 
digt, welche kleiner als j) — 1 und nicht kleiner als Null 
ist. Eiue solche Zahl nennt man dann: den Index der 
Zahl A ; die primitive Wnrzel a nennt man in dieser 
Beziehung: die Basis der Indices. 

Eiue Zahl x wird somit Index einer Zahl A, in Be- 
zug auf die Basis a sein, wenn x eine Zahl, welche klei- 
ner als ß — 1 und nicht kleiner als Nnll ist und die Con- 
gruenz 

af' ~ A (mod. p) 
befriedig^t, während die kleinste Zahl, welche die Con- 
gruenz 

a^ = 1 (mod. p) 

befriedigt, p—1 ist. In diesem Ealle schreibt man: 

x = Ind. A. 

Man findet somit Ind. A, indem man die Congruenz 

fl^' = A (mod. p) 

löst und unter den Zahlen, welche dieselbe befriedigen, 

ToliebyEolieff, Zahlontheorio. 12 



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178 Kap, VT, S 36. 

diejenige iiimmtj welche kleiner als p — 1 und niclit klei- 
ner als Null ist. 

"Wir -werden also bei bestimmter Zahl a und bestimm- 
tem Modul j) für jede Zahl A eine gewisse zugehörige 
Zahl als Index von Ä finden. 

Kennen wir nmg^ 



Ind. Ä =: X, 
so haben wir für die Bestimmung der Zahl A die Con- 
gruenz 

a^ ^ A (mod.p). 
Dadurch wird aber die Zahl A noch nicht vollständig be- 
stimmt, weil dieser Congruenz aucii alle Zahlen , welche 
nach Modul p congruent A sind , ebenfalls genügen ; alle 
solche Zahlen haben somit einen und denselben Index. 

Indem uns also der Index einer Zahl A gegeben wird, 
erfahren wir nur eine Zahl, welcher A nach Modul p con- 
gruent ist; diese Zahl wird durch die Congnieuz 

^ ES a^ (moi.p) bestimmt, wenn x = Ind. A 
ist. 



Beispiel. Es sei jj = 7. Da die Congruenz 

3^ = 1 (mod. 7) 
durch keine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 befriedigt wird, so 
ist 3 primitive Wurzel von 7. Wir nehmen nun 3 zur 
Basis und finden dann die zugehörigen Indices der Zahlen 

1, 2, 3, i, 5, 6, 
tmd dieselben werden zugleich auch die Indices aller Zah- 
len sein, welche nach Modul 7 den erwähnten Zahlen 

1, 2, 3, 4, 5, 6 
congruent sind. 

Um zunächst den Index von 1 zu finden, haben wir 
die Congruenz 

3^ = 1 (mod. 7) 
zu lösen, Dieser Congruenz genügt oifenbar x = 0; 



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Kap. VI, § 36, 179 

folglich ist 

Ind. 1 = 0. 
Man überzeugt sich leicht, dass der Index von 1 im- 
mer sein wird, weil die Congruenz 
a^ ^l (raod, p) 
für irgend welche a und p immer durch 

X = 
befriedigt wird. 

Um ferner die Indices der Zahlen 
2, 3, 4, 5, 6 
aufzufinden, haben wir die Congruenzen 

3*~2; 3* = 3; 3^-4; 3^ = 5; 3^ = 6 (mod. 7) 
zu losen und unter den diese Congruenzen befriedigenden 
Zahlen diejenigen zu nehmen, welche kleiner als 7 — 1 = 6 
und nicht kleiner als Null sind. Dieses führt aber auf 
die Aufgabe, zii bestimmen, welche von den Zahlen 

3', 3^ 3^ 3*, 3^ 
einer der Zahlen 

2, 3, 4, 5, 6 
nach Modul 7 congment ist. Da nun diese suecessiven 
Potenzen beziehungsweise die Zahlen 



3, 9, 27, 81, 243 
liefern, die bei der Division durch 7 die entsprechenden 
Reste 

3, 2, 6, 4, 5 
ergeben, so erhalten wir 

3^=3; 3^ = 2; 3' = 6; 3* = 4; 3^ = 5 (mod. 7). 
Es ergiebt sieh somit : 

Ind.3=l; Ind.2 = 2; Ind.6 = 3; Ind.4 = 4; Ind.5 = 5. 
Ordnet man diese Resultate nach den Zahlen, deren 
Indices gesucht werden , so erhält man die zugehörige 
Tabelle: 

lnd.l = 0; Ind.2-^2; Ind.3 = l; Ind.4 = 4; 
Ind. 5 = 5; Ind. 6 = 3. 

12* 



yGoosle 



180 Kap. VT, § 36. 

Aus dieser Tabelle finden wir die ladiccs irgend wel- 
cher Zahlen A, welche relativ prim zu 7 sind, indem wir 
überlegen, dsiss irgend eine solche Zahl je nachdem sie 
nach Modul 7 einer der Zahlen 

1, 2, 3, 4, 5, 6 
congruent ist, sie auch mit der eutsprecli enden dieser 
Zahlen gleichen Index haben wird. — Um z. B. die Indi- 
ces von 20 und { — 18) zu bestimmen, finden wir, daas 
diese Zahlen nach Modul 7 beziehungsweise den Zahlen 
6, 3 congruent sind; daraus folgt: 

Ind. 20 = Ind. 6 = 3; 

Ind, (—18) = Ind. 3 = 1. 

Damit man die Zahlen aus ihren gegebenen Indices 

leichter finden kann, ordnen wir die obige Tabelle auch so : 

= Ind. 1 ; 1 = Ind. 3 ; 2 = Ind. 2 ; 3 = Ind. 6 ; 

4== Ind. 4; 5 = Ind. 5. 

Aus dieser Tabelle findet man leicht, welche von den 
Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 einen gegebenen Index besitzt. So 
finden wir z. B. dass der Index 3 der Zahl 6 zugehört, 
woraus wir sobliesaen, daaa alle Zahlen, welche in Bezug 
auf den Modul 7 und die Basis 3 den Index 3 besitzen, 
nach Modul 7 congruent 6 sind. 



Aus der eben gegebenen Erläuterung erhellt, dass 
die Zusammenstellung solcher Tabellen gar keine weite- 
ren Schwierigkeiten hat, sobald die primitiven "Wurzeln 
gefunden sind. Wie man aber die primitiven Wurzeln 
finden kann , das werden wir weiter unten zeigen ; hier 
dagegen wollen wir uns mit einer Auseinandersetzung 
einiger wichtigen Eigenschaften der Indices beschäftigen, 
welche es möglich machen, die betreffenden Tabellen mit 
sehr grossem Vortheil für die Lösung vieler Aufgaben der 
Zahlentheorie zu gebrauchen. 

Am Schlüsse dieses Buches findet man Tabellen^ 
welche die Indices fiir alle Moduli , die kleiner als 200 



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Kap. VI, § 36, 37. 181 

sind, enthalten. Dieselben sind ans den Vorlesungen über 
algebraisclie und trauscendente Analysis, des Herrn Ostro- 
gradsky, Mitgliedes der Akademie der Wissenschaften, 
entlehnt. 

Die Tabellen unter dem Buchstaben I (Index) dienen 
zur Bestimmung der Indices einer gegebenen Zahl; wäh- 
rend die Tabellen unter dem Buchstaben N (Numerus) 
dazu dienen, aus gegebenem Index die betreffende Zahl zu 
finden. In den einen , wie in den anderen Tabellen wird 
die gegebene Zahl (gleichviel ob Index, oder Numerus) 
zerlegt in Einer und Zehner ; die Einer fi,ndet man in der 
oberen Zeile und die Zehner in der äussersten linken Co- 
lonne und das Gesuchte (Numerus, oder Index) befindet 
sich in gleicher vertioalen Colonne mit den Einern und 
gleicher horizontalen Zeile mit den Zehnern. 

Um z. B. den Index von 167 in Bezug auf den Modul 
193 zu finden, suchen wir in der mit I überschriebenen 
Tabelle für die Primzahl 193 in der oberen Zeile die Zahl 
7 (die Einer von 167) und in der äusserst linken Colonne 
die Zahl 16 (die Zehner von 167) auf; auf gleicher Hori- 
zontalen mit 16 und gleicher Veiticalen mit 7 findet man 
101 ; diese ist der gesuchte Index von 167. 

"Wollen vrir umgekehrt, bei demselben Modul und der- 
selben Basis, diejenigen Zahlen finden, welche den Index 
101 haben , so suchen wir in der mit iV überschriebenen 
Tabelle in der oberen Zeile die Zahl 1 (Einer des Index 101) 
und in der äusserst linken Colonne die Zahl 10 (Zehner 
von 101) und finden 167 als entsprechenden Numerus in 
der Tabelle. Daraus schliessen wir , dass die Zahlen, 
welche den Index 101 haben nach Modul 193 congruent 
167 sind. 



§ 37. Ueber die Lösung binomischer Congruenzen mit Hülfe 
der Index 'Tabellen, 

Wir wollen uns jetzt mit denjenigen Eigenschaften 
der Indices beschäftigen, auf welchen der Grebrauch der 
Tabellen beruht. 



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18ä Itap, VI, § 37. 

46. Lehrsatz. Für den Modul p ist dm- Index eines 
Productes mehrerer Zahlen congruent 
der Summe ihrer Indices nach Modul 
p-1. 
Beweis. Es mögen A, B, C, . . . . gegel^ene ZaMcn 
und i, i', i'\ .... ilire entsprechenden Indices in Bezug auf 
den Modul p und auf die Basis a sein. Nach der Defini- 
tion des Index erhalten wir; 

a'^Ä; af' = B; a"'~C; ; (mod.p). 

Multiplicirt man diese Congnienzen gliedweise mit einan- 
der, so findet man 

«<+;■+'"+■•■ = ABC . . . (mod.p). 
Ist nun I der Index des Productes ABC ... ., so liat 
man 

a^~ABG (mod.p), 

folglich, in Verbindung mit der vorhergehenden, 

a'+i'+i"+.-. = ([J (mod. p), 
woraus nach Division dnrch a^: 

(i.''+''+'"+-"--f = 1 (mod-^")- 
Die Zahl 

i + i'+i"+...-J 
genügt somit der Congrucnz 

a* = 1 (mod. p) , 
was nach Lehrsatz 43 beweist, dasa diese Zahl ein Viel- 
faches sein muas von derjenigen kleinsten Zahl, welche die 
letztgenannte Congruenz befriedigt; dieselbe kann nun, 
nach der Definition der primitiven Wurzel, keine andere 
als p — 1 sein. 

Die Differenz i-\-i'-{-i"-\-... — I ist also dnrch p — 1 
theilbar; diese Thatsache wird aber durch die Congruenz 

Isi + i'+*"+... {moä.p-1) 
ausgedrückt, was zu beweisen war. 



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Kap. VJ, 5 37. 183 

Beispiel. In Bezug smf ilcn Modiü 199 und die 
Basis 127 finden wir: 

Ind. 2 = 194, 

Tiid. 5 = 6, 

Ind. 19 ^ 11, 

folglich : 

lnil.2.5.19 = Ind. 190=194 + 6 + 11; Ind.190 = 211 

{mod. 198). 
Bemerken wir, dass die Zahl, welche kleiner als 198 und 
nach Modul 198 cougruent 211 sein soll, 13 wird, so 
schliesaen wir daraiia, dass 

Ind, 190 = 13 
ist ; welches sich auch in der Tabelle bestätigt findet. 

Auf diese Weise kann mau immer den Index einer 
zusammengesetzten Zahl finden, sobald die Indiecs ilirer 
Primzahl-Factoreu gegeben shid. 



Ais specicUen Fall, finden wir in dem oben bewiese- 
nen Lehrsatze noch folgenden 

Zusats. Der Inäex einer Fotmz ist nach Modul p~l 
dem lyoducte aus dem Exponenten zmd dem 
Index der Wurzel congruent. 
Denn, nimmt man in der oben gefimdenen Formel 

Ind. AJ5C = lüd.^ + Lid. J5 + Ind. 6' + 

(mod. p—V) 
an, es sei n die Anzahl der dariu auftretenden Zahlen 
A, B, C, . . • . und setzt J. = ö = C :=,..., so findet 
man: 

Ind. .4" = m Ind. ./l (mod.;?~l). 



Beispiel. In Bezug auf Modul 199 findet man: 
Ind.2» = 3 Ind. 2 (mod. 198). 
Da nun Ind. 2 = 194 ist, so wird 

Ind. 23 = 3.194 = 582 (mod. 198), 



yGoosle 



184 Kap. VI, § 37. 

oder, wenn man die ZaJii aufsuolit, welcke kleiner als 1 
und naeli Modul 198 congment 582 ist, 

Ind. 2^ = 186, 
wie man es aiicli dtirck die Tafel "bestätigt findet. 



47. Lehrsats. Befriedigt x die Congrums 

A^ = B (mod. p) , 

woJei A und B äm-ch p nicht theilbar 

sind, während p eine "Primzahl ist, so 

befriedigt der Index von x die Con- 



w.Ind.3; = Ind. S — Ind.J,{mod.jj— 1). 
Beweis. Ba zwei Zahlen, welche nach Modul p ein- 
ander congruent sind, in Bezug auf denselben Modul glei- 
chen Index haben, so folgt aus der Congruenz 

.4«" = B (mod. p) 
auch 

Ind.(A:K") = Ina.S. 
Nach obigem Lehrsatze ist aber 

Ind. Ax" ~ Ind. Ä + Ind. ^'^ (mod. p—1) 
und 

Ind. «" = n . Ind. x (mod. p — 1) , 
folglich ist: 

Ind. A -\- n. Ind. x = Ind. B (mod. p—l) , 
woraus sich 

n Ind. X = Ind. S ~ Ind. A (mod. p—1) 

ergicbt, w. z. b. w. 

Auf Grund dieses Lehrsatzes kann man leicht alle 
Congruenzen von der Torrn 

Ax^ = B (mod. p) 
lösen , wenn p Primzahl ist und A , wie B durch p nicht 
theilbar. 

Dahin gehören, als specielle Fälle, alle Congruenzen 
ersten Grades (für n ^=1); die Congruenz zweiten Grades 



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Kap, VI, § 37. 185 

a:^ = 2 (mod. p) 
(für n = 2 lind Ä = 1; B =^ q) und alle binomische Con- 
gnienzen, 

Wir beginnen mit der Anwendung des Lebraatzes 
auf die Lösimg der Congruenzen ersten Grades. 
Lautet die gegebene Congruenz 
Ax = B {mod. p) , 
so hat man nach dem vorhergehenden Lehrsatze: 
Ind. a; = Ind. jß — Ind.J. {moA.p — 1). 

Da ntin der Index von x nicht kleiner als Nnll und nicht 
grösser als p— 2 sein kann, so finden wir aus dieser Con- 
gruenz für Ind. x einen bestimmten Werth, indem man die 
kleinste positive Zahl aufsucht, welche der Zahl Ind.. B — 
Ind. A nach Modul p — 1 congriient ist. Haben wir nun 
den Ind. von x gefunden, so werden wir in der Tabelle 
eine Zahl (Numerus) finden, welcher x nach Modul p con- 
graent ist und dieses wird eben die gesuchtste Lösung der 

Ax = B (mod.p) 



Sei spiel. Um die Lösung der Congracnz 
10 a: = 9 (mod. 11) 
zu finden , haben wir ; 

Ind.a; = Ind. 9 —Ind. 10 (mod. 10). 
In der zur Primzahl 11 gehörigen Tabelle finden wir; 
Ind.^ 9 = 6, 
Ind. 10 = 5, 



also Ind. 9 — Ind. 10 =: 1; folglich ist 
Ind. x~l (mod. 10) 
und mithin auch bestimmter; 

Ind. X = 1. 
In der entsprechenden Tabelle für den Numerus findet 



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186 Kap> VI, 5 37. 

man , dass dem Index 1 der Numerus 2 eutspricht ; dem 
Ind. a: = 1 entspriclit also x^^2, folglieh ist 

a: = 2 (mod. 11) 
die Lösung der Congrueiiz 

10 a; = 9 (mod. 11). 



"Was nun die Lösung der Congruenz zweiten Grrades 
von der Form 

x^ = q (mod. p) 
betrifft, so erhält man nach der obigen allgemeinen Formel 
2 . Ind. X = Ind. q (mod. jj— 1). 
Nehmen wir hier an, ea sei p ungerade, so bemerken 
wir, dass der Coefficient von Ind. a; und der Modul durch 
2 theiibar sind ; daraiis eehliessen ^vir, auf Grrvuid des Lehr- 
satzes 18, dass die Congruenz 

2 , Ind. X = Ind. q (mod. p) 
und somit auch die CongTuenz 

x^ = q (mod, 2i) 
überhaupt keine Lösung haben kann, wenn q durch 2 nicht 
theiibar ist. 

Im entgegengesetzten Falle wird die Congruenz 
2 . Ind. X = Ind. q (mod. p — 1) 
nach Lehrsatz 19 zwei Lösungen haben ; es werden sich 
also 2 Zahlen ia der Reibe 

0, 1, 2 , i)— 2, 

finden, welehe der Congruenz genügen. Diese Zahlen 
werden dann die "Werthe von Ind. x sein und ihnen ent- 
sprechen zwei Lösungen der Congruenz 
x^ = q (mod. p). 



Beispiel. 1) Wir wollen die Lösungen der Con- 
x^ = 10 (mod. 101) 



yGoosle 



Kap, VI, g 37. 187 

aufsuclicn. Dazu haben wir die Losungen von 

2 . Ind. X = Ind. 10 (mod. 100) 
aufzufinden. Nach der Tabelle finden wir 

Ind. 10 = 25, 
also durch 2 nicht tlieühar. Die Congruenz hat somit 
keine Lösung. 

Sucht man den Weiik des j£gemWsehzw Symbols 

{ ifiT ) ^^ bestimmen, so findet man in der That : 

VlOlj VlOlAlOly' M.01^ \^) \öJ 
woraus die Unmöglichkeit der Congruenz 
x^ = 10 (mod. 101) 



2) Es sei die Congruenz 

x^ s 30 (mod. 107) 
gegeben. Die Lösung dieser Congruenz wird auf die von 

2 Ind. X = Ind. 30 (mod. 106) 
zurückgeführt. 

Nach der zur Primzahl 107 zugehfirigen Tabelle ist 
Ind. 30 = 80, 
also eine gerade Zahl; folglich hat die Congruenz zwei 
Lösungen. 

Indem man nun findet, dass die kleinsten Zahlen, 
welche die Congruenz 

2 . Ind. 3^ = 80 (mod. 106) 
befriedigen 40 und 93 sind, erhalten wir die zwei Werthe 

Ind. Ä = 40 und Ind. x = 93. 
Diese Indlces entsprechen aber den Zahlen 

64 und 43, 
folglieh sind 

iB = 64; a; = 43 (mod. 107) 



yGoosle 



188 Kap. VI, § 37. 

die Lösungen der Congruenz 

x' = 30 (mod. 107). 



Wir wenden uns endlich zur Lösung dev binomischen 
Congruenz en von der Form 

a:" = B (mod.p). 
Nach dem vorhergehenden Lehrsatze wird die Lösung 
dieser Congruenz auf die Congruenz 

n Ind. X = Ind. B (mod. ^—1) 
zurückgeführt. 

Nach Lehrsatz 18 ist die letzte Congruenz unmöglich, 
wenn der grösste gemeinsame Theiler von n und p— 1 
kein Theiler von Ind. B ist ; in diesem Falle hat also 
auch die Congmenz 

a:" = B (mod. xi) 
keine Lösung. 

Ist dagegen der grösste gemeinsame Theiler von n 
und p — 1, welcher mit w bezeichnet werden möge, auch 
ein Theiler von Ind. B, so hat die Congruenz 

n.Ind. a: = Ind. B (mod.ß — 1), 
nach Lehrsatz 19, o Lösungen. Daraus erhält man dann 
cj verschiedene Werthe von Ind. x und somit auch t» Lö- 
L der Congruenz 

a:" = B (mod. p). 
i alles wird auch durch Lehrsatz 38 bestätigt, 
nach welchem eine Congruenz von der Form 

a;" = B (mod. p) 
entweder gar keine Lösung besitzt, oder sie besitzt so 
viele Lösungen, als Einheiten in dem grössten j 
men Theiler von n und p—\ vorhanden sind. 



Beispiele. 1) Es sei gegeben die Congru 
w^^ = 17 (mod. 127). 
"Wir leiten aus dieser Cong-ruenz folgende : 



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Kap VI, § 37. 189 

12 . Ind. 3; = Ind. 17 (mod. 126) 
her und suchen in der znr Primzahl 127 gehörigen Tabelle 
den Index von 17 auf. 

Indem wir nun finden ; 

Ind. 17 = 118 
und da 118 durch den grössten gemeinsamen Theiler von 
12 und 126, nämlich durch 6 nicht theilbar ist, überzeugen 
wir uns, dass die Congruenz 

12 Ind. X ~ Ind. 17 (mod, 126) 
und somit auch die Congruenz 

x'^ = 17 (mod. 127) 
keine Lösung hat. 



2) Es sei die Congruenz 

x^^ = 38 (mod. 127) 
gegeben. Aus dieser Congruenz erhalten wir 

12 Ind. X ~ Ind. 38 (mod. 126). 
In derselben Tabelle, wie im vorigen Beispiel, finden wir 
Ind. 38 = 60. 
Da nun 60 durch den grössten gemeinsamen Theiler 6 
von 12 und 126 theilbar ist, so hat die Congruenz 

12 Ind.« -60 (mod. 126) 
6 Lösungen. Diese Lösungen finden wir nach Lehrsatz 19, 
indem wir beide Seiten und den Modul der letzten Con- 
gruenz durch 6 dividiren. Dadurch erhalten wir : 
2 Ind. a; = 10 (mod. 21). 
Wir finden aber, dass B die kleinste Zahl ist, welcho 
dieser Congruenz genügt. Daraus ergeben sich die 6 Lö- 
sungen der Congruenz 

12Ind.a: = 60 (mod. 126) 
in der Gestalt: 

Ind.a; = 5; Ind.3; = 26; Ind,a;=47; Ind.« = 68; 
Ind. x~8Q; Ind. x = 110 (mod. 126). 



yGoosle 



190 Kap. VT, § 37. 38. 

Ans dieseii Congriicnzen ergeben sich folgende 6 "Werthe 
für Ind, iT, näinlieh : 

Iiii[.x= 5; 26; 47; 6S; 89; 110 
lind diesen Werthcn von Ind, x entsprecken in der zuge- 
liörigen Tabelle die Numeri 

x = m; 30; 92; 63; 97; 35. 
Folglich sind 
« = 65; a;=30; a:=92; x = Q2; x = Q7 ; a; = 35 
(mod. 127) 
die Lösungen der Congruenz 

x^'' = 17 (mod. 127). 



§ 38. Eigenschaften der primitiven Wurzeln. 

Wir gehen jetzt zu der Bestimmxing der primitiven 

"Wurzeln über ruid wollen zunächst den Hilfasatz beweisen. 

Hilfssats. Jede su p relative PrimsaM a, die keiner 



(mod. p) 



genügt, wenn a, ß, y, .... die in // — 1 
enthaltenen Prinusahlfactoren hedeufen , ist 
primitive Wttrsel von p. 
Denn, nach der oben gegebenen Definition, ist eine 
Zahl a primitive "Wurzel von p, wenn der Congruenz 

a^ = 1 (mod. p) 
keine iileinere Kahl als ^—1 genügt. Wir woUen nun 



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Kap, VT, § 38. 191 

, dass dieses unter vmseren gemacMen Vorausset- 
zungen wirklicli der Fall ist. Zu diesem Zwecke wollen 
wir das Gtegentheil zulassen und zeigen , dass eine solclie 
Zulassung auf einen Widerspruch führt. 
Wird die Congruenz 

a^ = 1 (niod, p) 
durch eine Zahl x <;^— 1 befriedigt, so wird nach Lehr- 
satz 42 auch die Congruenz 

a™ = 1 (mod. p) 
stattfinden, wobei « den grÖssten gemeinsamen Theücr 
von X und p — 1 bedeutet, ao dass jedenfalls g> < p — 1 ist. 

p—1 
Der Bruch -— wird dann eine ganze Zahl sein, welche 

1 übertrifft. Diese Zahl kann aber nur diejenigen Prim- 
zahlfactoren f, ß, y, .... enthalten, welche in p — 1 ent- 
halten sind. Folglich muss eine der Primzahlen (!C,ß,y,..,. 

ein Theiler des Quotienten sein ; mag diese Primzahl 

^ p 1 

ß sein und der Quotient der Division von -— durch ß 

mag mit q bezeichnet werden. Aus ■■-■■ „ ■ = p erhalten 

wir : 

„p_ „_„. 

Erhebt man nun beide Seiten der Congruen« 
a" ^ 1 (mod. p) 
zur pten Potenz und setzt für rop seinen aus der letzten 
Q-leichung erhaltenen Werth, so erhält man : 
p-l 
a *" =1 (mod. p) , 
was der Voraussetzung widerspricht. 

Es kann somit keine Zahl x ■< p—1 die Cougruenz 
o^ = 1 (mod. p) 
befriedigen ; es ist daher a eine primitive Wurzel von p, 
was wir beweisen wollten. 

Auf Grrund dieses Hilfssatzes, beweisen wir folgenden 
Lehrsatz. 



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192 Kftp. VI, § 38. 39. 

48. Lehrsatz. Besteht für a keine der Cmgruemen 
x" ^ a; «1* = ö ; a;'' = et ; . . . . 
(mod. i>) , 
wenn a, ß, y, . . . . in p — 1 enthal- 
tene Primsaklfactoren bedeuten, so ist 
a primitive Wursel von p ; im entge- 
gengesetstm FaUe ist a heine prim^ive 
Wureel. 
Beweis. Nach Lelirsatz 38 folgt aus der Unmög- 
lichkeit der CongmenzeH 

a:" = a , xf' ^^ a; «v = <( , , . . . {mod. p) , 
wenn die Primzahlen a, ß, y, . . . . TheUer von p~l sind, 
dass keine der Congrnenzen 

2> — 1 jj— 1 p—l 

a " =1; a ^ eeI; a ^ = 1 ; . . . . (mod. p) 
eine Lösung besitzen kann. Li diesem Falle ist aber ß, 
nach dem vorhergehenden Hilfssatze, eine primitive Wur- 
zel der Zahl p. 

Im entgegengesetzten falle , wenn irgend eine der 
Congruenzen 

x" :^ a; x^iEi a; a:'' = a ; .... (mod. }}) 
stattfindet, so wird auch eine der Congruenzen 
p— 1 p—i ff— 1 

a " ^1; a^ =1; a ^ -1; ..,. (mod. i)) 
stattfinden nnd die Zahl a ist daher keine primitive 
Wurzel. 



§ 39. lieber die Auffindung der primitiven Wurzeln. 

Auf Grrund des vorhergehenden Lehrsatzes kömien 
wir nun leicht alle diejenigen Zahlen aus der Reihe 

1, 2, 3, . . . ., p~l 
bestimmen , welche keine primitiven Wurzeln sind. Es 
ist nämlich, wie wir gesehen haben, a dann und nur dann 



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Kap. VI, § S9. 



IteiB 


e primitive 


Wurzel ^ 


011 p, w 


nn i 


gend 


eine 


der Con- 


gruenzen 


xl'^a; xy ^a; 




. (mod. p] 




eine 


Lösung besitzt. Dieses heisst aber mit 


andei 


en Wor= 


ten, 


wenn eine 


der Congruenzen 










l»a 


a 


2« = a 


3« = a 




{P~ 


-l)-s 


„ j 




11- = 


a 


2v = a 


3? = a 




ip- 


-1)'S 


« 


(mod. ^i) 



befriedigt wird. Folglicli erkennen wir, dass a dann und 
nur dann keine primitive Wurzel sein wird, wenn a einer 
Zahlen 



1"; 


2-; 3"; . . 


• ■; (J>~»'; 


V; 


SP; 31; . . 


■ ■; (p-V; 


l'i 


2'; 3»; , . 


■ ■; (?-i)'; 



nach Modul p congruent ist. 

Unter den Resten, welche die Division dieser Zahlen 
duroh p ergieht , findet man daher alle diejenigen Zahlen, 
welche kleiner als p und keine primitiven Wurzeln von p 
sind. Lässt man diese Zahlen in der Reihe 

1, 2, 3, , p—1 

weg, so erhält man olle diejenigen primitiven Wurseln von p 
welche Meiner als p sind. 

"Was nun die Zahlen betrifft, welche grösser als p sind 
und die Eigenschaft der primitiven Wurzel haben, so ist 
es leicht einzusehen, dass dieselben den ebengefiindeneu 
nach dem Modul p congruent sein werden ; und wir wer- 
den uns daher dabei nicht weiter aufhalten, weU diese 
übrigen Zahlen uns kein besonderes Interesse bieten. 

Und so werden wir , indem wir von der Anzahl der 
primitiven Wurzeln von p sprechen, immer nur diejeni- 
gen darunter verstehen, welche kleiner als p sind. 

Beispiel. Wir wollen die eben auseinandergesetzte 
Methode auf die Aufsuchung aller primitiven Wurzeln der 
Primzahl 13 anwenden, 

Tcheliysclieff, Zahlantiieotio. 13 



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194 Kap. VI, § 39. 40. 

Da in 13 — 1 die Primzablfactoren 2 imd 3 enthalten 
sind, so werden unter den ZaMen dei" Reibe 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 
alle diejenigen , welcke nicht bei der Division der Zahlen 

1^ 2^ 3^ 4^ 5^ e^ v, 8^ 9^ lo^ u^, 12^ 
1», 2^ 3», 4^ 5^ 6^ 7^ 8=, 9^, lo^ n^ 12' 

durch 13 als Rest sich ergeben, primitive Wurzeln von 
13 sein. 

Die Division von 

1^ 28, 3^ 4^ 5^ 6S 7^ 8^ 9^ 10^ 11^, 12^ 
durch 13 liefert nun beziehungsweise folgende Reste : 

1, 4, 9, 3, 12, 10, 10, 12, 3, 9, 4, 1, 
wahrend aus der Division von 

l^ 2», 3', 4=, 5», 6', 73, 8', 9», 10^ ll^ 12* 
durch 13 sich beziehungsweise die Reste 

1, 8, 1, 12, 8, 8, 5, 5, 1, 12, 5, 12 
ergeben. Lässt man nun in der Reihe 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 
alle die gefundenen Reste 

1, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12 

weg, so verbleiben die Zahlen 

2, 6, 7, 11 
als primitive Wurzeln von 13. 



§ 40. Zweite Methode zur Auffindung der primitiven Wurzeln. 

Die im vorigen Paragraphen gegebene Methode zrn: 
Auffindung der primitiven Wurzeln , vrclehe dadurch be- 
sonders bemerkenswerth ist, dass sie aUe primitive Wur- 
zeln zugleich liefert, wird praetisch fast unausführbar, 



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Kap. VI, § 40. 195 

aobald man die primitiven Wurzeln einer bedeutend gro- 
ssen Zahl aucKt. In diesem Falle pflegt es leichter zu 
sein , eine primitive Wurzel ausfindig zu machen (was für 
unseren Zweck, wie wir sehen werden, vollständig hin- 
reicht) und zwar dadurch , dass man verschiedene Zahlen 
zu potenziren versucht, um diejenige ausfindig zu machen, 
die nach dem Modul p, in Bezug auf welchen wir eben 
die primitive Wurzel suchen, der 1 congruent ist. 

Wenn wir bei der successiven Erhebung einer Zahl a 
zu den Potenzen 1, 2, 3, ... . bis zu a^-'^ gelangen, 
ohne darunter eine zu finden, welche nach dem Modul p 
congruent 1 wäre , so erhalten wir in a eine primitive 
Wurzel von p. Finden wir c 



a" = 1 (med. p) 

ist für n -<p — 1, so überzeugen wir uns, dass a keine 
primitive Wurzel ist. In dem letzteren Falle suchen wir 
dann eine Zahl, deren niedrigste Potenz, welche nach 
Modul p congruent 1 ist, grösser als n wird. Eine solche 
Zahl können wir aber immer ünden, indem wir in folgen- 
der Weise verfahren. 

Wir greifen aus der itclbe 

1, 2, 3, p—1 

eine solche Zahl heraus, welche von den Eesten der Di- 
vision von 



durch p verschieden ist und suchen die niedrigste Potenz 
dieser Zahl auf, welche nach Modul p der Einheit con- 
gruent ist. 

Es mag die von uns gewählte Zahl h sein und ihre nie- 
drigste Potenz, welche nach dem Modul p congruent 1 wird, 
sei die «jte. Man kann sich leicht überzeugen, dass m 
weder gleich m, noch ein Theiler von n sein kann. Denn 
in jedem dieser Fälle würde die Zald h die Congruenz 

6" = 1 (mod. p) 
befriedigen, was nach dem 37teii Lehrsatze nicht mögKch 
ist, wenn b" nach Modul p nicht einer der Zahlen 
13* 



yGoosle 



Kap. VI, 



congment wäre, wälircnd n die kleinste Zahl bedevitet, 
welche die Congruenz 

a*^ = 1 (mod. p) 

befriedigt. Daher muss m, etüweder grösser als n sein 
und somit b dann eben die gesuchte Zahl sein wird, 
deren niedrigste Potenz , welche congruent 1 ist, n über- 
trifft, oder m enthält, falls m ■< n, einen Factor, welcher 
kein TheUer von )* ist. Im letzteren Falle Jtönnen wir 
vermittelst der Zahlen 



.edrigste Potenz, welche 
st. 
.r den grösaten gemein- 



leicht eine Zahl finden , deren nie 
congruent 1 wird, griSsser als n i 

Zu diesem Zwecke suchen wir 
samen Theiler (d von m und n auf und zerlegen denselben 
so in zwei Factoren ji und p, daas die Zahlen 

n , in 
— und — 

JE p 

ZU einander relativ prim werden(*). Nehmen wir dann 
die Zahl «" i^, oder eine ihr nach Modul p eougriiente 
Zahl, so wird dieselbe so beschaffen sein, dass die nie- 
dri^te Potenz derselben , welche congruent 1 wird , grö- 
sser als n ist. Um uns davon zu überzeugen, wollen wir 
beweisen, dass wenn 

c^a^bS; cä'=l (moä.p) 

ist, dann — ein Theiler von N sein muss ; dadurch wird 



(•) Um eine BükLe Zulc^ung ilts giussteii gememairneii Theilei? cu 
zweier Zililen m und h ?ii eiwnken, zeilegen wir Eunäoliat <u m seme 
Pnmiathactoren imd nehmen tui n dieienigen Piimzahltactoien, deren 
Esponenten in w nicht niedugei als die betreftenden m n sind, ganz 
analog nehmen wii für q diejenigen PiimKahllactoien, deien Exponen- 
ten m (0 nielit niedngei sind, als. die entsprechenden m mt Was nun 
die Piimzahltactoien betnfit, deien Exponenten in w sowohl, ah in n, 
und srmit auch in «t, dieselben sind, ao bleibt es ganz gleichgtiltig, ob 
man dieselben in ir odci m i. jninimmt 



y Google 



Kap, VI, § 40. 197 

i sein, dass die niedrigste Potenz JV von c, welche 
congruent 1 wird , wirklicli grösser eiIs n ist. Denn 
jrp = fl) muss, als gemeinsamer Theiler von m und n, wo- 
bei m kein Theiler von n ist, jedenfalls kleiaer als m 

sein , folfflich wird «.—>■)» und umsomehr N > n, 

nm "'' 

wenn — ein Theiler von N sein soll. 

Um nun zu beweisen, dass N durch — theübar ist, 
sobald 

C'"' =; 1 ; c = a'^ ¥ (mod. p) , 
bemerken wir, dass die Elimination von c aus diesen bei- 
den Congruenzen die Congruenz 

ffl«^ öe^ = 1 (mod. p) 
crgiebt. Erhobt man jene Congruenzen zu den Potenzen 
— und — , so erhält man: 

a"" ö " =■ 1 ; a ^ b""'' = 1 (mod. p). 
Wir wissen aber, dass jb und n die Congruenzen 
a" = 1 ; b'" ~zi 1 {mod. p) 
befriedigen; die Verbindung dieser letzteren mit den vor- 
hergehenden Congruenzen ergiebt daher 

&" =1; «? ^1 (mod.ij). 
Aus diesen beiden Congruenzen kann man nach Lehr- 
satz 43 sehliessen, dasa — JV durch m theilbar ist und 

ebenso, dass — N durch n theilbar sein muss ; weU. n und 

Q 
m als die kleinsten Zahlen voravisgesetat waren , welche 

beziehungsweise den Congruenzen 

a^= 1; 6^ EE 1 (mod-j)) 

Genüge leisten. Die Theilbarkeit von -^ JV durch m und 
— N durch 11 setzt aber voraua, dass 



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Kap. VI, § 40. 

ff™ 
.imd -i 



eanze Zahlen seien. Es muss also die Zahl N — dureli — 

m n " « ? 

und zl^^leicll JV— durcb — tlieilbar sein, während ~ und 

— relativ piim zu einander sind. Es ist dieses daher nur 
m n 

möglicli, wenn N sowohl durch ~ , als auch durch — theü- 

bar ist und folglich auch du]'ch das Produet —, was wir 
zu beweiaen hatten. 

Zu einer Zahl, deren niedrigste Potenz, welche nach 
Modul p congruent 1 wird, n ist, während n < p — 1, kön- 
nen wir also immer eine solche Zahl ausfindig machen, 
deren niedrigste Potenz, welche congruent 1 wird, grösser 
als n ist. Wiederholen wir nun das angegebene Verfah- 
ren eine genügende Anzahl mal, so müssen wir endlich 
(jedenfalls nach einer endlichen Anzahl von Wiederholun- 
gen) zu einer Zahl gelangen , deren niedrigste Potenz, 
welche nach Modul p congruent 1 ist, nicht kleiner als 
p — 1 sein wird. Eine solche Zahl wird eben eine primitive 
Wurzel der Zahl p sein. 



Beispiele. 1) Wir wollen nach dieser Methode eine 
primitive Wurzel der Primzahl 17 aufsuchen. 

Wir versuchen zuerst, ob nicht die Zahl 2 (die kleinste, 
welche wir nehmen können) primitive Wurzel von 17 ist. 
Dividiren wir 

2, 2^ 2^, 2*, 2^ 2«, 2', 2^ . . . . 
durch 17, so erhalten wir die zugehörigen Eeste 
2, 4, 8, 16, 15, 13, 9, 1 

Indem wü: so bereits bei der Division von 2^ durch 
17 zum Reste 1 gelangen, brechen wir, in der Ueberzeu- 
gung, dass 2 keine primitive Wurzel von 17 ist, die Di- 
visionen hiermit ab. Darauf nehmen wir eine andere Zahl, 



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Kap. Vr, § 40. 199 

welche kleiner als 17 i\nd nicht unter den früher gefun- 
denen Resten 

2, 4, 8, 16, 15, 13, 9 
enthalten ist und probieren ob nicht diese primitive Wur- 
zel sei. Die kleinste der möglichen Zahlen ist 3 und in- 
dem wir die sucoessiven Potenzen von 3 

3, 3^ 3», 3^ 3», 3«, 3', 3«, 3*, 3^«, 3", 3'^ 3'^ 3'*, 3'^ 
durch 17 dividiren und die zugehörigen ßeste 

3, 9, iO, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6 

finden, überzeugen wir uns, dass 3, erst zur 16te" Potenz 
erhoben, nach Modul 17 oongrnent 1 wird und somit 3 
wirklich eine primitive Wurzel von 17 ist. 



2) Als zweites Beispiel wählen wir die Primzahl 73, 
um eine primitive Wurzel derselben ausfindig zu machen. 
Wir fangen wiederum das Probieren mit der kleinsten 
Zahl 2 an. Indem wir nun die succesaiven Potenzen 

2, 2^ 2', 2*, 2°, 2«, 2', 2«, 2', . . . . 
durcli 73 dividiren und die zugehörigen Reste 

2, 4, 8, 16, 32, 64, 55, 37, 1 
finden, überzeugen wir ims, dass bereits 2^ congrucnt 1 
nach Modul 73 wird iind somit 2 keine primitive Wurzel 
von 73 ist. 

Indem wir nun bemerken , daas unter den erhaltenen 
Resten 

2, 4, 8, 16, 32, 64, 65, 37 
sich die nach 2 kleinste Zahl 3 nicht befindet, so nehmen 
wir jetzt das Probieren mit der Zahl 3 vor. Die Divi- 
sion von 

3, 3^ 3^, 3*, 3^ 3^ 3', 3^ 3", 3", 3", 3^^ .... 
durch 73 ergiebt die Reste 

3, 9, 27, 8, 24, 72, 70, 64, 46, 65, 49, 1, ... . 
und zeigt somit, dass bereits 



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200 Kap. VI, § 40. 

3'ä = 1 (mod, 73) 
und folglich auch 3 keine primitive "Wtirzel von 73 ist. 
Da aber die Zahlen 2 und 3 die Congruenzen 
2»:=1; 3'^ee1 (mod. 73) 

ergeben, so können wir nach der oben auseinandergesetzten 
Methode leicht eine Zahl componiren, deren niedrigste 
Potenz, welche nach Modul 73 eongrnent 1 wifd, jeden- 
falls grijsser als 1'2 sein muss. 

Zu diesem Zwecke bemerken wir, dass der grösste 
gemeinsame Theiler von 9 und 12 die Primzahl 3 ist, 
welche in 12 in erster Potenz imd in 9 in zweiter Potenz 
enthalten ist. Um daher die Zerlegung von 3 in zwei 
Tactoren Jt und p so zu bewirken, dass 

9 , 12 

— und — 

IE Q 

relativ prim zu einander werden , nehmen wir re =i 1 ; 
Q = 3. Es wird infolgedessen 

2' . 3ä = 54 

eine Zahl sein, deren niedrigste Potenz, welche congnient 
1 nach Modul 73 ist, jedenfalls grösser als 12 sein muss. 
Die Division der successiven Potenzen von 54 



54, 54^ 54», 54S &4^ 54«, 54^ 54^ 54^ W>, 54", 54'^ 
54'3, 84", 54^*, 54^«, 54", 54'S 54'^, 54^«, 54", 54^^ 54^«, 
5434^ 543&_ 542«^ 54sj^ 54sa^ 54äo^ 5430^ 5431^ 54^5^ 543»^ 5434^ 

54=^, 54a« 
ergieht dio Eeste 

54, 69, 3, 16, 61, 9, 48, 37, 27, 71, 38, 8, 

67, 41, 24, 55, 50, 72, 19, 4, 70, 57, 12, 64, 

25, 36, 46, 2, 35, 65, 6, 32, 49, 18, 23, 1, 

woraus wir ersehen, dass 36 die kleinste Zahl ist, welche 

der Congnienz 

54^ = 1 (mod. 73) 
Genüge leistet. 

Bei der Fortsetzung des Probierens müssen wir jetzt 



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Kap. VI, S •10. 201 

eine Zahl nehmen, welche sich nicht unter den hereits ge- 
fundenen Resten befindet. Die kleinste unter den noch 
übrig bleibenden Zahlen ist 5 und indem wir die Zahl 5 
zu allen successiven Potenzen, bis zur 72ten erheben und 
keine Zahl finden, welche nach Modal 73 congruent 1 
wäre, überzeugen wir uns, dass die kleinste Zahl, welche 
der Congrnenz 

5^ = 1 (mod. 73) 
genügt, 72 ist. Dadurch ergiebt sich 5 als primitive 
Wurzel von 73. 



Auf diese Weise finden wir eine der primitiven "Wur- 
zeln einer beliebigen Primzahl. Ist aber eine primitive 
Wurzel einer Zahl p gefunden , so kann man leicht auch 
alle übrigen aufstellen. 

Es mag , in der That , a die gefundene primitive 
Wurzel von p sein, während a, ß, f, . . . . von einander 
verschiedene , in p — 1 enthaltene Primzahlfactoren sein 
mögen. Ist dann A eine primitive Wurzel von p, so darf, 
n£ich Lehrsatz 48, keine der Congruenzen 

x" = A; x^^ A; x* = A; . . . . ; (raod, p) 
eine Lösung besitzen. Aus diesen Congruenzen folgt aber : 

a Ind. X = Ind. A ; ß Ind. x = Ind. A ; y Ind. x =. Ind. A; ; 

(med, p — 1) 
und weil tt, ß, y in p — 1 enthaltene Primzahlfacto- 
ren sind , so ist die Unmöglichkeit der letzten Congruen- 
zen in der UntheUbarkeit von Ind. A durch a, ß, y, . . . . 
enthalten. Mit anderen Worten, die Unmöglichkeit dieser 
Congruenzen , ist dadurch bedingt , dass Ind. A zu p — 1 
relativ prim ist. Nehmen wir nun als Basis des Index 
die von uns bereits gefundene primitive Wurzel a, so ist 

A = a^'^^ [moA.p). 
Daraus folgt, dass jede primitive Wurzel von p, nach 
Modul p congruent ist unserer primitiven Wurzel a, er- 
hoben zu einer Potenz , deren Exponent relativ prim zu 
p — 1 ist. 



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202 Kap. VI, § 40. 41. 

Seispiel. Es ist leictt alle primitiven Wurzeln von 
17 herzuleiten, sobald die eine primitive Wurzel 3 ge- 
funden ist. 

Man erhält nänilicli alle primitiven Wurzeln aus den 
Congruenzen 

x = 'd; x = 3^; x = 3'; a; = 3»; a; = 3"; x = 3^'; x = 3'^ 

(raod. 17), 
woraus erhellt, dass 

3, 10, 11, 14, 7, 12, 6 
sämmtliche primitive Wurzeln von 17 sind. 



^ 41. Ueber die Anzahl der primitiven Wurzeln. 

Auf Grrund der eben auseinander gesetzten Methode zur 
Auffindung der primitiven Wurzeln ergiebt sich die 
Folgerung. In der Ileijie der Zahlen 

1, 2, . . ., p—l 
ießnäen sich genau so viele pri^mtive 
Wurzeln von p, als es Zahlen giebt, 
welche Meiner als p — 1 und su p — 1 re- 
lativ prim sind. 
Man kann diesen Satz auch unmittelbar aus den in 
§ 33 gezeigten Eigenschaften der primitiven Wurzeln 
herleiten, 

TJm nämlich alle unter den Zahlen 
1, 2, 3, . . ., i)— 1 
enthaltenen primitiven Wurzeln von p zu erhalten, braucht 
man nur alle diejenigen Zahlen dieser Reihe fortzulassen, 
welche keine primitiven Wurzeln sein können. Nach § 38 
heisst dieses aber nicht anders, als aus dieser Reihe alle 
Zahlen fortlassen, welche die Congruenzen 
p — 1 p^\ p—'i 

X " ^1; X >* =1; X y ^1; . . . .; {moi.p), 
befriedigen, wenn r, (J, y, . . . . in p — 1 enthaltene Prim- 
zahlfactoren sind. 



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Kap, VI, § 41. 203 

Darauf gegründet, können wii' leicht abzahlen, wie 
viele primitive "Wurzeln von p sich unter den Zahlen 

1, 2, 3, . . ., p—1 
befinden. 

Wir beginnen mit dem einfachsten Falle , wenn p — 1 
nur durch die eine Primzahl a theilhar ist; es sei also 
p — 1 ^ ß"'. In diesem Falle werden alle Zahlen der 
Eeihe 

1, 2, 3, . . ., p—1, 
welche die Congrnenz 

P-i 

X " ~ 1 (med. p) 
nicht befriedigen, primitive Wurzeln von p sein. Kach 

p i 

Lehrsatz 35 befinden sich aber ~ Zahlen in der ge- 
nannten ßeihe, welche die letzte Congruenz befriedigen; 

folglich werden hier alle p — 1 — — - = (p — 1) ( ^ ) 

übrigen Zahlen primitive Wurzeln sein. Nach Lehrsatz 
12 giebt aber {p — l)(l — — j genau an, wie viele Zahlen 

kleiner als p — 1 und relativ prini zu p — 1 sind , wenn 
p — 1 = K™ ist. 

Wir wenden uns jetzt zu dem Falle, wenn p — 1 durch 
zwei Primzahlen, k, ß theilbar ist, also p — 1 = k™ ß". 

In diesem Falle findet man alle unter den Zahlen 
1, S, 3, . . ., p—1 
enthaltenen primitiven Wurzeln, wenn man in dieser Reihe 
die Zahlen, welche den Congruenzcn 

X " =1; X ^ =1 (raod. p) 

genügen, wegläsat. Nach Lehrsatz 35 genügen der erateren 

Congruenz — ~ Zahlen, welche kleiner als p sind, wäh- 

«s p 1 

rend der letzteren —^— solcher Zahlen genügen. Dann 

werden aber unter den Zahlen 

1, 2, 3, . . ., p~l 



yGoosle 



204 Kap. VI. § 11- 

^— ^ Zahlen sein, welclie beide Congnienzen 

X " =1; X ^ ^1 (moii. p) 
gleichzeitig befriedigen, indem sie der Congmenz 

a; "»^ s 1 (mod. ^i) 
Genüge leisten. Voneinander verschiedene Zahlen, welche 
den Congruenzen 

ix"sl;x'^sl (mod. j>) 
geniigen, giebt es somit 

p—l ' p~l p—1 
a ^ ß aß- 

Schliessi man diese aiis der Reibe 

1, 2, 3, . . ., p^l 
aus, so sind alle 

übrigbleibende Zahlen primitive Wurzeln. Nach Lehrsatz 
12 wissen wir aber, dass 



(--i)(i-^)(^-i) 



angiebt, wie viele Zahlen kleiner als p — 1 nnd zn p — 1 
relativ prim sind, wenn p — 1 = «"' /3" ist. 

In ähnlicher "Weise 

iiiv p — 1 =; (i"^ß"y^, dann iür p — 1 = a'"- ß" y'' d^ 

und so weiter fortfahrend, beweisen wii*, dass allgemein 
unter den Zahlen 

1, 2, 3, . . ., p-1 
immer genan so viele primitive Wurzeln von p vorhanden 
sind als es Zahlen giebt , welche kleiner als p — 1 und zu 
p — 1 relativ prim sind , wie in unserem Satze i 
ohen war. 



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Kap, VI, § 41. 



205 



Man kann nun beliebig irgend eine der primitiven 
Wurzeln von p als Basis wählen, vun den Index in Bezug 
auf Modul p zu bestimmen. Am bequemsten ist es immer 
solche zu wählen, welche am leichtesten zu Potenzen zu 
erheben sind , um so am leichtesten durch sie den Index 
zu bestimmen. 

Uebrigens ist es aber leicht, wenn der Index in Be- 
zug auf eine Basis gegeben ist , daraus den Index in Be- 
zug auf eine andere Basis herzuleiten. 

Es sei nämlich a diejenige Basis, nach welcher die 
Tabelle zusammengestellt ist und h mag diejenige Basis 
sein, in Bezug auf welche wir den Index irgend einer 
Zahl A zu berechnen wünschen. Bezeichnet man den In- 
dex von A in Bezug auf die Basis & mit x, so erhält man 
zur Bestimmung von x die Congruenz 
A = }f (mod.p). 
Aus dieser Congruenz schüessen wir, dass der Index 
von A dem If gleich ist , in Bezug auf welche Basis a 
man den Index auch nehmen mag. Man hat also in Be- 
zug auf die den Tabellen zu Grunde gelegte Basis a 
Ind, A = Ind. h'^. 
Nach der Eigenschaft des Index überhaupt , erhält 
man aber 

Ind. Jß = X Ind. h (mod. p — i) , 
folglich 

a; lud.ö = Ind. J. {mod.j> — 1). 
Die Lösung dieser Congruenz liefert dann x. 
Diese Congruenz wird immer eine Lösung haben, weil 
der Index einer primitiven "Wurzel, wie wir gesehen ha- 
ben , immer zu p — 1 relativ prim ist. Indem wir diese 
Congruenz lösen , finden wir leicht eine positive Zahl, 
welche kleiner als p—\ ist und die Congruenz befriedigt. 
Diese Zahl ist dann der gesuchte Index x der Zahl A in 
Bezug auf die Basis h. 



Beispiel. Wir wollen den Index der Zahl 35 in Be- 
aug auf die Basis 2 Mwii den Modul 29 aufsuchen, wenn 



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206 Kap. VI, § 41. 

wir den Index aller Zahlen in Bezug auf denselben Modul 
und die "Basis 10, wie dieses in den TaieUen abgegeben ist, 



Bezeichnen wir den gesuchten Index mit x, so erhal- 
ten wir för seine Bestimmxing 

X . Ind. 9 = Ind. 25 (mod. 28). 
Es ist aber 

Ind. 2 = 11; Ind. 25 = 8, 
folglich wird x ans der Congmenz 

11 :c = 8 (mod. 28) 
bestimmt. 

Indem wir diese Congmenz auflösen, finden wir 

x=li3 (mod. 28), 
und somit ist 16 der Index von 25 iu Bezug auf die 
Basis 2. 



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Kapitel YH. 

Ueber Congruenzen zweiten Grades mit zwei 
Unbekannten. 



§ 42. Ueber die Congruenz 

x'- + A'^^ + 5 = (mod, 1}). 

Bis jetzt haben wir ima auasehliesslicli mit Congruen- 
zen beschäftigt, welche nur rnie Unbekannte enthalten; 
nunmehr wollen wir ziir Betrachtung von Congruenzen 
mit swd TJnbelcanuten übergehen. Die bemerkenswerthe- 
sten unter ihnen, welche zugleich bis jetzt am meisten 
Anwendungen zulassen, sind die Congruenzen zweiten 
Grades von der Gestalt 

3-^ -\- Af Ar ^ ^ ^ ("loi- P) ; 
mit diesen wollen wir uns nun eingehend beschäftigen. 

Wir beweisen zunächst über Congruenzen dieser Ge- 
stalt folgenden 

49. Lekrsats. Ist p eine Frimsahl und kein Theil^" 
von A, so kann die Congruens 

x^ J^ Ay^ + B = (i (mod.i») 
immer [durch ganze positive Zahlen] 
hef riedigt werden. 
Beweis. Die Behauptung dieses Lehrsatzes ist zu- 
nächst offenbar richtig für p = 2 ; weil dann die Con- 
gruenz 

x" + Ay^ + iJ = (mod. p) 



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208 Kap. Vn, § 42. 

dureli y = 0; X = B befriedigt wird. Ebenso einleuch- 
tend ist die Richtigkeit der Behauptung in dem Falle, 
wenn für irgend einen Werth von y die Summe 

Ay' + JS 
ein Vielfaches von p wird ; weil ein solcher Werth von y 
zusammen mit a; = die Congruenz 

a^^ + Ai/^ -|- U = (mod. p) 
■befriedigt. 

"Wir wollen nun die Möglichkeit, diese Congruenz zu 
befriedigen, für den Fall, wenn 

j) > 2 und Ay^ -\- B 
durch p untheilbar ist, beweisen. 

In diesem Falle wird sich unter allen Werthen von 
— Ay'* — B, welche den p "Werthen von y, von ?/ == bis 
y = p — 1, entsprechen, eine Zahl sicher finden, welche 
nach Modul p congruent x^ ist. Denn die UnmÖgUehkeit 
der Congruenz 

x'' = —Ay'* — B (mod. p), 
wenn p eine Primzahl, grösser als ä, und —Ay'^ — B durch 
p tintheilbar ist, würde nach dem, was wii' in Kapitel IV 
gesehen haben, auf die Congruenz 

{^Ay^—B) 2+1 = (mod. p) 
führen, welche, nach dem binomischen Satze entwickelt, 
die Form 

p—i ,p--3 ß— 1 

±^2 yl^-^ + ^A'^ By^'-^±...+B^ +1 = Ü 
(mod. p) 
annimmt. 

Dieser Congi'uenz können nicht alle p Zahlen 
0, 1, 2, . . . ., p—1 
zugleich Genüge leisten, weil die Congruenz vom Girade p~l 

ist , während der Coefficient von y^~ , nämlich A , 
als Potenz einer Zahl A, welche relativ prim zu p vor- 
ausgesetzt war, nicht durch _p theilbar sein kann, 



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Kap, VIT, S 42. 48. 209 

Somit wird mindeatena eine den Zahlen 

0, 1, 2, p—1 

die letztgenannte Congruenz Hieht befriedigen. Diese 
Zatd verwandelt aber —Ay^ — B in einen quadratischen 
Kest von p; für einen solchen Werth von — Ai/^ — JB 
kann man, wie wir wissen, immer eine Zahl x finden, 
welebe die Congruenz 

x'^ i^ —Ay'^ — B (mod, p) 
befriedigt, wodurch der Lehrsatz bewiesen ist. 

Wir erhalten, als speciellen Fall des bewiesenen 
Lehrsatzes, den 

Zusats. Die Concjruens 

x'^ -^ y''' -{- 1 =- (mod. p) 
besitzt immer es 



§ 43. Uelier die Theiler dei- quadrati sehen Form 

x^ ± Ay'\ 

Wir wollen nna ein wenig bei der Dntersncbting der 
Congruenz 

x^'j-Ay'' + C=0 (mod.-M) 
aufhalten, in dem speciellen Falle, wenn 

0=0 
ist. Der G-egenstaud unserer XJntersuchnng soll in der 
Beantwortung der Frage besteben, 

ivelcke Eigenschaften muss äie Zahl M hesiUen 
damit die Congrums 

x^ + Ay'^ ^ (mod. M) 
durch irgend welche Zahlen x, y, loelche relativ 
prim, SU &,7tander sind, befriedigt werde ? 
Die Möglichkeit dieser Congruenz in dem angegebe- 
nen Sinne zeigt, dasa W£ ein Theiler der durch die Form 
x^-^-Ay^ dargestellten Zahl sein kann, während x, y vg- 
lativ prim zu einander sind. Im entgegengesetzten Falle 

Tclolijschcff, ZsUontheoriB. 14 



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210 Kap. Vn, § 43. 

sind die durch a)^-\-Äy'^ dargesteJlten Zahlen dureli M 
nicht tlieilbar. 

Im ersteren Falle werden wir sagen: M ist Thei. 
ler der qiiadratisdien Form x^ -\- Ay"^ ; im an- 
deren Falle: M ist Nichttheiler der quadrati- 
schen Form. 
Wir werden dann Mittel angeben, durch welche man 
alle Theiler imd Nichttheiler eiaer gegebenen Form finden 
kann. Diese Zahlen werden wir entweder in der Form 
ms -^ cc darstellen , wobei s eine beliebige Zahl sein soll, 
oder in der Form 

au^ + 2huv -f- cv'^, 

wobei u, V beliebige ganze Zahlen, die zu einander relativ 
prim sind, bedeuten. 

Erstere machen Untersnebungen aus , welche unter 
dem Namen : Theorie der linearen Theiler quadratischer 
Formen ; die zweiten : Theorie der quadratischen Theiler 
quadratische/r Formen bekannt sind. 

Wir beginnen mit der Theorie der linearen Theüer 
und beweisen zunächst einen Lehrsatz, welcher für die 
ganze Theorie von fundamentaler Bedeutung ist. 

50. Lehrsats. Befriedigen irgend welche Zahlen x, y, 
die SU einander relativ prim sind, 
die Congruens 

K^' + ^i/'-O (mod. Üf), 
so hesiist die Congruens 

M^ + A = {raoA.M) 
jedenfalls eine Lösung. 
Beweis. "Wenn, in der That, x und y, ohne einen 
gemeinsamer Theiler zu haben, die CongruenK 

x^ + Ay^ = (mod. M) 
befriedigen, so muss y relativ prim zu M sein; ila im 
entgegengesetzten Falle, irgend eine Primzahl, welche 
zugleich M und y theilt , auch x theilen miisste und es 
hätten somit x und y einen gemeinsamen Theiler. Ist 
aber y relativ prim zu M, so kann mau offenbar eine 



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Kap. VII, § 43. 211 

Zahl u finden, welche die Congnienz 
yu^x (mod. M) 
befriedigt. 

Erhebt man beide Seiten dieser letzteren zum Qua- 
drat, so liefert die Congrnenz 

y" u' EE x^ (mod. 31) , 
zusammen ndt der gegchenen 

x^ -\-Äy' = (mod. M), 
die neue Cougruenz 

y^ u^ -\- Ay" = {} (mod. M). 
Da nun y relativ prim zu M war , so darf man die 
letzte Cougruenz durch y'^ dividiren und man erhält somit 

u^ + A = Q (mod. M), 
waa zu beweisen war. 

Die Möglichkeit, die Congnienz 

x^ + J.«/^ = (mod. M) 
durch X, y, welche relativ prim zu einander sind, zu be- 
friedigen, bedingt somit die Möglichkeit die Cougrvicnz 

u^-{- A-O (med. M) 
zu befriedigen. 

Kann man, umgekehrt, die letzte Congruenz befriedi- 
gen, so kann man offenbar die Congruenz 

x^ -\- Äy^ ~ (mod. p) 
dadurch befriedigen, dasa man 

8, = 1; « = a 
setzt. 

Auf Gn.\nd des bewiesenen Lehrsatzes kann man [in 
vielen li'ällen] leicht erkennen , ob eine gegebene Zahl 
Theiler einer gegebenen Jonn ist, oder nicht. 



^Beispiele. 1) Wir wollen imtermchen, ob ■ 
Congniene 

x^—df = {) (mod. 5) 



yGoosle 



212 Kap, VIT, 5 43, 

durch X, y, weiche relativ prim zu einander sind, befriedigmi 
Jcann. Mit aadereö Worten, ob 5 ein Tkeiler der Form 
ic^ — 3jf^ sein Jcann. 

Da wir nacTi der in Kapitel IV aiigegebeBen Methode 

den "Werth des Legender'schen Symbols i-^J = — 1 fin- 
den, so sehlleBsen wir daraus, dass die Congruenz 
,(S_3 = (mod. 5) 

keine Losniig besitzt. Daraus folgt, Rui Grrund des oben 
bewiesenen Lehrsatzes, daas es nicht möglich ist, die Con- 
gruenz 

x^ — 3 «/^ = (mod. B) 
ditrcJi x, y, tvelche relativ prim su dnanäer sind, su hefrie- 
digen- mit anderen Worten, dass es nicht möglich ist 
x^^3y^ in ein Vielfaches von 5 su verwandeln. 



2) Es sei gegeben, 

x^'\-y^ ^lQ (mod. p), 
wobei p eine Primmhl von der Form 4« + 3 ist. 

Da wir wissen , dass für eine Primzahl p von der 
Form 4ra + 3 immer 



(=i)^ 



ist, so kann die Congraenz 

M^ + 1 = (mod. 2)) 
keine Lösung besitzen und es ist somit nicht möglich die 
Congraenz 

^s_j_j^a^() (mod.j)) 

durch X, y, welche relativ prim zu einander sind, zu be- 
friedigen. 

Daraus folgt, dass keine Primzahl von der Form 
4»J + 3 Theiler einer Zahl sein kann , welche als Summe 
der Quadrate zweier Zahlen, die zu einander relativ prim 
sind, darstellbar ist. 

So sind 7.. B. die Zahlen 



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Kap. Vli, § 43. 

5 = 2^+1; 10=3^ + 1; 13 = 3^ + 2^ 
17=4«+1; 25 = 4^ + 3^; 26 = 5^ + 1,. 
durcli die Zahlen 

7, 11, 19, 23 von der Form 4w + 3 
nicht theilbar. 



3) Es sei die üongruens 

;:ca -I- j,« = (inod.i>} 
gesehen, wenn p eine Primzahl von der Form 4^ + 1 isi- 

Da wir wissen, dass wenn p eine Primzahl von der 
Form 4w-|-l ist, immer 



Cl^- 



+1 

und dass somit die Congruenz 

M^ + 1 = (mod.ii) 
möglich ist, so folgt daraus die MÖglicMeii, die Congriiem 

x^-\-y^ = Q (mod.j») 

durch X, y, iveleke relativ prim su einander sind, su hefrie- 
digen, oder, was dasselbe ist: die Tkeilbarkoit einer Summe 
gtoeier Qtiadrate durch p = 4« + !- 



Man Itann auch allgemein auf Grund des oben be- 
wiesenen Lehrsatzes leicht die Form einer Primzahl p er- 
kennen , welche Theiler einer gegebenen quadratischen 
Form x^ -\- Ay^ sein kann. 

Wir wollen uns nicht bei dem Falle p = 2 aufhal- 
ten, weil 2 immer Theiler von 3;^ -\- Ay^ ist, entweder für 
a; =SH 1 ; y ^ X, oder flir x = Q; y = 1. Wir werden 
daher im Folgenden immer voraussetzen können, dass p 
eine von 2 verschiedene Primzahl ist. 

Bevor wir aber dazu übergehen, wollen wir einige 
allgemeinere Lehrsätze beweisen, 



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t Kap. VII, § 43. 

51. Lehrsats. Ist A eine Frimsahl von der Form 
4n -|- 3 und M ein ungerader Tkeiler 
der quadratischen Form 
x^ 4- Ay^, 
so ist 



(f) = +i- 



^aJ 

Beweis. Ist WI Theiler der quadratisohen Form 

so kann die Congraenz 

x^ + Ay^ = Q (mod. M) 

durch X, y, welche relativ prim zu einander sind, befrie- 
digt werden, was nach Lehrsatz 50 die Mögliclikeit der 
Congruenz 

M^ + A s (mod. Jlf) 
bedingt. 

Denkt man sich M als Product der Primzahlfaotoren 
a, ß, y, . . . . dargestellt, so kann man die Möglichkeit 
der CongTuenz 

u^ + A~0 (mod. 31) , 

nach § 30 [Umkehrung], durch das System der C-lei- 
ehungen 

ausdrücken. 

Es ist aber leicht aus diesen Gleichungen die Werthe 

der Symbole (-j); ("j)i \~ä)'' ■ ■ ■ ■ herzuleiten; und 
zwar wird 

So finden wir z. B. für das erste dieser Symbole 
nach den im IVte« Kapitel bewiesenen Eigenschaften von 

(i), dMS 



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Kap. 


VII, 


S 4S. 




äl5 


(1)^ 


•©(-)" 


-1 ^- 
! '2 


■ 1 


(-^)(- 


..--- 


^-1 

■" 2 


also : 
















G) = 


= c= 


^)< 


-l)"^' 


3 





JDa aber iiacli den obigen Gleichiingen ( i == 1 ist 

nnd Ä nach der Voraussetzung die Grestalt 4.n + 3 hat, 
so erhalten wir aas der letzten Gleieknng 

In ähnlicher Weise erhalten wir 

Durch Miütiplicatiün dieser Symbole erhält man 

und, wenn man darin 
setzt, ergieht sich 

[offenbar folgt ans 

zugleich auch 

also auch, wenn 

M ^ a^"ß''f... 

gesetzt wird , (--r-) =■ 11 ; was wir beweisen, wollten. 



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i Kap. VII, § i'-i. 

52. Lehrsatz. Ist A eine FrümaM von der Gestalt 
An -\- 1, wahrend M ein tmgerader 
Theüer von x^ + Ap^ ist, so wird 

M—l 

©-(-)^' 

ä. h. 



i—A = 3., wmn M = 4i» + 1; 
(f ) =-1, wmn M = 4.» + 3. 



Beweis. Ist M Theiler von x'' -]- Ai/'-', so besitzt 
die Congriienz 

x^ + Ai/^ (mod. J»f), 
also auch die Congrucnz 

M^ + ^ = (mod. M) 
eine Lösung. Dieses setzt aber, wie wir [§ 30, Umkeh- 
raiig] geaoheu haben, die G-leioliungen 

voraus, wobei (^, ß, y, ... die in M auftretenden Prim- 
zahlfactoren bedeuten. 

Auf Grund der Eigen schalten des Symbols ( — ) lei- 
ten wir aus den letzten Grloichungen die Werthe der 
S,„M. (5). (A), (1),...^». 

So erhalten wir für den Wertb des erstereu 

(^-(^^^^''^-^^^""^'^ 

also, genau wie im Lehrsätze 5], mit Berhcksichtigtmg des 



y Google 



Wcrthes (-^) = 1 



K«p. VII, § 43. 

-1 A + 1 



Da aber diesmal, naci, Voraussetzung, Ä die Gestalt 
A = 4k + 1 liat, so ist 

^-1^+1 «^^«+2 ?-J|2„,n "5=1 

folglich ist ; 

(■1) = (-''^' 

In älmlicher Weise erhalten wir 

Die Multiplication der Gleichungen für 

©. (1).(5).--- 

crgiebt dann 

©©©— H')'^^^ . 

woraus für 31 ^ a ß y . . . . folgt; 

^ a_i j^ 

Man kann aich aber leicht überzeugen , dass die beiden 
Zahlen 

__ and ^^ + _^ + -^+... 

um eine gerade Zahl von einander differiren. Denn , es 
ist, wenn M = a ß y . . . . gesetzt wird, 

2 ~ 2 ' 

was man auch so schreiben kann: 



y Google 



Kap. VII, § 43. 



-H-(l+2^)(l + .tl)(, + ,>^). 



Indem man in diesem Ausdrucke die Multiplicatiou der 
Klammerinhalte ausitihrt und diejenigen Glieder des Re- 
sultats, welche den Factor 2 haben, vernachlässigt, erhält 
man 

5-1 fc-l 5;-l 
2 + 2 + ä T • • • • 

übrig; so dass diese Zahl sich nur um eine gerade Zaiil 

M-1 

unt 

(-1) 2 2 2 ■■■=(-1) " 

und infolgedessen verwandelt sieh der oben gefundene Werth 
von (_jj m 



©=(-) 



[Man kann leicht einsehen, dass sich in der | 
weisföhrung nichts ändert , wenn zugelassen wird , dass 
beliebig viele unter den Primzahlen a, ß, ^r, . . . einander 
gleich sein können. Dadurch ist dann auch die Gültigkeit 
des Satzes für eine Zahl M von der G-estalt M= a'"ß'^y'' . , , 
erwiesen. Uebrigens complicirt sich auch die direete Be- 
weisführung unter der Voraussetzung M = k"' jS" /' . ■ . 
nur wenig. 

Es ergiebt sich nämlich aus 

zunächst 

(i)"a)'a)'-=(^-)=(-)' 

also , wenn M = a™ /3" }•'■■■ gesetzt wird ; 



y Google 



Kap. VII, S 4.3, 219 

(f ) = (-1) ' " ' ■ 

Man kann ater leicht einsehen, dass die beiden ZaMen 
— g— und »»-g- + « '^ + »■ '"ä" + ■ ■ ■ 

immer nur um eine gerade Zahl von einander differiren. 
Denn mit Berücksichtigung der Identitäten 

geht die Gleichung 

ilf— 1 __ K"'ß»f . . ■— 1 



M- 



.: -i+(i+-2^)'+(i+^¥)"(i+^'-i^)'- 



Über. 

Die Entwich eliing nach dem binomischen Satze er- 
gieht : 

Da nun M = k'" /5" y;' . . . ungerade vorausgesetzt war, 
so müssen auch a, ß, y, ... alle ungerade sein, folglieh ist 

-- ^— eine ganze Zahl. Bekanntlich sind die Binomial- 



i ' 1.2.3 

Zahlen, sobald m eine ganze Zahl ist. Vgl. Anm. zu § 30. 
Man kann somit 

(l + 2?^)'"= 1 + 2 . m?=^ + 2'.«, 

setzen, wenn man mit 6i die Summe aller übiigen Glieder 
der Entwickelung bezeichnet, welche alle den Factor 2 zu 
höheren Potenzen enthalten. 



y Google 



220 Kap. VII, § 43. 

Ebenso erhält man 

Muultiplicirt man diese Resultate mit einander, so ergiebt 
sich 

(i + a«_=l)-(i + 2tl)-(i + 2':=i)-... 

_ 1 + 2 [„ !=i + „fci + , £=^ + . . .] + 2> S, 

wenn man mit S die Summe aller übrigen Gi-lieder des 
anagerechneten Prodnctes bezeichnet. 
Setzt man diesen Werth in 



M- 


■1_ 


t-v^+^-r 


-j v'-t-^ 


a 


; V 


^ 2 J 




2 






2 










ein, 


so erliält man ; 














M-1 
"2~- 


»?=i + „ 


(i-1 r-l 


+ ■ 


..+2.S, 




was 


aussagt, 


dass die beiden Zahlen 










M-1 

2 


nnd m"=^ 


+ «~2- 


+ '^ 


U... 




sich 


. nur um 


eine gerade 


ZaM von 


einander nnterselieiden. 


D» 


nun immer ( — 1)* = 


(-1)'+" 


ist, 


so 


darf man , 


an- 


statt 
















(f) 


= (~1) 


«— 1 , p- 
"2- + ""2 


r + 


'"% 


i + ... 





schreiben, was zu beweisen war]. 



y Google 



Kap. Vn, § 43. 221 

53. Lehrsatz. Ist A eine Prim^cthl von der Gestalt 
4n+l itnd M ein ungerader Theüer 
der Form 

x^ — Ay^, 
so ist 



(ä)- 



Beweis. Ist M ein Tlieiler Yon x^—Ay^, ao be- 
steht die CoHgiiieiiz 

x^ — Ay^ = (mod. M). 
Nach Lehrsatz SO folgt daraus auch die Existenz von 

^2 — ^ = (moi.M), 
woraus sich nach § 30 [UmkehniHg] die Gleichungen 

ergeben, wenn a, ß, y, , . . in F enthaltene Primzahlfac- 
toren bedeuten. Berechnet naan aus der ersten dieser 
Grieichvmgen den Werth von (-j-)i so erhält man auf 
G-rund des Reciprocitätsgesetzes 

was nach der Voraussetzung A=4ii-\-lf also — :r— = 2n, 
in 

übergeht. Ebenso ergiebt sich 

Durch Multiplication erhält man f — ■ ' ■■ "j = 1; oder, 
M = aßy . . . gesetzt, \-j) ~ 1. 



y Google 



222 Kap, v:i, 5 i'ä- 

[Es ergiebt sich aus 

(i)-^:ii)-^--(.i) -'■■■■■ 

ebensogut auch 
also auch, wenn M ■-= a"'ß"f . . . eingesetzt wird, 

(5) -11- 

Das ist es, was wir beweisen wollten. 

54. Lehrsatz. Ist A eine Trimzahl von äer Gestalt 
4äz-\-S iind M ein ungerader Thmler 
der Foi-ni 

x^ — Ay^, 
so ist 

d. ]i. es ist 

(-j) =^ 1, tvenn M = 4)»+! 
tmd 

{-^j = — 1, tvemi M = 4m + 3 



Beweis. Wiederum schliessen wir zunächst ans der 
Theilbarkeit von x^—Ay^ durch 31, d. h, aus der Con- 
gtuenz 

x^-Ap- = (moil. M) 
über die Existenz von 

u'^-A ~ (mod. M), 
i ziinäehst, wie im Lehrsatz 53, folgt: 

© = '^(4)-i>(f)-i 



y Google 



Kap. VII, ? 43. 22S 

wenn tt, ß, y von einander verschiedene, m M enthaltene, 
ungerade PrimzaUfactoren bedeuten. 
Auch hier erhält man dann 



(i)-(^ir 



L aber in diesem Falle A, nach der Voraussetzung 
A-1 
2 



.4» + 3; also -^^ = 2« + 1, 



eine iingerade Zaiil ist , so wird 

(_1) '' ■ ' = (-1) 2^ + 5^= („D 2 . 
folglich erhält man ; 

Die Multiplieation ergiebt, wie oben bei dem Beweise von 
Lehrsatz 62: 

und folglich für M ^. a ß y , , . . 

Da wir aber oben bereits gefunden, dass 

^ , tl , r-i , Ezl 

(~1) ' ' "^ =(-1) ' , 

SO ergiebt sich: 

©=(-)^- 

[Auch hier erhält man wie oben aus 



y Google 



Kap, VII, g 43. 44. 



©■©•(i)'--(^=^--)-(-) 



f»V+'- 



imd weil, wie wir oben gesehen, wüuii M = «"' /S" y , 
: wird, 



(„1) 2 ■ 2 ■ 2 ■ _ ^_;^j 2 

ist, so erhält mau aiTcli im 3T ^= a'" ß" f . . . . die Gleicliung 



§ 44, Ueber die Bestimmung der Theiler einer Form y} ± A-y^, 
wenn A eine Primzaiil ist. 

Auf Grund der eben bewiesenen Lehrsätze kann man 
leicht alle linearen Theiler einer Form von der Gestalt 

x^ ± Af, 
wenn A eine Primzahl ist, vollständig bestimmen. 

Wir haben gesehen , dasa die ungeraden Theiler sol- 
cher Formen 

entweder durch die Gleichung \-^-t) = 1? 

oder durch die Gleichung ("jj ^^ ""■'■ 
bestimmt werden, jenachdem 1) die Form x^ ± Ap'^ mit 
dem Vorzeichen -f-; oAer mit dem Vorzeichen — gegeben 
ist, jenaehdem 2) A die Gestalt 4w4-3, oder ■in-\~l hat 
und in gewissen Fällen (S. Lehrss. 52 u. 54) jenaehdem 
3) Jlf von der Gestalt 4m + 1, oder 4ra + 3 ist. 

Wir haben aber in § 28 eine Methode kennen gelernt, 
mittels welcher man leicht alle Zahlen finden l^ann, welche 
die Gleichung 



y Google 



Kap. VII, § 44. 225 

und ebenso alle, welche die Grleichatig 

©-- 

befriedigen. Es sind namlick, wie wir dort gesehen ha- 
ben, alle Losungen der ersten Gleichung durch die Tor- 
meln 
M = ai-\~nA; M = a2-\- nA; . . . .; M = ö^_i + nA 

dargestellt, wobei n eine willkürliche Zahl ist, während 



beziehungsweise diejenigen üeste bedeuten, welche nach 
der Division der Zahlen 

dui'ch A verhleiben. Die Lösungen der zweiten Grleichung 

©-- 

sind durch die Formeln 

M= hi-\-nA; M= l>2 + nA; . . . .; M ^ l^^^^-nA 

dargestellt, wobei mit 

h, h, ■ ■ ■ ; ö^_i 

diejenigen Zahlen aus der Reihe 1, 2, 3, . , ., A — 1 be- 
zeichnet werden, welche von den obigen Zahlen 

«1, «3, ... ., a^_i 

versebiedeti sind. 

Wir woUen nun jetzt zusehen, wie jede dieser For- 
meln dazu dienen kann, Zahlen von der Grcstalt 4m + 1, 
oder 4m + 3 zu bestimmen. 

Damit eine Zahl M, welche durch die Grleichung 

M = a-\-nA 

definirt ist, die Gestalt im -\- 1 haben soll, muss n m be- 

Tckebjacheff. Zahleutlieo™. 15 



y Google 



226 Kap. vn, § U. 

schaffen sein, dass die Summe a-\~nÄ auf die G-estalt 
4m -|- 1 gebracht werden könnte ; mit andern Worten , n 
muss die Congruenz 

a-\-nA = 1 (mod. 4) , oder nA= X — a (mod. 4) 



Diese Congruenz wird immer eine Lösung besitzen, 
A eine ungerade Zahl ist. Indem wir diese Lö- 
sung nach der im § 16 gezeigten Methode aufsuchen^ 
finden wir 

n~(l — a)A 2 (mod. 4), 

oder , einfacher geschrieben : 

MS A(l— tt) (mod. 4). 

Dieser Congruenz wird immer eine der 4 Zahlen 

0, 1, 2, 3 

genügen; bezeichnen wir jene Zalil mit r, so erhalten wir 

die Congruenz 

r = A(l^a) (mod. 4), 
infolgederen unsere obige CongTuenz für n in 

n ^ r (mod. 4) 
übergehen wird, woraus sich also für n die Gestalt: 

n = 4^ + r 
ergiebt. Tragen wir diesen Werth von n in unser 

31 ^ nA + a 
ein, so erhalten wir 

M = 4Äis-i-Ar-^a 
als Definition der Zahlen von der G-estalt 4»j-j-l, welche 
die Gleichung M = nA --|- a zu befriedigen haben. 

In ganz ähnlicher Weise leiten wir für die Zahlen 
von der Gestalt 4m + 3 die Formel 

M = 4Aß-irAr'-\-a, 
her, wobei r' die kleinste Zahl bedeutet, welche A{d—a) 
nach Modul 4 oongruent ist. 



y Google 



Kap. VII, § i4. 




Aul' diese Weise erhalten wir aus der 


Grieicbung 


M = nÄ-{- a, 




welclie eine der Losungen von 




©-1 




deiinirt, zwei Formeln 




M = 4.ÄB~\-Ar-\-a, 




M = 4^^ + ^»-'+«, 





von denen die erstere lauter Zahlen von der Grestalt 
Am-^-l, während die letztere lauter Zahlen von der Ge- 
stalt 4»i4-3 liefert. 

Es ist iihrigeus auch nicht schwer ans der Grleichung 

M =- nA-{-a 
eine andere herzuleiten, welche zugleich die Zahlen von 
der Gestalt 4m -{-1 und 4m + 3, also alle ungeraden Zah- 
len liefern wird. Zu diesem Zwecke müssen wir die Ge- 
stalt für die Zahl n aufsuchen, welche die Summe nA + a 
in 2m-\-l verwandelt; oder, mit andern Worten, wir 
müssen. die Lösung der Congmenz 

nA-\-a = 1 (mod, 2), also nÄ = (1 — a) (mod. ä) 

aufsuchen. 

Ist a eine ungerade Zahl, so gentigt dieser Congruenz 
n = 0, folglich ist in diesem Falle die Lösung durch 

)i = (mod. 2) 
dargestellt, woraus also 

% ^ 2s 
folgt. 

Ist dagegen a gerade, so genügt m = 1 der obigen 
Congruenz (da A eine ungerade Zahl ist), folglich ist die 
Lösung durch 

n = 2.? + 1 
dargestellt. 

Trägt man diese Wcrthc in 

M = nA -\- a 

15* 



yGoosle 



228 Kap. VII, § 44. 

ein , so findet man für die Bestinunniig der ungeraden 
Zahlen 

M =2As-{- a, oder M = 2As -i- A -{- a, 
jenachdem a ungerade oder gerade ist. 

Verfährt man ebenso mit jeder der Formeln 
M = a^-^-nA; 
M = h-i-nÄ, 
welclie je eine Lösung der Grleichungen 



(f)-i;(f)^ 



darstellen, so findet man alle ungerade Zahlen, welche der 
Bedingung 

genügen, durch Formeln von der Grcatalt 

2As + a 
ausgedrückt; während alle Zahlen von der Grestalt 4m -|- 1, 
oder alle von der Gestalt 4nj -|- 3 durch Formeln , wie 

4^^ + a 
dargestellt werden. 

Das sind die Formeln durch welche auf Grund der 
oben bewiesenen Lehrsätze , alle ungeraden Theiler der 
quadratischen Form x^ -\- Äy^ bestimmt werden. 



Wir wollen die obige Auseinandersetzung durch Bei- 
spiele erläutern. 

Beispiele. 1) Es werde die Gestalt aller ungera- 
den Theiler der quadratischen Form x^ + ^^^^ gesucht. 

Indem wir bemerken, dass 19 eine Primzahl und 
zwar von der Gestalt 4» + 3 ist, so schliessen wir aus 
Lehrsatz 51, dass fiir die ungeraden Theiler M der gege- 
benen Form die Gleichung 






\19. 



yGoosle 



Kq,. Vir, 5 44. 239 

Um die Zalilen zu finden , welche dieser Gleichling 
genügen, dividiren wir 

1^ 2^ 3ä, 4^ 5S 6'^ 7^ 8^ 9^ 
durch 19 und erhalten die Reste 

1, 4, 9, W, G, 17, 11, 7, 5, 
Daraus schliessen wir , dass die Zahlen M, welche der 
Grleichung 



Q- 



genügen, durch irgend eine der Tormeln 

l^n + 1, 19h + 4, 19« + 9, 19» + 16, 19w + 6, 
19» + 17, 19« + 11, 19« -f 7, 19« + 5 

dai'gcstellt werden. Damit aber diese Formeln lauter un- 
gerade Zahlen liefern sollen, müssen wir, nach der obigen 
An seinandersetzung 

die Formel 19ii + 1 durch 2 . 19^ + 1, 
die Formel 19« + 4 durch 2 . 19^ -f 19 + 4, 
u. s. w. ersetzen. 

Auf diese "Weise erhalten wir für die ungeraden Tkci- 
ler der quadratisehen Form 

x' + l'dy^ 
die Formeln 

2.19:2+1; 2,19^^ + 19 + 4; 2.19.^ + 9; 2.19.S +19 + 16; 
2.19^ + 19 + 6; 2.19:2 + 17; 2. 19^;+ 11; 2.19^ + 7; 

2 . 19:S + 5, 
welche, reducirt und geordnet, sich in folgende verwandela : 

380 + 1, 38^ + 5, 38:3 + 7, 38s + 9, 38s + 11, 38s + 17, 
38s + 23, 38:5 + 25, 38s + 35. 



Somit haben wir die nothwendige Gestalt aller un- 
geraden Zahlen gefunden, welche Thciler einer Summe 
x^ + Idy^ sein könnten , wenn x und i/ relativ prim zu 
einander sind. 



y Google 



ä3ü Kap, VII, § li. 

Man kann die so gefmidene nothwendige Gestalt dazu 
benutzen, um die Tlieiler irgend einer gegebenen Zahl zu 
finden, wdclie durcL die Form 

x^ 4- 19)/^ 
darstellbar ist. So , z. B, mag die Zahl '2021 gegeben 
sein. Da dieselbe in der Form 

11^ + 19 . 10^ 
dargestellt werden kann, so müssen die Tbeüer derselben, 
wenn solcke existiren , durch eine der Formeln 
38^ + 1, 38^ + 5, 38^ + 7, 38^ + 9, 38:^ + 11, 38^+17, 

■äS0 + 23, 385 + 25, 38s + 35 
dargestellt werden können. 

"Wenn aber 2021 überhaupt Theüer besitzt , so muss 
jedenfalls einer derselben kleiner als 

\/2Ö3i, also kleiner als 45 
sein; diesen Theiler wollen wir eben aufsucben. 

Die erste Formel 38^ + 1 liefert einen solehon nicht ; 
da dieselbe für s = die Zahl 1 und für s = 1 die 
Zahl 39 liefert, welche kein Theiler von 2021 sein kann, 
weil letztere durch 3 nicht theilbar ist, während 39 den 
Factor 3 enthalt. Für s ^= 2 und s > 2 ergiebt aber 
die Formel 38-? + 1 Zahlen , welche 45 übertreffen. 

Wir wenden uns zur zweiten Formel 38^ + 5. Für 
z ^ nimmt dieselbe den Werth 5 an, eine Zahl, welche 
offenbar kein Theiler von 2021 sein kann. Für i( = 1 
ergiebt die Formel die Zahl 48 und indem wir versuchen 
2021 durch 43 zu dividiren, finden wir, dass 43 wirklich 
ein Theiler dieser Zahl ist. [Der zugehörige zweite Fac- 
tor ist 47, derselbe wird aus der Formel 38^ -j- 9 für 
s = 1 erhalten. Alle übrigen Formeln liefern, wie leicht 
zu sehen, gar keinen Theiler.] 



2) Als Beispiel für die Bestimmung der Theiler einer 
quadratischen Form von der Grestalt 

x^ — Ay^, 
wollen wir die Theüer der Form x'' — Ti/ aufsuchen. 



y Google 



Kap. VII, S 44. 231 

Da die Zahl 7 von der Gestalt 4« -f 3 ist, so fiaden 
wir nach Lehrsatz 54, dass diejenigen Theüer der Form 
x^—ly^, welche die Gestalt 4)k + 1 hahen, die Gleichung 



(^ 



} = '' 

während diejenigen Theiler, weiche die Gestalt 4m + 3 
hahen, die Gleichuns 



(f)^ 



-1 



befriedigen müssen. 

Wir wollen zuerst diejenigen Zahlen von der Gestalt 
4m -j- 1, welche die Gleichung 

lind diejenigen Zahlen von der Gestalt 4)» + 3, welche 
die Gleichung 



: 1 



&}- 



befriedigen, auf solchen. 

Um zunächst iiberhai^pt die Zahlen zti finden, welche 
die Gleichung 

befriedigen, dividiren wir 

P, 2S 31 
durch 7 und erhalten die Reste 

1, 4, 2. 

Folglich sind alle durch [-=-) = 1 dcfinirten Zahlen durch 
In -1-1, 7» + 4, 7w + 2 



Aus diesen Zahlen wollen wir nun solche herleiten, 
welche die Gestalt 4»» -|- 1 haben, Aus der Formel 7w -|- 1 
entsteht, nach der obigen Auseinandersetzung 
4 . 7^ -I- 7»- + 1, 



yGoosle 



232 Kap, Vn, 5 44. 

wotei r diejenige unter den Zahlen 0, 1, 2, 3 bedeutet, 
welche nach Modul 4 congruent 7(1 — 1) = ist. Es ist 
also in diesem Italic r = 0; folglich ergiebt die rormel 
7n -\- 1 fiir die Bestimmung der Zahlen, welche durch 
im + 1 darstellbar sind , die Gestalt 

4.7^ + 1 = 28s + l. 
Indem mau ebenso mit den Formeln 
7« + 4, 7h 4- 2 
verfähit, erhält man beziehungsweise 

4 . 7^ + 7>- + 4, 4 . 7^ + 7r' + 2, 
wobei r, r' diejenigen aus den Zahlen 0, 1, 2, 3 be- 
deuten, welche nach Modul 4 beziehungsweise congruent 
7(1—4) = —21; 7(1—2) = —7 sind. Man erhält also 
)-^3; / = 1, folglich ergeben die Formeln 7i» + 4, 7w +2 
iiir die Bildung von Zahlen von der ausschliesslichen Ge- 
stalt 4m 4- 1 die Formeln 

4. 7^ + 3 .7 + 4; 4 . 7,s + 7 + 2, 
oder 

282 + 25; 28^ + 9. 
Somit erhalten wir alle Zahlen von der Gestalt 4w+ 1, 
welche die Gleichung 

e?)=^ 

befriedigen , welche also etwa Theiler der quadratischen 
Form x^ — 7^* sein könnteuj in den Formeln 

28,^+1; 28^+9; 28^ + 25. 
"Was nun die Theüer der Form x^ — 7y^, welche die 
Gestalt 4jw -|- 3 haben sollen, betrifft, so werden diesel- 
ben zunächst, nach Lehrsatz 54 der Gleichung 



(?)^ 



zu genügen haben. 

Wir finden aber die Lösungen dieser Gleichung, 
dem wir, nach § 28, aus der Kcihe der Zahlen 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 



yGoosle 



Kap. VII, § i'i. 233 

diejenigen fortlassen, welche als Reste bei der Division 
von 

durch 7 erhalten werden. Wir haben also in nnserem 
Falle 1; 2, 4 wegzulassen und es bleiben die Zahlen 
3, 5, 6 zurück, welche die Losungen von 



(f)- 



-1 



in der G-estalt 

7« + 3, 7n + ö, 7n + 6 
liefern. 

Indem wir diese Lösungen so transformiren, dasa ans 
denselben nur Zahlen von der Gestalt Am -\- 3 sich erge- 
hen möchten, erhalten wir: 

4.7.s + 7)- + 3; 4.75 + 7r, + 5; 4 . 7:? + Tr^ + 6, 
wobei r, ri, r^, diejenigen aus den Zahlen 0, 1, S, 3 be- 
deuten, welche nach Modul 4 1 



7(3-3) = 



0; 7(3-5) = -14; 7(3-6) = -21 
Setzt man nmi die sich daraus erge- 



congrnent sind, 
benden Werthe 

j- = ; »■1=2; ^2 = 3 
in die letzten Formeln ein, so erhält man 
4.7^,-f 7.0-f 3; 4 .7^-f 7 . 2 -|- 5 ; 4.7.s-f7.3 + e 
also; 

28.S-I-3, 28^ + 19; 28.^ + 27. 



Stellen wir nun die Resultate zusammen, so haben 
wir alle Theiler der quadratischen Form x^—7y^, welch ^ 
die Gestalt 4m + 1 haben, in den Formeln 

28^ + 1; 284^ + 9; 28^^4-25; 
während diejenigen Theiler der genannten Form, welche 
die Gestalt 4»! -(- 3 haben , in den Formeln 



y Google 



Kap. V[r, !, 41, 

28^ + 3; 38s + 19; 28s + 27 



dargestellt sind, 



Wir haben bis jetzt gezeigt wie man die Tbeiler ei- 
ner Form x^ ± Ay^ bestimmen kann , wenn A eine von ä 
werscÄJetJewe Primzahl ist; nunmelir wollen wir zeigen, wie 
man die Theiler einer soleten Form, wenn A ^ '^A ist, 
finden kann. 

"Wir beweisen zu dem Ende folgenden Lehrsatz. 
55. Lehrsais. Alle ungeraden Theiler der quadrati- 
schen Form x^ -\- 2y'' haben die Ge- 
stalt 

8m + 1, oder 8m + 3; 
alle ungeraden Theiler der Form 

haben die Gestalt 

8m 4" 1, oder 8m~~l. 
Beweis. Ist M ein Theiler von x^ + 2y^, so wird 
x^ -\-2y^ ~0 (mod. M). 
Diese C 011 grucnz setzt aber (nacbLehrs.50) die Existenz von 

i(^ + 2 = (mod. M) 
voraus, folglich auch die Existenz der Gleichungen 

wobei a, ß, y die in M enthaltenen Pi-imzahli'acto- 

ren bedeuten. 

Wir haben nun die Frage zu beantworten: wie müs- 
sen die Primzahlen a, ß, y, . . . . beschaffen sein , damit 
diese Gleichungen befriedigt werden? 

Nach den Eigenschaften des Legendre'schen Symbols 
(— j finden wir nun 

/■— 2 



^ - © ^1) ' . 



y Google 



Kap. Vn, 5 44, 235 

während ( — ), "wie wir (§26, Zus. 11) gesellen haben, den 



Werth 












©-( 


-1) 


■" a" 




besitzt, rolglidi 


ist 








(^) = (- 


-1) 


'— 1 

"8" " 


= ( 




Setzt man darin 


liintcrcinander 


die 


überhaupt nur 


chen Wertlie 










« = 8m+l; a 


= 8m + 3; 


» 


= i 


5m + 5; a = f 


80 erhält man: 











V8m + lJ ^' Vsm + sJ " ^' 

V8«> + 5/ ' V8111 + 7/ 

Folglich ist es für die Möglichkeit der Grleiehungeji 

(=^)-^: (^)-l^(^)-l---- 
nothwendig, dass a, ß, y, . . . die G-estalt 
8m + 1, oder 8m + 3 
haben müssen. 

Daher wird 31, als Pruduct der Pactoren k, ß, y, ... 
die Gestalt 

(8TO + 1) (8m'+l) (8m"-!- 1) (8»«,+ 3) (8ms+3) 

(8m„+3) 
haben. 

Indem man sich mm dieses Produet ausgerechnet dentt 

und alle mit 8 multipKoirten Glieder vereinigt, erhält man 

Jü" = 8 P + 3". 

Ist eine gerade Zah] , so ist 3" = 1 (mod. 8) , weil 

3** = 1 (mod. 8) ist. Ist dagegen ff ungerade, so wird die 



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236 KajK VII, § 44. 

zur Potenz —^-~ erhobene vind dann mit 3 multiplicirte 

Congruenz 3^ = 1 (mod, 8) die Congriienz 

3" = 3 (mod. 8) 
ergeben. 

Somit ist 3" nach Modul 8 congnieut entweder 1 
oder 3. Daraus folgt, dass 3" entweder die Gestalt 
8A' f 1, oder 8JV+ 3 hat und daher miiss die Zahl M, 
welche durch 

M = 8P + 3" 
definirt ist, 

entweder 8(P+W) + 1, oder 8(P+iV) + 3 
sein [*)]. Dadurch ist der erste Theil des Lehrsatzes be- 



Wir gehen nun zum zweiten Theilo des Lehrsatzes 
über. 

Ist M ein Theiler der quadratischen Form x''^ — 2y^, 
so findet die Congruenz statt 
-2^ =0 ( d 31) 

[lAlhl h llhEg 

i B w i V = ß y l d f Ind ka n ! 

] 1 1 f 1 d B n K 1 P w a üb litl h 

ma h 

DZhln dC 18 |-1 18+ hlnfl 1 

E g th ml hk 
I (8 -I- 1) (8 + 1) = 8? + 1 U (8 !, + ) (8 -f 4) = +1 

m. (8wi + 1) {Snij + S) = 8« + 3. 
D. h, ffwd Zahlen von gldeher Art liefern, mit emomifof mulÜ^Ucirt, 
ein Product von dei- Gestalt 8m + 1; mei Factoren vm ungleidta- Art 
liefern dagegen em I^-oduct von, der Gestalt 8m + 3. Daraus folgt 
nnmittelbar , dass ein Frodmct von beliebig vielen Factoi'm heiäerlei 
Artm immer von der Gestalt 

8ni + l, oder 8m + 3 
sein mtd, jenaehdem die ÄmoM der darin avfiretmden Factoren von 
der Gestalt 8m + 3 eine gerade, oder ungerade ist. Hiermit ist 
der erste Theil des Satzes aiclit allein bewiesen, sondern ist auch zu- 
gleich ein Kritorium gegcboii, wann der eine oder der andere der Fälle 
eintritt.] 



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Kap. VII, § 44, 237 

Diese Congruenz setzt das Bestciieü der Congruenz 
Mä__2 = (mod. -M") 
voraiis, folgUcli die gleiclizeitige Existenz der G-leidiuiigen 

wenn cc, ß, f, . . . die in M auftretenden Primzablfacto- 
ren bedeuten. Nach Lehrsatz 32 folgt aus diesen Glei- 
chungen, dass CS, ß, y, . . . die Grestalt 

8m -[- 1, oder 8m — 1 
haben müssen; folglich wird M als Product a ß y . . . 
die Gestalt 

(8m'+l) (8m"+l) .... (8mi— 1) (Sma— 1) .... 

haben. 

In dem ausgerechneten Producte tritt aber ausser 
den Gliedern, welche Vielfache von 8 sind, entweder -|- li 
oder — 1 noch hinzu; folglich muas M[*]] entweder die 
Gestalt 8jm-|-1, oder 8m — 1 besitzen, was zu beweisen 
war. 



Nachdem wir nun gezeigt haben, wie man die linea- 
ren Theiler einer quadratischen JForm x^ ± Äy^ bestimmt, 
sowohl wenn A eine ungerade Primzahl, als auch wenn 
A = 2 ist, so bleibt uns noch übrig dasselbe für den 
allgemeinen T"all, wenn A eine zusammengesetzte Zahl ist, 
zu zeigen. 

In diesem Falle lassen sich aber die linearen Theiler 
der quadratischen Form x^ ± Ay^ am bequemsten aus den 
quadratischen Theilern derselben Form herleiten, zu deren 
Untersuchung wir nunmehr übergehen wollen. 

[*) Auch die Zahlen von der Geatalt Sni + 1 und Sm^I haben 
genau die analoge Eigenthümlichlieit , dass ein Pvoduct beliebig vieler 
Factoren beiderlei Arten die Gestalt 8m+l, oder Bm — l hat, jenacli- 
dem die Anzahl der Factoren 8m — 1 gerade, oder ungerade ist.] 



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238 Kap, Vir, § 45, 

g 45. Ueber die Eigenschaften allgemeiner quadratisciier 
Formen. 

Einen Ausdruck von der allgemeinen Grestalt 

in welcbem raan unter », 6, c irgend welche, ater jedes- 
mal als bestimmt gegeben gedachte, während man dage- 
gen unter u, v unbestimmte ganze Zahlen versteht, nennt 
man „eine aÜgefneine quadratische", oder schlechtweg „eine 
quadratische Form." 

[Indem man für u, v irgend welche Zahlen setzt, er- 
hält man jedesmal eine bestimmte Zahl durch die Form 
dargestellt. Die Gresammtheit aller Zahlen, welche auf 
diese "Weise dui*ch alle möglichen Werthe von m, v durch 
die Form überhaupt erhalten werden können, gruppirt man 
als „die durch die geg^ene Form darstellbaren Zahlen."] 

Zwei (juadratische Formen 

au" -\- 2b UV -\- c f^, 
a'u^ -\- 2b'uv -\- c'v^, 

welche die Eigenscbaft haben, dass alle Zahlen, welche 
mittels einer der Formen, durch Einsetzung aller mögli- 
chen Zahlen für m, v, darstellbar sind, auch duxch die an- 
dere, wenn auch durch andere Anordming der "Werthe 
von M, V, dargestellt werden können, wollen wir identische 
Formen nennen und werden solche gegenseitig durch ein- 
ander ersetzen. 

So z. B. sind die beiden Formen 
OM^ -f 2huv -\- cijS 
au^ — 2huv-{-cv^, 

welche sich von einander nur dm-ch das Vorzeichen des 
Coefficienten von uv unterscheiden , auch als einander 
identisch zu betrachten; denn die Zahlen, welche durch 
die eine Form für tj = «, v = ß dargestellt werden, wer- 
den durch die andere für m = — a, v = ß dargestellt. 

Daraus geht hervor, dass das Vorzeichen des Coeffi- 
cienten f> in einer Form 



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Kap. VII, § 45. 239 

aw'-\- 2huv -\- cv'^ 
beliebig geändert werden darf, so dass man diesen Coeffi- 
eienten nötbigenfalls in eine positive Zahl verwandeln 
kann ; wir werden ihn daher immer positiv voraussetzen. 
Die ZabI h^—ac wollen wir, nach G-auss, ihrer wich- 
tigen Rolle wegen, welche wir bald kennen lernen werden, 
die Determinante der «quadratischen Form 

au^ -\- 2huv 4- GV^ 
nennen. 

So ist z.B. für die Form Sm^ + lOuv + 7v^ die De- 
terminante B^ — 3.7 = 4; von 3m^+ 10uv—7v^ ist die 
Determinante 5^ + 3 . 7 = 46. 

Zwei Formen, welche gleiche Determinante haben, 
wollen wir ähnliche Formen nennen. 
So z. B. werden die Formen 

3w^+10MJ!4-7«^ 

ähnliche Formen sein, weil die Determinante der erstem 
5^— 3 . 7^4 und die der letzteren 1^ + 3 . 1 ^ 4. 

Sind wir nun so wegen der Benennung übereinge- 
kommen, so wollen wir einen Lehrsatz beweisen, welcher, 
seiner Anwendbarkeit willen, sehr wichtig ist, 
66. Lehrsatz. Eine Form 

au^ 4* 2buv 4- cv^, 
in welcher der Coefßcient 2b von uv 
entweder a , oder c übertrifft , hann 
immer in eine andere, üir ährUicke, 
Form 

aV+ 2b'uv + c'v^ 
transfomiirt werden, in welcher 26' 
weder a', noch c' üherlreffen ivird.(^) 
Beweis. Wir wollen zunächst zeigen, wie man eine 
Form 

au^-\- 2buv + c«^, 

(*) Wii' verstehen hier das UebeHreffen in Bezug auf die Zalilen- 
werthe von a, b, e, »', &', c\ ohne auf die Vovzeicben dieser Zahlen zu 
acliten. 



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240 Kap. Vn, i 45. 

in welcher 26 > a, oder 2^ > c in eine andere Form 

transfoi-mircn kann , welclie letztere der ursprimglicben 
Form äludicb ist und dabei der Zahlwerth von 6^ kleiner 
als der von b wird. Da nun die Verkleinerung des Zahl- 
wertbes einer Zabl nicbt über Null binausgeben kann, so 
werden wir bei fortfahrender Verkleinerung von b einmal 
zu einer Form a'u^ -|- 2b'uv -\- c'v^ gelangen müssen, in 
welcher eine weitere Verkleinerung von h' nicht mehr 
mögbch ist; es wird dann folglicb weder 26' > a', noch 
26' :> c' möglich sein. 

TJm die form au^ -{- 2buv -\- cv^ in a^u^-j-'ii^iim-^-Cf^v^ 
so zu transformiren, dass !>„ kleiner als b werde, mag a 
die kleinere der beiden Zahlen a, c sein (falls a, c einan- 
der gleich sind, kann jede von ihnen ohne Unterschied 
gewählt werden) und mag diejenige ganze Zahl, welche 

von — nicht nm mehr als um ^ differirt, mit m bezeich- 
net werden. Man wird offenbar für m diejenige ganze 
Zahl zu setzen haben, welche durch die Division von b 
diircb a erhalten wird, falls der verbleibende Best nicht 
grösser als ^ a wird ; im entgegengesetzten Falle wird 
man für m die um 1 vermehrte Zahl setzen, welche bei 
der Division von b durch a erbalten wird. Setzen wir 
nun in au^ + 26iro -f- cv^ für u den Werth aus 

u + mv~ü 
ein, so erhalten wir 

a{U-mvy + 2b{U-mv)v + cv^, 
oder 

«(7^4-2(6-«™) ü» + (c-96m+aOT^)«^. 

Man kann sich leicht überzeugen , dass diese Form 
der ursprünglichen au^ -\- 2buv + lyv^ ähnHoh ist und, dass 
der Coefficient von TIv kleiner als 26 wird. Denn die 
Determinante der tranaformirten Form ist 

(6— a»w)^—a(c— 26m -1- am*} = h^—ac^ 
also gleich der Determinante der ursprünglichen Form. 



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Kap- VII, § 45. 241 

Andererseits wird 

2(6~flm) = 2« (-- — m), 

da (— — m), nact Voraussetzung -J niclit übertrifft, eine 
Zahl seiu, welche « nicht übertreffen kann, folglich blei- 
ner als 26 sein muss ; weil wir ja von einer Form 

au^ -\- 2huv -\~ cv'^ 
handeln, in welcher 2fe eine der Zahlen «, oder c über- 
trifft und dabei haben wir a gleich c, oder kleiner ala c 
angenommen. 

folglich wird wirklich der mittlere Coefiicient der 
erhaltenen Form 

aTP~^2ib-am) Uv-\-{c~nmi^am'')v'' 
kleiner sein als der entsprechende Coefiicient in der ur- 
sprünglichen Form 

au^ 4-26m«+ cv^- 
Uebertrifft der mittlere Coefficient der transformirten 
Form einen der Coefficienten ihrer änsaem Glieder, so 
werden wir auch diese Form vom Neuen ebenso transi'or- 
miren, wie wir die ursprüngliche 

au^ -|- 2buv -4- cv^ 
transformirt haben und werden solche Transformationen 
solange wiederholen, bis wir zu einei: Form gelangen, 
bei welcher eine derartige Transformation nicht weiter 
möglich ist; der mittlere Coefficient dieser letzten Form 
wird also keinen der äussern Coefficienten übertreffen, 

[Man braucht kaum zu bemerken , dass die Anzahl 
der dabei nöthigen Transformationen immer eine endliche 
sein wird , da der mittlere Coefficient , der als endliche 
ganze Zahl vorausgesetzt war, durch jede Transformation 
offenbar immer um eine ganze Zahl kleiner wird und un- 
ter Null nicht herabsinken kann, weil nach obiger An- 
merkung es sich hier immer um das Kleinei-werden des 
Zahlwerthes, ohne Rücksicht auf das Vorzeichen, handelt.] 



y Google 



242 Kap. VIT, § 4,^. 

Beispiel. Es mag die Form 

gegeben sein, deren mittlerer Coefficient beide äusseren 
Coefficienten übertrifft und deren kleinster Coeffieient 
3 ist. 

Um diese Form zu trausformiren , suchen wir dieje- 
nige ganze Zatl, die von | nicht um mehr als ^ differirt. 
Diese Zahl ist offenbar 2 und wir setzen daher 

M + 2^' = U. 
Indem wir daraus den "Werth von u in die gegebene Form 
einsetzen, erhalten wir 

3(Z7— 2(,f + 10(ü—2v)v + 6pS 
oder, ausgerechnet und nach ü und v geordnet : 

In dieser Form übertrifft der mittlere Coefficient kei- 
nen der äusseren Coefficienten ; sonst würden wir vom 
Neuen tranaformiren. 



Mit Hülfe des ebenbewiesenen Lehrsatzes sind wir 
nun im Stande folgende Lehrsätze zu beweisen. 

67. Lehrsats. Ist die Determinante einer Form 

eine positive Zahl D, so Jcann die 
Form auf eine solche 

a,u^^U,uv~cy 
gebracht iverden, wobei iw 

die Zahlen a„ c^, positiv und nicht 
Meiner als 25,, während 6, nicht grö- 
sser als V/-. ist. 

Beweis. Nach dem vorhergehenden Lehrsatze kann 
die Form au'-' + 2buv -\- cv^ in eine 

ay +■ 2h,m + r.y 



yGoosle 



Kap. VII, § 45. 243 

transformirt werden , in welcher 2 b^ im Zalilwerth weder 
ffl, , noch c„ übertrifft; datei wird die Determinante der 
transformirten Form, "welche der ursprüngliclien ähnlich 
sein soll, denselben Werth D haben; folglioli ist 
hl — a,c^ = D. 

Ist aber, wie wir in unserem Lehrsatze voraussetzen, 
D > 0, ao sagt die letzte Gleiehnng aus, dass die Diffe- 
renz 

h\~a,c„ 

eine positive Zahl ist, was nicht möglich sein kann, wenn 
a, und c„ gleiches Vorzeichen haben ; weil dann das Pro- 
duct (ij e„ eine positive Zahl wird, welche b] übertrifft, da 
der Zahlwerth von «, und c„ nicht Meiner als 26, war. 
Somit müssen die äussern Coefflcienten der Form 

entgegengesetzte Vorzeichen haben. Nehmen wir an, das 
Glied a,u^ sei dasjenige, welches das Vorzeichen -|- hat 
und somit hat c„v^ das Vorzeichen — . Bezeichnen wir 
mit c, den Zahlwerth von c„, so erhalten wir c^ = — c,, 
wodurch die Form 

ay 4- 2h,uv + cy 
mit der Determinante 

bl- — «j C(, = D 
in die Form 

mit der Determinante 

übergeht. Nach der Beschaffenheit der Coefflcienten 

ist aber 

«j nicht < 2^1 , c, nicht -< 2,b, 
wodurch aus der Gleichung 

h\ + a,c, = B 
sich ergiebt ; 

B nicht <: b\-{- 2b, . '2b, ; d. h. iJ nicht <: ^b], 
16* 



yGoosle 



244 


Kap. TU, 


S 45. 


folglich 








b, nicht >- 


\/!- 


Die Coeffideiiteii der Form 






0,«" + 2i,w-c, 



welche duccb Transformation aus dör gegebenen i"orm 

hervorgegangen ist , unterliegen also gleichzeitig den Be- 
dingungen 

h\ -\- OjCj = D] ci, nicht < 26^; c^ nicht < 26j 
und 



b nicht 



Vf. 



was zu beweisen war. 

58. LeJtr sats. Ist die Determinante einer Form 
au^ -\- 2huv -j- cv^ 
eine negative Zahl — D, so kann die 
Form auf eine solche 

a^u^ 4- 2&,Mw + c,v^ 
gebracht werden, wobei in 
a,c,~b\ = D 
a, und e, gleiches Vorsdehen haben 
und nicht Meiner als 2 &, sind , wäh- 
rend fij die Grösse 

V'l 

nicM übertrifft. 
Betveis. Wir haben bereits gesehen, dass die Form 
ati^ 4- 2btiv -}- ev^ 
in eine andere 

tranaformirt werden tann, wobei 2ö,, weder «j, noch c, 
übertreffen wird; dabei hat die Determinant« der trans- 
formirten l'orm, da letztere der ursprünglichen ähnlieh ist, 



y Google 



Kap, VII. g 45. 245 

denselben "Werth — D wie die Determinante der m'sprüng- 
lichen Eorm; folglich ist 

fc* — a,Ci = — J>. 
Diese G-leiclmng, in welcher D eine positive Zahl ist, 
setzt aber voraus, dass a, und e, gleiches Vorzeichen ha- 
ben. Indem wir nun berücksichtigen, dass weder a^ noch 
c, kleineren Zahlwerth als 25^ besitzen, leiten wir aus 
der letztgenannten Gleichung die Bedingung 

'ih,.U,—h\ nicht >- B, 
oder 

3f*5 nicht > B 
her; es ist also 

h, nicht > Sj^. 

Nachdem wir den Lehrsatz bewiesen haben, constati- 
ren wir noch folgenden 

Zusats. In dem vorliegenden Falle Mnn die Form 

nur dann eine positive Zahl diwstcllen, wenn 
CS, positiv ist. 
Denn der Ausdruck a^ + 2h,uv + c^ kann so ge- 
schrieben werden: 

also auch 



a, 
welcher Äusdnick, auf Grund von 

K—ac, = -D 



i, auf Grund von 

übergeht. 

Ist nun ff, negativ , so kann dieser Ausdruck keinen 
positiven "Wcrth annehmen, da D > und die Quadrate 

( M "1 — -v) , { — ) keine negativen "Werthe zulassen. 



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246 Kiip. Vn, g 'J6. 

§ 46. Ueber die Darstellbarkeit der Theller von 

durcli quadratische Formen. 

Nackdem wir dli; Haupteigcnscliat'ten der qttadi-ati- 
sohen Formen, welche wir in der Folge nothwendig brau- 
chen, gezeigt haben, wenden wir uns wiederum zn den 
Theilem der Form von der Gestalt x^ ± Ay^ und wollen 
folgenden Lehrsatz beweisen. 

59. Lehrsatß. Jeder Tkeüer einer Form 

'kann immer durch eine quadratische 

Form dargestellt tverden, tvelche die 

Determinante d besitzt. 

Bete eis. Sei M ein Theiler der Form x^ — dy^ und 

Q mag den Quotienten bei der Division von x^^äy^ durch 

M darstellen, man eihdlt dann 

7«~ %2 ^ M .Q. 
Es mu«hen liiei y und Q Zahlen sein, welche relativ 
prim zu emander smd, weU, nach dieser Gleichung jede 
Prunzahl, welche zugleich y xmd Q theUen würde, zugleich 
auch X theilen muaste Letzteres ist aber unmöglich, da 
wir m dei Form x" — dij^ immer x und y als relativ prim 
zu emandpi voiaussetzen. 

Ist aber y relativ prim zu Q, so wird die Congruenz 
yt = X (mod, Q) 
eine Lösung besitzen; es wird sich also immer eine Zahl 
( derart bestimmen lassen, dass die Differenz yt — x durch 
Q theübar werde. Setzten wir den Quotienten dieser Di- 
vision gleich u, so erhalten wir 

woraus sich ergiebt 

X = yt — uQ. 
Setzt man diesen Werth von x in die obige G-leichung 
x^ — dy'' = M(i 



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Kap. VII, § 46. 247 

ein, so erhält man 

[yt — tiQY — dy^ = MQ, 
oder 

QV--^Qytu^{p-d)y'' = MQ. 
Nach Division durch Q erhält man ai\s dieser Glei- 
chung 

wobei t^ — d durch Q theilbar sein muss, weil diese Glei- 
chung die Theilbarkeit von {t^ — d)y^ durch Q offenbar 
voraussetzt, während p relativ prim zu Q ist. 

Aus dieser Gleichung ersehen wir , dass der Theiler 
M von x^ — dy^ durch die quadratische Form 

Jf- Qu'—2tus + '-=^y' 

daj'gestellt ist, deren Coefficienten 

sind l^nd somit ist die Determinante dieser quadratischen 
Form 

was zu beweisen war. 

Mit Hülfe dieses Lehrsatzes und Berücksichtigung 
der oben bewiesenen Eigenschaften der quadratischen For- 
men kann man leicht folgende Lehrsätze beweisea, 

60, Lehrsatz. Ein Theüer von x^—Dy^ hann, wenn 
D :> 0, durch eine Form 

öM^ + 2 huv — cv^ 
dargestellt werden, in welcher 

h'-\-ac = D, 
die Zahlen a, c positiv und ndcht Mei- 
ner als 2b sind, während h die Zahl 

nicht ühertrijft. 



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248 Kap. Vn, S 4fi. 

Betveis. Nach dem vor hergebenden Lehrsatze kann 
man jeden Theiler von x'—Dj/^ durch eine Form 

au^ + 2 hiv -\- CD^ 
darstellen, deren Determinante 

h'^ — m = D 
ist. Nun kann eine solche Form, naeh Lehrsatz 67, im- 
mer auf die Gestalt 

au^ -\- 'ihuv — cv'" 
gebracht werden, in welcher a, h, c der G-leichung 

}>•' -\-ac ^ D 
genügen, während die Zahlen «> c positiv und nicht klei- 
ner als 26 sind und b nicht die Zahl i/ _ übertrifft. So- 
mit ist unser Lehrsatz bewiesen. 

61. Lehrsatz. Ein Theiler von x^ -\- Dif kann, 
wenn D >- 0, äuareh eine Form 

au^ -\- %huv -\- OT^ 
dargestellt werden, in tvelcher 

die Zahlen a, c positiv und nicht klei- 
ner als 2b, u'okrend h die Zahl 

. ^-^ 

nicht iibertrifft. 
Betveis. Nach Lehrsatz 59, kann jeder Theiler von 

x^ + Dy^ 

durch eine quadratische Form 

«M^ + 2lmv + cv"- 
dargestellt werden, deren Determüiante — D ist. Eine 
solche Form kann aber, nach Lehrsatz 58, dahin gebracht 
werden, dass zugleich mit der Bedingung ac — b^ = D 
auch die Bedingungen erfüllt werden, dass der Zahlwerth 

von a, c nicht kleiner als 2b, während b die Zahl il 
nicht übertrifft. Dabei müssen a, c nach demselben Lehr- 



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Kap VII, § 46, 249 

Satze, gleiclies Voi'zeiolieii lialjeii ; dieses Torzeichen l^ann 
aber in unserem Palle nicht — sein, da dann die Form 

«M^ + 2hm + (w^, 
nach Zusatz zu Lebrs, 58,- keine positiven Werthe an- 
nehmen könnte. Somit ist unser Lehrsatz bewiesen. 

Auf Grund der eben bewiesenen Lehrsätze kann man 
nun zeigen durch welche ijuadratische Formen alle Thci- 
ler einer gegebenen Form 

sc' ± Bf 
dargestellt werden können. Einige Beispiele sollen dieses 
näher erläutern. 

Beispiele. 1) Es sei die Form x^ -\~ y'^ gegeben. 
Nach Lehrsatz 61 werden die Theiler dieser Form durch 
quadratische Formen von der Gestalt 
au'' + 2buv -\- cv^ 
dargestellt werden, wobei ac — h' = 1, während a und c 
positiv und nicht kleiner als 2b und b nicht grösser als V/ -^ " 

Aus der letzten Bedingung folgt ö := und aus der 
Gleichung ac — h^ = 1 ergiebt sich dann ac = 1, woraus 
für a und c, welche beide > sein müssen, folgt 
« = 1; c = 1. 
Folglich erhalten wir den Satz : 

Alle Theiler der Form x^ -\- j^', luerden durch die 
Form u^ + v' i 



2) Es sei die gegebene Form x^ -j- 2»/^ Auf Grund 
desselben Lehrsatzes 61 können die Theiler dieser Form 
durch Formeu von der Gestalt 

au' + 2l)uv -\- cv^ 
dargestellt werden, wobei ac — h' = % während a, c po- 
sitiv und nicht kleiner als 26 und 6 nicht grösser als y -ö-- 

Aus der Bedingung h nicht > V -5- folgt b —■= 0; 



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250 Kap. VIT, § 46. 

dann geht ac—b^ -■■= 2 in ac = 2 über. Da nun a, c 
poaiti-p sein müssen, so kann die letzte Grleichting nur 
entweder für a = 2 ; c = 1, oder a ^ 1; c ^= 2 er- 
füllt werden; der ersten Ännalime entspricht die Form 
2m^ + v^, der zweiten m^ ■-{- 2v^. Diese beiden Formen 
sind aber einander identisch und somit haben wir den 
Satz: 

Alle Tkdler der Form x^ -\- %ß werden durch eine 

Form u^ -j- 2v^ dargestellt. 



In ganz analoger "Weise beweist man folgende Sätze : 

3) ÄUe Theüer der Form x^ — y^ werden durch die 
Form u^—v^ dargestellt. 

4) Alle Theiler der Form x^ — 2y^ werden, entweder 
durch M^— 2ü^, oder durch die Form 2m^ — v^ da/r- 



6) Alle Theüer von x^ — Sj/^ werden enttveder durch 

u^ — 3v^ oder durch Zu'' — «^ dargestelU. 
6) Als etwas complicirfceres Beispiel mag die Form 
x^ — 21y^ dienen. 
Nach Lehrsatz 60 werden die Theiler dieser Form durch 
quadratische Formen von der Grestalt 

au'^ 4- ^^uv — ■cv'^ 
dargestellt, in welcher a, b, c positiv und die Bedingungen 



\/|^ 



b nicht > V ■ fi ■ ; ae + &' 

erfüllen. 

Die erste Bedingung definirt alle möglichen Wcrthe 
von i ; es kann nämlich b nur einen der drei Werthe 

6 = 0, 1, 2 

haben. Indem man nun in ac -{- b^ = 21 für h nach ein- 
ander die drei möglichen Werthe setzt und berücksichtigt, 
dass a, e grösser als und nicht kleiner als 2ä sind, fln- 
det man alle möglichen "Werthe, welche u,h,c in derjenigen 



y Google 



Kap. VU, g 46. 251 

i'orm au^ -]- 2huv—<;v^ annelimen können, welclie die Thei- 
1er von x' — ^ly^ darstellen soll. 

Setzen wir z. B. zunächst, ö = 0, so folgt ac = 21, 
welche Bedingung nur durch folgende "Wertliepaare erfüllt 
werden kann : 

«=.1 I a = 3 I a = 7 1 «==21 

welche alle zugleich die Bedingungen 

u vind c >- und nicht <; 2&, wo ^ = ist, 
erfüllen, 

Setzen wir Ö =^ 1, so erhalten wir «c + 1 = 21, 
also ac = 20, woraus die Werthepaare für a, c 

a = 1 \a = 2[a = 4ja = 5|ß=10la = 20 
c^2o|c = lo!c-=5|c = 4|c= 2|c= 1 
folgen. 

Erstes und letztes Werthepaar genügen aher nicht 
der Bedingrmg a, c nicht < 2?!, da 6 = 1 ist. Folglich 
bleiben für f> = 1 nur die Möglichkeiten 

a= 2 i M = 4 : a=5 1 « = 10 
c=:^10 I c — & I c — 4 I c, == 2. 

Setzen wir endlich 1} = 2, so erhalten wir «c = 17, 
folglich entweder es = 1; c = 17, oder « ^ 17; c = 1. 
Beide Werthepaare sind aber unraöglich, da hier 2t = 4 
in der ersten Annahme a, in der zweiten c übertreffen 
würde. 

Somit müssen alle Theüer von x^ — 21«/'' durch irgend 
welche der folgenden Formen sich darstellen lassen ; 
m2— 21^3; 3„a_7j,ä. 7it3_3^2. 21((*— ?;=; 

%i^ + 2m» — lOü^ ; 4m* + %w — 5w^ ; 5«^ -|- 2h» — 4»" ; 
10m* + 2mjj — 2i>^ 
Da die erste und die letzte in der zweiten Reibe: 
2m^ + 2mw — lOu*; lOw* -|- 2«?: — 2«* nur gerade Zahlen 
darstellen können, so sieht man zugleich, dass alle unge- 
raden Tbeilcr von 0^^—21^'' nur durch die Formen 



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252 



Kap, VII, § -16. 



4w^ -{- 2uv — 5v^, öm'* 4" 2m«) — 4»^ 
dargestellt werden können. 

7) Es sei die I'orm x' + 26^'' gegeben. 
Die Theiler dieser Form werden, uacli Lehrsatz 61, 
dnreli quadratisohe Formen 

au^ ■-[- 2buv -j- cv' 
dargestellt, wobei 

& nickt :> y -^ ; ac — h''- = 26 ; a und c nickt < 26. 

Die erste Ungleicbimg zeigt, dass h nnr einen der 
drei Werthe 

6 = 0, 1, 2 
kaben kann. 

Setzt man 6 = 0, so ergeben sieb für ö, c die Be- 
dingungen 

MC -= 26 ; « und c nickt < 0. 

Diese Bodingimgen fükren auf eine der Annahmen : 

a =^ 1 I a = 2 I a-=13 | « = 26 

c = 26 I c = 13 I c =- 2 i c = 1, 

welcke die Formen 

M^ + 26«^; 2i[^ 4- 13v^; la^ä + 2»%- 26«^ + j;'^ 
ergeben. Von diesen sind aber die erste und die letzte 
unter einander, ebenso wie die beiden mittleren Formen 
nutereinander identisch. Es bleiben also für 6 = nur 
die zwei versckiedenen Formen 

M^+ 26i;^ 2«(^+ 13i)ä 
möglick. 

Setzt man h =^ 1, so erhält man für a, c die Bedin- 
gungen ; 

ac = 27; a und c nicht <: 2. 
Die erste Bedingung erfüllen: 

a = 1 1 a = 3 j fl = 9 I a = 27 
c = 27 I c = 9 1 c = 3 ! c = 1. 



yGoosle 



Kap. VII, § de. 25ff 

Die erste Annalinie genügt aber nicht der .Bedingung 

a nicM < 2, 
während die letzte Annahme der Bedingung 

c nicht -< 2 
nicht genügt ; und ea bleiben somit für i = 1 nur die 
beiden Formen 

3m* + 2m + ^v^, W + 2uv + 3»^ 
welche übrigens einander identisch sind. 

Setzt man endlieh 6 = 2, so ergiebt sich 
«c ^ 30 ; a und c nicht < 4. 
Die Gleichung ac = 30 befriedigen die Annahmen 
a= llffl= 2|ri= 3ja=5|ffl = 61a = 10 
c = 30|c = 15|c = 10lc — 6!c==5lc= 3 
ß =^ 15 I (i = 3Ü 
c= 2 I c=- 1. 
Indess genügen die drei ersten nicht der ßedingxing 
a nicht < 4, 
während die drei letzten der Bedingung 

c nicht < 4 
nicht genügen. Es bleiben also nur die beiden mittelsten 
Annahmen mijglieh, welche die beiden einander identischen 
Formen 

5m^ -f 4fw + 6»^; 6m^ + 4m?' + ^«»^ 
ergeben. 

Somit erhält man im G-anzen nur die vier verschiede- 
nen quadratischen Formen 

M^ + 26f'; 2!(^+ 13i>^ 
3m^ + 2uv -\- 9»^ ; Bi*^ -]- 4«;; + 6ü^ 
übrig, dui'ch welche man die Theiler der Form 

x^ + 2%'^ 
darstellen könnte. 



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254 Kap. VII, I 46. 

So haben wir auf G-rmid der oben bewiesenen Lehr- 
sätze gezeigt, wie man alle quadratische I"ormen herleiten 
kann, welche die Theiler von 

x'^ ± Dy^ 
darstellen. 

Daraus folgert man in Bezug auf die Anflösung einer 
Grleichung von der Grestalt 

ax^ + 2bxy + «/^ = //" 

viele merkwürdige Sätze , welche einen Gegenstand der 
Unter suehung für die Theorie der unbestimmten Glei- 
chungen höheren Grades ausmachen. 

Hier wollen wir die quadratischen Formen der Thei- 
ler von 

x'< ± By'' 
dazu benutzen, nm die linearen Thoiler zu bestimmen. 

"Wie man die linearen Theiler der quadratischen Form 
X' ± Bf 
bestimmt, wenn D eine Primzahl ist, haben wir oben be- 
reits gezeigt; jetzt wollen wir nun zeigen, wie man die 
Theiler derselben Form bei beliebiger Bedeutung von B 
finden kann, gleichviel, ob B eine Primzahl, oder zusam- 
mengesetzte Zahl ist. 

Wir nehmen dabei an es sei Z> nicht durch das Qua- 
drat irgend einer Zahl theilbar; eine Annahme welche 
jedoch keine Beschränkung der Allgemeinheit ausmacht. 
Denn wenn B = B^h^ ist, so verwandelt sich die Form 



■-By' 



folglich in 



: D, h^y^ = a;^ ± D, {Icyf, 
■■?±B,y\, 



wobei j/j = hy gesetzt wurde. Auf diese "Weise können 
wir, bei der Betrachtung der Theiler einer Form 



die q^uadratischen Factorcn von B weglassen; 

werden uns für die Untersuchung nur solche Formen 

3^^ ± By'^ übrig bleiben, in welchen 7) nicht durch das 



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Kap, VII, S 4C. 47. 255 

Quadrat irgeBd einer ZaLl theilbar ist. Mit dör Auf- 
suchung der Theiler aolclier Formen wollen wir uns nun 
mehr \ 



§ 47. lieber die Bestimmung der linearen Tlieiler einer Form 
x^ + Dy^ mit Hülfe quadratischer Formen. 

Bevor wir zeigen werden, wie man aus den quadrati- 
schen Formen der Theiler die linearen Theiler herleiten 
kann, wollen wir noch folgende Lehrsätze in Bezug auf 
eine quadratische Form au" + 2fi««> -t- c^ beweisen, 

62. Lehrsatz. Ist die Determinamte d einer guaära- 
tischen Form 

eine Zahl, welclie durch kein Quadrat 
theilbar isi , so kann wun eine Zahl 
u derart btshmmcn, das'^ 

ffl -]^ 2iK + c«^ 
/SU d relativ prim wird. 
Beweis. Es sei (o der grösste gemeinsame Theiler 
von c und ä; diese Zahl to kann keinen quadratischen 
Factor enthalten, da ä durch kein Quadrat theilbar ist. 
Aus der Bedeutung von d erhalten wir 

V^ — ac = d, 
woraus folgt, dass co, als gemeinsamer Theiler von c und 
d, ein TheUer von i^^ und somit, nach Lehrsatz 6, auch 
ein Theiler von l> sein rauss. 

Wir woUen nun beweisen, dass 

1) eine Zahl a gefunden werden kann, für welche 



relativ prim nu — wird: 
I eine solche Zahl et macht 

a -f 26« 4- CK* 
relativ prim eit d. 



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256 Kap. VII, § 47. 

Yon der Riclitigkeit der ersten Behauptung überzeiigt 
man aich leicht, wenn man bemerkt, dass wenn h durch 
den grösaten gemeinsamen Theiler <o von c und d theilbar 
ist, naoh Lehrsatz 19, eine Zahl a gefunden werden kann, 
welche die Congruenz 

CK + & = 0) {mod. d) 
befriedigt, welche die Theilbarkeit von 
Ca -\- h — m 

durch d aussagt. Bezeichnet man den Quotienten dieser 
Division mit N, so erhält man 



woraus folgt; 

in dieser Form ist es augenscheinlich, dass die Zahlen 

ca + b , d 
und — 

relativ Prim zu einander sind. 

Um die zweite Behauptung zu beweisen, bemerken 
wir, dass der Ausdruck 

a -{- 2hK -^ ca^ 
so geschrieben werden kann: 

/Ctt -\- (*Y ^'^ — '^'^ 

und, mit Benutzung von h'^ — ac = d, auch so: 
r „ (ffl+iY_£| : £ 
Es ist nun die Zahl ä als Prodnct zweier Factoren 



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Kap. VII, S 47. 257 

darstellbar, welche keinen gemeinsameu Tlieiler haben 
können, da d durch kein Quadrat theilhar ist. Dabei ist 
— , auf Grrund der oben bestimmten 

h 
d 



T heiler mit 

fca + &Y <* 

besitzen kann; weil die in m enthaltenen Primzahlfactoren 

Theiler von ca{ — -^) und keine Theiler von —, 

während die in - enthaltenen Primzahlfactoren, umgekehrt, 

Theiler von — und keine Theiler von to ( ) 

w V 0) / 

sind. Somit ist ai 1 und folglich auch 

-yS-/-f- _ » + 2S« + a' 

03 

relativ prim sowohl zu — , als auch zu cj und daher zu 

'^ et 

ihi'em Produote d, was wir beweisen wollten. 



Beispiel. Wir wollen eine Zahl k linden, für welche 
die Zahl 

3 + 2.21a + 217ß* 
relativ prim wird zu 

2P — 3 .217 = —210. 
Indem wir bemerken , dass 7 der grösste gemeinsame 
Theiler von 217 und 210 ist, erhalten wir für die Be- 
stimmung von a die Bedingung, dass 

217« + 21 _ 3;i„ ^ 3 relativ prim zu -J- = 30 



yGoosle 



258 Kap, VIT, § 47, 

werde. Dieser Bedingung kann man , wie wir ] 
haben, dnrch eine Lösung der CongTuenz 
217« + 21-7 (mod. 210) 



Indesa kann man in diesem Falle, wie auch in den 
meisten PäUen überhaupt, die Zahl k leicht durch Pro- 
bieren verschiedener Zahlen finden. So finden wir z. B. 
dass K =^ ^ — 2 den Ausdruck 31ce + 3 in eine Zahl ver- 
wandelt, welche relativ prim zu 30 ist und somit wird 
auch 

3 + 2 . 21ffi + 217«'^ für a — —2, 
relativ prim zu 210. 



Auf Grund des bewiesenen Lehrsatzes kann man so- 
mit für jede c[naclratische Form 

au^ -\- 2iuv 4- Gv^ 
eine Zahl a finden, welche den Ausdruck 

a-\-2ba-\- ca^ 
relativ prim zu der Determinante der Form macht. In- 
dem wir die Zahl a so bestimmen, sind wir nun im Stande : 
durch die Substitution 

v — m =- V 
die Form 

au'^ -\- 26m!j 4" cv^ 
in eine andere 

(ffl + 25« + ca'')u'^2ily + «t)uF-j- cP 
^u verwandeln, in tvehher (?«■ Coefficimi des ersten 
Gliedes 

a -\- 2lia -}- ccc' 
relativ prim eu der Detet-tninante d ist. 
Tragen wir, in der That, anstatt v den Werth 



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Käj,. vu, § 47. as9 

ein, so erhalten wir : 

me + 2lu{au. + F) + c(au -{- V)" = 

(a + 26te + c^)u' + 2(& + ttc)MF+ cF^ 

wobei der Coeffieient (o -f 2öce + ca') des ersten Gliedes, 

nach Voravissetzung, relativ prim zur Determinante d ist. 



Beispiel, Um 

3w' + ä.2lM» + 217)j= 
in eine Form zu verwandeln, in welcher der Coeffieient 
des ersten trliedes relativ prim zu ihrer Determinante 210 
werde, bestimmen wir a so, dass 

3 + 2. 21k + 217 k' 
zu 210 relativ prim werde. Wie wir oben gesehen haben 
= — 2 dieser Bedingung. Wir brauchen also 



zu substituiren , also 

V = F— 2m 
in 

3m^ +2 .2lMi; + 217D= 

zu setzen. Wir erhalten dadurch 

Zu' + 2 . 21m(F— 2«!) + 217(F--2m)= = 
787m^— 826mF+217P 
Auf diese Weise haben wir die Form 
3m' + 2 .21i»; + äl7«' 
allerdings in eine complicirtere 

787m' — 826 it7+ 217 P 
verwandelt. Indesa hat die letztere Form den Vorzug, 
dass der CoSfficient von m* relativ prim zur Determinante 
ist. Diese Eigenschaft wird uns zur ErleiehteruDg der 
Bestimmung der linearen Theiler einer Form dienen, in- 
dem wir jetzt von jeder quadratischen Form voraussetzen 
können, dass der Coeffieient des ersten Gliedes relativ 
prim zu ihrer Determinante ist. Unter dieser Voraus- 
17* 



yGoosle 



Setzung wollen wir folgende Lehrsätze in Bezug anf qua- 
dratische formen beweisen, 

63. Lehrsat 0. Ist in einer quadratischen Form 
au' ~\- 2 buv + cv'' 
der Coeffhcient a des ersten Gliedes 
relativ pim sur Determinante 

b^ — ac = d, 
so kann man eine Zahl l bestimmen, 
welche dte Gongruenn 

ow°-}- '^v.v -)- cv' s aV-\' 2hl -{- c (mod. d) 
befrieätgt. 
Beweis. Ist a relativ prim zu d, so kann man die 
Congraenz 

a{au' -\- 2huv + c»") = a(«Z'+ Si? + c) (mod. d) 

durch a dividiren , so dass jede Zahl , weiche diese Con- 
gruenz befriedigt, auch unsere gesuchte Congruenz 
au' + 26Mii + cv^ = aV -\- 2bl -\~ e (mod. d) 
befriedigen muss. Die zu Hülfe genommene Congruenz 

a (au' -j- 2 buv -\- cv') 3 a (oJ' -\- 2bl -\- e) (mod. d) 
kann man aber so schreiben: 

(au + bvf — (6* — ac)v'' ~ (al ~\- bf — (b^ — ac) (mod. d) 
und diese geht, mit Berücksichtigung von, 

6" — ac =^ d, 
in die Congruenz 

(au + bvj' = (al + bf (mod. d) 
über, welche befriedigt wird, wenn 

al -\- h = au -j- bv (mod. d) 

ist. Die letzte Congruenz ersten Grades in Bezug auf l 
hat aber immer eine Lösung, weil der Coefficicnt a von l 
relativ prim zum Modul d ist. Dadurch ist der Lehrsatz 
bewiesen. 



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Kap, VIT, 5 47. 261 

Auf örund dieses Lehrsatzes schliessea wir, dass 
wenn für die verschiedenen Werthe von l die zugehörigen 
Werthe von aV -\~ 2hl -\- c nach Modul d den Zahlen 

'", , y^) - - - , »"« 
congruent sind, so sind denselben Zahlen auch die ver- 
schiedenen Werthe von au^ -\- 2huv -\- cv' coiigi'uent. Die- 
ses heisst doch aber so viel, als : jede durch diese quadi'a- 
tische Form darstellbare Zahl muss durch eine der linearen 
Formen 

dm -f- ^"1 j ^^''^ ■-\- 1\: ■ ■ ■ > i^'" + *■« 
darstellbar sein, wobei m eine beliebige Zahl Ist. 

Was nun die Zahlen r^, r^, ■ ■ ■, »■» betrifft, denen 
alle möglichen Werthe von al^ -^ 2U -'r c nach Modul d 
congruent sein sollen, so kann man dieselben dadurch fin- 
den, dass man diejenigen Zahlen anfaucht, welche diesem 
Aiiadruct nach d congruent sind, wenn man l die Werthe 

Z = 0, 1, 2, , d—1 

ertheilt. Weil alle übrigen Werthe von al^ -\- 2bl -\- e 
den diesen Werthen von l entsprechenden congruent sein 
werden. 

Somit werden wir für die Darstellung aller durch 
au'^ -{- 2huv -j- c»^ 
definirten Zahlen die linearen Formen 

dm -\- t\, dm -^ r^, . . ., dm ■\- ?■„ 
erhalten. 

Jede dieser Formen kann aber in vier verschiedene 
zerlegt werden, je nachdem m eine von den Gestalten 

4^, 4^ + 1, As-\-2, 4^ -f 3 
hat. So ergeben sich aus der ersten dm -|- *\ der obigen 
Formen folgende vier : 

4äß-\-i\, Aäe-\-d-irr^, Me + 2d-\-r,, Ads-^M-\-r,. 

Wir wollen nun zusehen , welche von diesen Formen 
wegzulassen sind, wenn wir uns auf die ungeraden Werthe 
von 

au^ -j- 2huv -|- cw^ 
beschränken. Wir beginnen mit einem ungeraden ä. 



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282 Kap. VII, ? 47. 

Bei ungeradem, d werden unter den vier ZaMeu 
r,, (? + r,, 2rf + r,, 3(? + r^ 
zwei gerade und zwei ungerade sein (vgl. Lehrsatz 10). 
Indem wir uns also auf die ungeraden "Werthe von 

aM^ + ä&Mu + cv^ 
beschränken, haben wir unter den vier Formen 
4äz-\-r„ 4rfs + d + r,, MB + ^d-^-r,, Us ^ U + r 

solche zwei wegzulassen, in welchen die s nicht enthalten- 
den Glieder gerade Zahlen sind. Es bleiben uns dann 
für die ungeraden Werthe der quadratischen Form zwei 
lineare Formen übrig, von denen die eine Zahlen von der 
Grestalt 4»w -\- 1, die andere Zahlen von der öestalt 4«* -|- 3 
liefern wird. (Vgl. § 44). 

Von diesen zwei linearen Formen werden wir dann 
eine oder beide beibehalten, jenachdem die quadratische 
Form 

au'^ -\- 2Jmv + cv'' 

lauter Zahlen von der Gestalt Am-{-'\. oder lauter 4m + 3, 

oder beiderlei zugleich liefert. Dieses erfahren vrir aber 

durch folgende Ueberlegung. 

Für u und v sind vier Annahmen möglich, nämlich; 

M = 2s j M = äs + 1 } M = 2s + 1 I M = 2s 

Tragen wir diese "Werthepaare in die quadratische 
Form 

mi^ + 2 hm + cv^ 
ein, so erhalten wir die zugehörigen Resultate in vier 
folgenden Gestalten : 

4^^, 4i^. + tt, AN, + M + 2/< + c, 4iV, + c, 
indem wir durch 

43,^ 4iV',, 4jV,, 4iV, 
jeweils die Gesammtheit aller Glieder bezeichnen, welche 
den Factor 4 besitzen. 

Daraus ersehen wir, dass wenn keine der Zahlen 



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Kap. VTT, S 47. 263 

ö, c, a-\-2i-\-c 

die Gestalt 4m -|- 1, oder die Gestalt Am -[- 3 besitzt, 
auch die Porm 

mi^ -\- 2buv 4* cv'^ 
nicht Zahlen von der entsprechenden Gestalt liefern kann, 
"Wenden wir uns nnn zu dem Falle eines geraden d. 
Ist d eine gerade Zahl, so werden alle vier Zahlen 
r„ d^r„ 2d-\'r„ 3(J + r,, 

gleichzeitig , entweder gerade , oder ungerade sein. Im 
ersteren Falle wird die quadratische Form 

au^ -j- 2buv -j- cv" 
überhaupt keine ungeraden Zahlen darstellen können. Im 
anderen Falle werden wir je nach dem Worthe der Zahlen 

r„ d + r„ 2Ä + *-,, dd -\- r, 
erfahren, welche von den vier Gestalten 

8m +1, 8»w + 3, 8m 4- 5, Sm + 7 
die Zahlen 

Ms-i-r,, iäs-^d-^r,, Ads + 2d-^r„ Ms -\- ?id -\- r^ 
annehmen. Darnach erfahren wir dann anch, welche un- 
ter diesen wegzulassen sind, sobald wir feststellen welche 
von den viererlei Zahlen 

8«» + 1, 8m +3, 8m + 5, 8wi + 7 
ans der quadratischen Form 

au' + ^Im + cv' 
erhalten werden können. 

Zu diesem Ende überlegen wir, dass wenn man die 
vier Annahmen über m und v 

u^As i u = As \ M = 4s + 2 i M-=4s + 2 

v = At I w = 4i + 2 i v^At+2 I v = At , 
welche für 

att^ -{■ 'Abuv 4- '»^ 



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264 Ka,)), VII, § 47. 

nur gerade Zahlen liefern, ausseMiesst, nur noch folgende 
fünf Annahmen über u, v übrig bleiben : 

M = 2s +1 j M = 2s -1- 1 1 M = 2s -{-1 1 M = 4s +2 U( = 4s 

Indem -wir diese Werthe in 

au^ + 2buv + cv^ 
eintragen, erhalten wir die entsprechenden Resultate in 
der Gestalt: 

8W+a + 2& + c, 8N, + a, 8W, + a + 46 + 4c, 
8JV, + 4a + 4ö + c, SN,-^c,- 
wenn wir mit 

8jV, 8jV,, 8iV,, SN,, SN„ 
jeweils die Gresammthcit aller Grlieder bezeichnen, die den 
Factor 8 besitzen. Zu solchen Gliedern gehören offenbar 
auch 

4(»' + »), i(f' + t), 
welche, wie man leicht sieht, durch 8 theilbar sind. 

Daraus folgt, dass die durch die quadratische Form 

deiinirte Zahl nur dann eine der Gestalten 

8m + 1, 8m + 3, 8m + 5, 8m + 7 
annehmen kann, wenn unter den Zahlen 

a, c, « + 2& + C, 4n4-4& + c, a -\- ih -\- ic 
eine von jener Gestalt sieh befindet. Dadurch wird dann 
zugleich hestimmt, welche von den vier linearen Eormen 
4d^ + r„ ids + d~\- r,, 4d£ + äi? + r„ 4:äs -+- Bd-\-r, 
die ungeraden Werthe von 

m^ + 2buv-]- cv' 
darstellen können , und welche dagegen ausgeschlossen 
werden müssen. 

Wir wollen dieses durch ein Beispiel erläutern. 
Beispiel. "Wir haben oben gesehen, dass die unge- 
raden Theiler der Form x'-\~2i3y'' nur durch die vier 
q^oadratischen Formen 



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Kap. VIT, g 47 265 

u' + 2Qv\ 2u' + 13»;=, 3«' + 2m + 9«;=, Bn' + 4m» + Qv' 
dargestellt werden können. 

Um die linearen formen der Theiler der ersten von 
den vier quadratischen ^Formen, nämlieb u^ -\- 26y^ zu "be- 
atinunen , bemerken wir zunächst , dass in. der letzteren 
der Coefficient von u' keinen gemeinsamen TKeiler mit 
der Determinante derselben besitzt. Man kann daher den 
Lehrsatz 63 anwenden, wonach man schliessen kann, dasa 
alle "Werthe von 

w' + 2Qv' 
nach Modul 26 denselben Zablen congrnent sind, wie die 
Werthe von 

P + 26, 
welche I = 0, 1, 2, . . , ., 25 entsprechen. Die kleinsten 
Zahlen, welche nach Modul 26 congruent sind 



0= 4- 26, 1' + 26, 2' + 26, .... 25' + 26, 
findet man, wenn man die Heste nimmt, welche nach Di- 
vision dieser Zahlen durch 26 verbleiben. Wir finden so 
dieselben : 

0, 1, 4, 9, 16, 25, 10, 23, 12, 3, 22, 17, 14, 13. 

Folglich müssen alle möglichen Werthe von n^ -\- 26»', 
indem sie diesen Zahlen congruent sind, in folgenden For- 
men darstellbar sein : 

26»»+ 0, 26m + 1, 26™+ 4, 26m + 9, 26m +16, 

26m + 25, 26m + 10, 26m + 23, 26m + 12, 26m + 3, 

26m + 22, 26m + 17, 26m + 14, 26m + 13. 

TJater diesen sind nur 

26m +1, 26m + 9, 26m + 25, 26m + 23, 26m + 3, 26m +17 

ungerade und relativ prira zu 26. Nur diese behalten wir 

daher bei. 

Indem wir nun 

m = 4s, 4^ +1, 4.S + 2, 4.^ + 3 
setzen, erhalten wir: 



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Kap. VU, § ■ 



104^+ 1, 


104 s + 27, 


104s + 53, 


104s + 79, 


104« + 9, 


104s + 35, 


104s + 61, 


104s + 87, 


104» + 25, 


104s + 61, 


104s + 77, 


104s + 103, 


104s + 23, 


104s + 49, 


104s + 75, 


104s + 101, 


104s + 3, 


104« + 29, 


104s + 55, 


104s + 31, 


104« + 17, 


104s + 43, 


104s + 69, 


104s + 96. 



Um dann zu entscheiden, welche von diesen 24 For- 
men "beizabelialten und welche wegzulassen sind, haben 
wir noch die Frage zu beantworten : welche von den vier 
Gestalten 

8m + 1, Sm + 3, 8m + 5, 8™ + 7 
besitzen die durch u^ + 2Qv^ darstellbaren Zahlen. 
Wir haben gesehen, tlass für die allgemeine Form 
au^ + 2 iuv ~{- cv^ 
über diese Frage immer die Gestalt der Zahlen 

ö, c, a 4- 26 + c, 4t* + 4S + c, a + 46 + 4c 
entscheidet. Für unseren speeiellen Fall m^ + 26»;^ heis- 
sen nun diese Zahlen 

1, 26, 1 + 26, 4 + 26, 1 + 4 . 26. 

Unter diesen findet sieh keine von der G-estalt 

8m + 5, oder 8« + 7. 

folgKch müssen wir von den obengefundenen 24 Formen 

diejenigen weglassen, welche Zahlen von dieser Grestalt 

ergeben. Da nun 

53, 61, 77, 29, 101, 69 die Gestalt 8»k + 5 
und 79, 87, 103, 55, 23, 95 die Gestalt 8m + 7 
besitzen, so haben wir die 12 Formen 

104^+ 53, 104s + 61, 104^ + 77, 104^ + 29, 
104.0 + 101, 104^ + 69, 104 s + 79, 104^ + 87, 
104 Ä + 103, 104 2 + 55, 104 s + 23, 104 ^ + 95 
wegzulassen und behalten somit nur die 12 Formen: 
104^+ 1, 104^ + 27, 104s + 9, 104.S + 35, 
104.^ + 25, 104i( + 51, 104,s + 49, 104s + 75, 
104« + 3, 104s + 81, 104 + 17, 104 + 43. 



yGoosle 



Kap. VII, § 47. 267 

Indem wir unK nun zur Bestimmung der ]inear[!n 

Formen derjenigen Zahlen wenden, welche durch die zweite 

der obigen vier qnadratischen Formen, nämlich 2m^ + 13«^ 

darstellbar sind, sehen wir zunächst, dass Lehrsatz 63 

hier nicht direct anwendbar ist, weil 2, der Coefficient 

von M^, nicht relativ ■prim zur Determinante — 26 ist. 

Wir müssen daher zuerst diese Form , nach der obenan- 

gegebeneu Methode, tranaformiren. Da nun 2 der grösste 

gemeinsame TheUer von 2 und 26 ist, so suchen wir eine 

Zahl «, für welche 

2o; + 
^— = « 

relativ prim au 26 werde. Dieser Bedingvmg genügt 
« = 1. Um 2m^ + 13i)' an unserem Zwecke zu transfor- 
miren, brauchen wir also nur darin 

zu setzen, wodurch unsere Form in 

15m^ + 26mF+13F* 
verwandelt wird. In dieser Form ist der CoSfficient von 
M^ relativ prim zur Determinante — 26 und alle ihre 
Werthe sind, nach Lehrsatz 63, denjenigen Zahlen nach 
Modul 26 congruent, welche als Reste bei der Division 
von 

15 . 0^ + 26 . + \3, 15 . 1^ + 26 . 1 + 13, 
15 . 22 + 26 . 2 + 13, . . . ., 15 . 25^ + 26 . 25 + 13 
durch 26 verbleiben. Diese Reste sind: 

13, 28, 21, 18, 19, 24, 7, 20, 11, 10, 5, 8, 15, 
und diesen Zahlen müssen also alle Werthe von 

1Bm^ + 26m7+13J^ 
nach Modiil 26 congruent sein, d. h. sie kijnnen nur unter 
den Formen 

26m + 13, 26iK + 28, 26m + 21, 26w + 18, 26»» + 19, 
26m +24, 26m + 7, 26m -|- 20, 26m + 11, 26m + 10, 
26m + 5, 26m -|- 8, 26»» + 15, 26m + 
enthalten sein. Unter diesen 14 Formen liotern aber nur 
( 6: 



yGoosle 



268 K.aji. VII, S 47. 

26m 4- 21, 26m 4- 19, 26m + 7, 

26w + 11, 26»» + 5, 26«! -|- 15 

ungerade Zahlen, welche relativ prim za 26 sind. Nur 

diese 6 behalten wir daher bei und, indem wir für m die 

"Wertlie 

m = 4^, A^ + 1, 4^ + 2, 4^ + 3 
setzen, erhalten wir aus den 6 genannten Formen fol- 
gende 24; 



104« + 21, 


104« + 47, 


104« + 73, 


104« + 99, 


104ä + 19, 


104« + 45, 


104« + 71, 


104« + 97, 


10-1^+ 7, 


104« + 33, 


104« + 59, 


104« + 85, 


101«+ U, 


104« + 37, 


104« + 63, 


104« + 89, 


104«+ B, 


104« + 31, 


104« + 57, 


104« + 83, 


104« + IB, 


104« + 41, 


104« + G7, 


104« + 93. 



Es kann aber keine durch 

1Bm^4-26mF+ 13 7' 
darstellbare Zahl die Gestalt 

8m +1, oder 8m + 3 
haben, da keine der Zahlen 

15, 13, 15 + 26 + 13, 4 . 15 + 2 . 26 + 13, 
15 + 2 . 26 + 4 . 13 
die Gestalt 

8m + 1, oder Sm + 3 
haben kann. 

Es bleiben also für die Darstellung aller durch die 
quadratische Form 

15ttä + 26MF+ 13 7^ 
definirten Zahlen, welche obendrein noch ungerade und rela- 
tiv prim zur Determinante sind, nur die 12 lineare Formen 
104^ + 21, 104i( + 47, 104s + 45, 104^ + 71, 
1043+ 7, 104^ + 85, 104^+37, 104^ + 63, 
1045+ 5, 104.^ + 31, 1042 + 15, 104s + 93. 
Yen den vier oben angeftihrten quadratischen For- 



y Google 



Kap. VIL ^ 47. 269 

durch welche die Theiler von x' + 26i/' dargestellt wor- 
den sollen, haben wir his jetzt nur die ersten zwei 

u" + 26 w', 2m= + 13«= 
behandelt. Um nun oMe linearen Theiler von x^ -j- 26»/^ 
zu finden, müssen wir noch die linearen ^Formen für die 
Zahlen aufsuchen , welche durch die zwei quadratischen 
l"'ormen 

3m= -\- 'luv + 9e\ 5m' + 4m» + 6»' 
darstellbar sind. 

Man findet indess, dass sich dadurch keine neuen li- 
nearen Formen ergeben, dass vielmehr 

die fiir 3m' -(- 2m!j -j- 9»" mit denen für u' + 26jj' 
und die für öm" + 4***' "l~ ^^° '^t' <lenen für 2jf' -\- 13«* 
übereinstimmen, die wir bereits gefunden haben. 

Resummiren wir nun die ganze Untersuchung, so fin- 
den wir alle ungeraden Theiler von 

welche relativ prim zu 26 sind, durch folgende 24 lineare 
Formen 



104»+ 1, 


104«+ 3, 


104« + 5, 


104« + 7, 


104« + 9, 


104« + 15, 


104« + 17, 


104« + 21, 


104« + 25, 


104« + 27, 


104« + 31, 


104. + 36, 


1048 + 37, 


104« + 43, 


104« + 45, 


104« + 47, 


104« + 49, 


104« + 51, 


104« + 63, 


104« + 71, 


104« + 75, 
sstimmt. 


104« + 81, 


104« + 85, 


104« + 93 



So kann man mit Hülfe quadratischer Formen die li- 
nearen Theiler von 

x' ± Bf 
in allen Fällen bestimmen, gleichviel, ob D eine Primzahl 
oder eine zusammengesetzte Zahl ist. 



y Google 



270 Kap. Vn, 5 47. 

Um bei dieser Bestimmmig überflüsaiges Reclmen zu 
ersparen, wollen wir jetzt ein Mittel angeben, durch wel- 
ches man erkennen kann , ob zwei quadratische Formen, 
welche die Theiler von 

X' ± I)f 
dai'stellen, auf gleiche linearen Tormen führen, wie dieses 
in dem obigen Beispiele mit 

m' 4- 26«' und 3m^ + 2m + 9«', 
2m° + 13»' und 5w' -\-A.uv -j- Qv^ 
der Fall war. 

Zu dem Ende werden wir folgenden Lehr.« ata be- 
weisen. 

64. Lehrsatz. Sind 

au' 4- 2bw + co\ a, ü" + 2h, UV ~\- c,V' 
ZKei quadratische Formen der Theiler 



mid sind n, «i relativ prim su d, 
während für irgend eine Zahl l 

a, = aV -^ 2bl '\- c (mod. d} 
ist, so Jeann man immer eine Zahl x 
finden, tvelche die Congruens 
a,x^ ■\-2b,x -{- c, = tt«' -f 2 5a + c (mod. ß) 
befriedigt. 
Beweis. Wenn a \md «, relativ prim zu d sind, so 
darf man eine Congiuenz von der Grestalt 

a'a,(a,3:' + 2ii3:+ Cj) = a^a^iaa^ 4* 2^"^ + c) (mod. d) 
jedenfalls durch a^a, dividiren, so daas wenn die Möglich- 
keit dieser Congruenz bewiesen wäre, anch die zu be- 
weisende Congrnenz 

a, x' -\- 26, X -\- c,'^ flß' -\-^ha-\- c (med. d) 

bestehen würde. 

Man kann aber die erstere Congraenz auch so schrei- 
ben : 



yGoosle 



Kap, VIT, § 47. 271 

(üa,x--\--ahif~-a'(bl — a^c^) = aa^{aa-\'by-—uu^{¥- ac) {mod.t^), 
wobei sowolil 

bl—a^Cj = ä, als auch lf~ac ^ ä 
ist, weil nach Voraussetzung beide quadratische Formen 

Theiler von x' — äy^ darstellen. [Vgl. Lehrsatz 59). Es 
verwandelt sich infolgedessen die letzte Congruenz in fol- 
gende : 

{aa^x + oftj' = aa,{aa + hf (raod. d). 
Diese Congruenz wird aber befriedigt, wenn 
aa,x 4- ab, ~ (m 4- h)ial + h) (mod.<0 
gesetzt wird. 

Um sich davon zu überzeugen , braucht man nur zu 
bemerken, dass für diesen Werth von 

aa^x + aö, 
die obige Congruenz in 

{m + hf {al + hy = aa, {<m + bf (mod. d) 
übergeht. Da aber nach Voraussetzung 

a^ = al" -^ 2U -\- c (mod. i^) 
war, woraus 

aa, = a {al" + m + f) (mod, d), 
also aiich 

dtij = {al -{- by—(b^—uc) (mod. d) 
folgt, so ergiebt sich dai-aus, auf Grund von 

b*-~aG ^^ d, 
die Congruenz 

(al + by = aa, (mod. d). 
Um also die Congruenz 

a.a)" + 2&,a; + c. = ««= + 2ö« + c (mod. d) 
zu befriedigen, braucht man nur x so zu bestimmen, dass 
die Congruenz ersten Grades 

aa,x -j- ffl&j = (aa -j- b) (al -|- 6) (mod. d) 
befriedigt werde. Dieses ist aber offenbar immer möglich, 



y Google 



272 Kap. VII, § -tT. 

weil nach Vorauaaetzuiig der Coefficient a«, von x relativ 
prim zum Modul ä war. 

Somit ist der Lehrsatz bewiesen; und aus diesem, in 
Verbindtmg mit Lehrsatz 63, ergiebt sieh folgender 

Zusats. Wenn «, nach Modul d irgend einem Werthe 
von aP -j- 26^ + c congruent ist, so sind die 
durch die gm,dratischen Formen 

definirten Zahlen ein und densdben Zahlen 
nach Modul d congruent; es bestehen daher 
dieselben linearen Formen md + r für die eine 
quadratische Form, me für die andere. 
Was nun die Formen 4:md-\- r betrifft, so haben wir 
oben bereits eine Methode kennen gelernt , wie man die- 
selben aus den Formen md + ^ terleiten kann. Unmittel- 
bar aus jener Methode ist zu ersehen, dass die Formen 
Amd-\-r für die beiden quadratischen Formen 

au'+2buv-\-cv', a.(7" + 26. (77+c,P 
verschieden, oder gleich sein werden, je nach der Grestalt 
der Zahlen 

a, c, a + 26 + c , 

a„ c„ <x,+ 26.+ c,, 

wenn d ungerade ist und je nach der Gestalt der Zahlen 

a, e, « + 26 + C, 4fl + 46 + c, fl + 46 + 4c, 

a„ c,, a,+ 26,+ c., 4a, + 46, -f c,, «,+ 46.+ 4c,, 

wenn d gerade ist. 



Hiermit schliessen wir die Theorie <ler Theiler einer 
quadratischen Form 

x^ ± %^ 

Am Schlüsse dieses Buches sind Tabellen der linea- 
ren Theiler solcher Formen für alle d zusammengestellt, 
welche durch kein Quadrat theilbar sind, von iJ = 1, bis 
d = 101. Diese Tabellen gewähren eine sehr wichtige 
Anwendung, wie wir dieses im nächsten Kapitel ersehen 
werden. 



y Google 



Kapitel VIH. 

Anwendung der TheoHe der Gongruenzen auf die 
Zerlegung von Zahlen in Prlmzahifactoren. 



§ 48. Zerlegung (ier Zaliieii in Primzahlfacioren durch die 
Bestimmung der Gestalt der Theiler. 

Zum Scliki'^-<e ilei Theorie der Congruenzeu wollen 
wir zeigen , wie man mit Eiili'e deraelTjeü die Zerlegning 
der Zahlen m Piimzahltactoren bedeutend vereinfachen 
kann. 

Um eine Zahl Ä in ihre PrimzahKactoren zu zerle- 
gen , mnss man , bekanntlich , zunächst die kleinste Prim- 
zahl aufsuchen, durch welche A theÜbar ist; beisst diese 
Primzahl etwa «, so theilt man erst A durch « und sucht 

dann die kleinste Primzahl, durch welche ~ theilbar ist; 

heiast eine solche Primzahl (3, so aucbt man dann die 

kleinste Primzahl, welche — r theilt und setzt diesen Pro- 

ceaa so lange fort, bis man zu einem Quotienten gelangt, 
welcher durch keine Primzahl, die kleiner, als seine Qua- 
dratwurzel ist, ohne Rest getheilt werden kann. Dieser 
Quotient ist dann selbst eine Primzahl und das Product 
dieses Quotienten mit « j3 . . . . [unter welchen Factoren 
auch mehrere einander gleich sein können] stellt dann die 
gesuchte Zerlegung der Zahl A in Primzahlfactoren dar. 
Somit führt der Process der Zerlegung einer Zahl in Prim- 
zahlfactoren auf die Untersuchung, ob diese gegebene 



y Google 



274 Kap, Vlir, § 48. 49. 

ZaM Tlieüer überhaupt hat, oder nicht, und, falls sie 
solche hat, welcher von den Theilern der kleinste ist. 
Diese Untersuchung macht aber, wenn die Zahl bedeutend, 
gross ist ungeheure Schwierigkeiten. Um den kleinsten 
Tbeüer einer Zahl JV mit den Hülfsraittein der Arithmetik 
aufzusuchen, bleibt nichts anderes übrig, als unter allen 
Primzahlen, welche kleiner als \JN sind, solche Theiler 
dadurch zu suchen, dass man einfach versucht die Division 
wirblich auszuführen. Wenn aber .^' gross genug ist, so 
werden viele solcher Primzahlen vorhanden sein und man 
wird nicht selten gezwungen sein eine bedeutende Anzahl 
derselben auszuprobieren, bis man auf eine Primzahl kom- 
men wird, welche Theiler von N ist. Noch viel grösseren 
Schwierigkeiten begegnen wir, falls 2^ eine Primzahl ist; 
in diesem Falle muss man die Theilbarkeit von N in Be- 
zug auf alle Primzahlen, welche kleiner als sJn sind, un- 
tersuchen. So würden wir, wenn wir auf die Principien 
der Arithmetik allein angewiesen waren, bei der Unter- 
suchung der Bestandtheile irgend einer Zahl, welche 
1000000 nbertrifPt, nicht selten gezwungen sein mehr als 
160 Divisionen auszuführen, weü wir die Anzahl der 
Primzahlen, welche kleiner als v'lf>OOÖÖÖ = 1000 sind, 
168 finden. 

Auf Grand der Theorie der Congrnenzen werden diese 
Untersuchungen bedeutend erleichtert, indem sie uns in 
den Stand setzt aus der Greatalt einer gegebenen Zahl 
direct über die nothwendige Gestalt aller möglichen Thei- 
ler derselben Schlüsse zu ziehen, so dass wir dann nur 
noch alle Zahlen von bestimmter Form zu. untersuchen 
haben. 

§ 49, Bestimmung der Theiler einer Zaii! von der Form 

a'" ± 1. 
Wir beginnen mit einem besonders bemerkenswerthen 
speciellen Fall und indem wir mit Hülfe der im Kapitel V 
bewiesenen Lehrsätze hier folgende Lehrsätze beweisen, 
wollen wir zeigen, wie man die Formen aller Theiler ei- 
ner Zahl bestimmen kann , wenn diese Zahl die Form 
a-' ± 1 hat. 



yGoosle 



Kap, VIII, S 49. 



65. Lehr 




Ist p eine ungerade Zahl und an 
Theiler von a™ — 1, so kann p durch 
die Form 

C^ + 1 

dargestellt werden, wobei a ein Thei- 
ler von m (u. zw. der grösste ge- 
meinsame Theiler von m und p — 1, 
also ro =: 1, wenn m und p — 1 re- 
lativ prim), während js relativ prim mt 

— ist; und p mms zugleich audt 

Theiler von a" — 1 sei«. 


Beweis. 


Ist 


ro der grösste gemeinsame Theiler von 


p—1 und m, 


so sind ^ , — ganze ZaMen und relativ 


prim zu einander. 


Bezeichnet man die eratere dieser 


beiden Zahlen mit ; 


?, so erhält man 



woraus sich 

p = Oä + 1 
ergiebt. 

Es bleibt uns nur noch übrig zu zeigen, dass p ein 
Theiler von a"—! sein muss. Wir bemerken zu dem 
Ende, dass die Theilbarkeit von «"' — 1 dureh p durch die 



a™ — 1 = (mod. p) 
ausgedrückt wird. Haben p—l und m den grössten ge- 
meinsamen Theiler m, so folgt, nach Lehrsatz 35, aus der 
letzten Congruenz auch die Congruenz 
a"'—\ ~ (mod. ^(), 
d. h. die Theilbarkeit von a"'— 1 dm-ch p, was zu bewei- 
sen war. Auch folgenden Lehrsatz kann man mit Hülfe 
des vorhergehenden leicbt beweisen. 

66. Lehrsatz. Ist 2n -\- 1 eine Primzahl, so müssen 
die ungeraden Primzahlen., welche 
Theiler von 

18* 



yGoosle 



276 Kap, VIII, S -19. 

sind, entweder die Form 

2{2k + 1)^ + 1 
haben, oder Theiler von 

a—1 
sein; ausserdem müssen dieselben auch 
Theiler der quadratischen Form 

x^ — ay^ 
sein. 
'Beweis. Wenn ^* eine ungerade Zahl ist, ho kann 
man dieselbe durch 

2JV+ \ 
darstellen. Ist dann A"" durch 2w. -|- "l theilbar, so hat p 
die Form 

y = 2(2» + l)j + l. 
Ist dagegen N durch die Primzahl 2k -}" 1 nicht theil- 
bar, so ist 2Ä^ relativ prim zu 2n + i. Ist aber 

p = 2.Y+1 
ein Theiler von 

(ia«+i-l, 
während 2Jf relativ prim zu 2)) + 1 ist, so muss p, nach 
vorhergehendem Lehrsatze, Theiler von 

«-1 
sein. Folglich muss p entweder die Form 

p = 2(2« +1)^ + 1 
haben, oder Tlieiicr von a~l sein. 

"Wir wollen nun noch beweisen , dass p ein Theiler 
der quadratischen Form 

x^—ay'^ 
sein muss. 

Davon kann man sieh leicht überzeugen. Es ist nach 
Voraussetzung p ein Theiler von 
«2«+'— 1, 
folglich auch ein Theilei' von 



yGoosle 



Diö rechte Seite dieser Gleichung hat aber, für x = a"+^ 
und !/ = 1, die Foith 

Indem wir noch bemerken, dass für a ^ 2 überhaupt 
keine Zahl Tlieiler von « — 1 sein kann, während, nach 
Lehrsatz 55 alle Theiler von x^'^ay- in diesem Falle 
entweder die Form 8™ + li o^er 8m — 1 haben müssen, 
50 ergiebt sieh daraus, auf Grund des letzten Lehrsatzes, 
folgender 

Zusatz. Alle Frimsaklfactoren von 2^^' — 1, Affl&e», 
wenn 2« -|- 1 eine Primsahl ist, die Form 
2(2w -(-1)^ + 1 M»Ji^ ■s^ gleicher Zeit müssen 
sie auch entweder die Form Sm -\- 1, oder 
die Form Sm — 1 haben. 
Indem wir in solcher Weise die nothwendige Form 
aller Theiler von 

bestimmt haben, können wir in jedem gegebenen Falle 
diese Theiler entweder wirklich auffinden, oder den Be- 
weis fuhren, dass solche überhaupt nicht vorhanden sind. 

Auf diesem Wege hat Euler gefunden, dass 
2"— 1 = 2147483647 
eine Primzahl ist und diese ist überhaupt die grösste 
Primzahl, welche wir bis jetzt [*)] kennen. 

In ähnlicher Weise kann man auch jede andere Zahl 
von der Form a™— 1 untersuchen. 

Wir wenden uns jetzt zu den Zahlen von der Form 
a"" + 1 "^11^ beweisen folgenden Lehrsatz in Bezug auf 
die TheUer solcher Zahlen. 

67. Lehrsatz. Ist p eine ungerade Frimsahl und 
Theiler von a"" -\- l, so kann p durch 
die Form 

dargestellt werden, wobei a> ein Thei- 

[*) Seitdem der Verfasser dieses geschrietea hat (1849) sind auch 
,woiteru Beispiele gereclinet worilen]. 



y Google 



278 Kap. YlII, 5 49. 

/er von m (u. zw. d. gr. gom. Th. 
von m und p—1, also ra =• 1, wenn 
m und p— 1 rel. prim), welcher sunt 
Quotienten — eine migerade Zahl er- 
gabt, während s relatw prim su — 
ist ; und p muss suglekh auch Theiler 
von a"" -\-l sein. 
. Seweis. Die Theilbarteit von o."' + 1 durch p wird 

durch die Congruenz 

M™ + 1 ^ (mod. p] 

ausgedrückt, mit welcher, nach Lehrsatz 39, zugleich die 

CoEgnienz 

«"' + 1 = (mod, p) 

bestehen muss , wenn a der grösste gemeinschaftliche 

Theiler von m und p^l ist, welcher zum Quotienten 

eine gerade Zahl ergeben muss, wenn p ungerade ist. 

Setzt mau diesen Quotienten gleich 2s, so findet man 

^— = 2s, also: 

p = 2(00 -\- 1. 
Man kann sich aber leicht überzeugen, daas s relativ 
prim zu — und der Quotient — ungerade ist. Indem näm- 
lich 0) den grössten gemeinsamen Theiler von m und p — 1 
ausmacht, müssen die Quotienten 
p^-1 M 

K» ' CO 

relativ prim zueinander sein. Da aber der erstere dieser 
Quotienten 2s ist, so kann derselbe nur dann relativ prim 

zu — sein, wenn — durch 2 nicht theilbar ist und zugleich 

m *" "" 

— mit s keinen Theiler gemein hat. 

CO 

Da nun aus der obigen CongiTienz a"-]-!— "^ (mod.jj) 
direct hervorgeht, dass p Theiler von 

«" + 1 

sein muss, so ist der Lehrsatz in allen Theilen bewiesen. 



y Google 



Ka;ii. VJJI, g 49. S79 

ider Lelrsatz ergiebt sich dann als specieller 
i'all des vorhergehenden. 

68. Lehrsatz. Die ungeraden FrimsaMfactoren einer 
Zahl 

ffl2-l-i-j- 1 

müssen, enhveder die Form 
2 {äw + 1) ^ + 1 
haben, oder Theiler von 



Beweis. I)le ungerade Zahl p hat die Form 

Ist nun if durch 2« -|- 1 thoilbar, so hat p die Form 

p = 2(2)*+ 1)ä + 1. 
Ist aber B durch die Primzahl 2w + 1 nicht theilbar, so 
ist 2N relativ prim zu 2w + 1 und die Theilbarkeit von 
oiM-i j^ 1 durcti j, ^= 2JV'+ 1 bedingt dann, nach dem vor- 
hergehenden Lehrsatze, die Theilbarkeit von a + 1 durch p, 
was wir beweisen wollten. 

69. Lehrsatz. Alle ungeraden Theiler von 
2^"+ 1 
müssen die Form haben : 
2"+i.^ + 1. 
Beweis. Nach Lehrsatz 67 können die ungeraden 
Theiler von 2^" -f 1 durcli 2 . ro» + 1 dargestellt werden, 
wobei a ein Theiler von 2" sein muss, der als Quotienten 

— eine ungerade Zahl liefert. Dieser Bedingung kann in 
unserem Falle nur w = 2" befriedigen, folglieh müssen 
alle ungeraden Theiler von 2^" + 1 die Form 

2.2«^+! ^ 2"+' . s + 1 
haben, was zu beweisen war. 

Auf Grund der letzten drei Lehrsätze kann man leicht 
die Theiler einer Zahl von der Gestalt a'" + 1 finden, 
oder sich überzeugen , dass diese Zahl überhaupt keine 
Theiler besitzt. 



y Google 



280 Kap. Vni, 5 49. 50. 

Beispiele. 1) Es sollen die Tlieiler von 65537 go- 
fanden werden. Diese Zahl hat die G-estalt 2'''4-l; i'olg- 
lich miisseü nach Lehrsatz 69 alle Theiler von 65537 die 
Form 32 . s + 1 haben. Setzt man darin fiir ä die Werthe 

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
so findet man, Öass alle Zahlen, welche die vorgesehrie- 
bene I'orm haben und kleiner als V65537 sind, nni* die 
ersten 7 von folgenden 8 Zahlen sein können: 



33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, 257. 

Unter diesen sind nur 97 und 193 Primzahlen. Da nun 
diese beiden keine Theiler von 66537 sind, so sohliessen 
wir daraus dass 65537 eine Primzahl ist. 

2) Die Theiler von 4294967297 sollen gefunden wer- 
den. Diese Zahl hat die Form 2^^ -]- 1 ; ihre Theiler müs- 
sen daher nach demselben Lehrsatze 69 , wio im vorigen 
Beisp. die Form 64^ + 1 haben. 

Ertheüt man hierbei die "Wertke 

.s = 1, 2, 3, . . . ., 1024, 
so iindct man alle Zahlen, welche die vorgeschriebene 
Form haben und kleiner als \/4294967297 sind. Dariiater 
sind 

193, 257, 449, 577, 641, . , . , 

Primzahlen. Indem man durch die letzteren 4294967297 
zu dividiren versucht , findet man , dass 641 wirklich ein 
Theiler ist. 

Dieses Beispiel ist insofern von besonderem Interesse, 
als es die Behauptung ]fermaf>>: „jede Zahl von der Ge- 
stalt 2""+ 1 *'^* ^^''^ Pi'iiiisaM" , widerlegt. 



§ 50. Bestimmung der Theiler von Zaiilen auf Grund der 
Tlieorie der Theiler von x^ ± ay'^ 

"Wir haben gesehen, wie die Theorie der binomischen 
Congn-Tenzen die Untersuchung der Theiler von Zahlen, 
welche die Gestalt a™ ± 1 liabeii, erleichtert. Wir wollen 



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Kap. VIII, § 50. 281 

nunmelir zeigen , wie man für irgend eine Zahl A viele 
Formen 

X- ± af 

fioden kann, in welchen a keine grosse Zahl wird und 
diese Formen sollen entweder die Zahl A selbst oder ein 
Vielfaches derselben darstellen. Die Theiler von A wer- 
den dann jodenfalls auch Theiler dieser Formen sein und 
somit wird man die Form dieser Theiler nach den im 
vorhergehenden Kapitel angegebenen Methoden bestimmen 
können ; oder mau wird die Theilei' in den Tabellen für 
die Theiler von x' ± ay'^ am Schlüsse dieses Buches auf- 
suchen können, wenn a nicht 101 übertrifft. 

Was für eine Zahl A auch sein mag, kann man immer 
A selbst, oder ein Vielfaches kA durch eine Form ic" ± ay^ 



Nimmt man für x irgend eine beliebige Zahl und für 
y die grösete Zalil, deren Quadrat ein Theiler von A—x^ 
ist und bezeichnet dann den Quotienten der Division von 
A~x* durch y' mit », so erhält man 

5 — ■ = w, oder A = x^ -\- oy^. 

y' ' T- y 

In ähnlicher Weise kann man die Zahlen 2A, 3A, . . . . 
darstellen, ÄUe so erhaltenen JFormeu werden dazi\ die- 
nen können, die Form der Theiler von A zu bestimmen. 
Unter ihnen werden diejenigen am bequemsten sein, in 
denen a eine mögliehst kleine Zahl ist; weil, wie wir ans 
der Theorie der Theiler quadratischer Formen gesehen 
haben, die Formen der Theiler von x^ ± «*/' umso einfacher 
sind, je kleiner die Zahl u ist. Wir müssen daher unter 
allen Formen a.'"^ ± ay^, welche A , oder ]cA darstellen, 
diejenigen wählen, bei denen a am kleinsten ist. Für 
manche Zahlen kann man solche Formen unmittelbar fin- 
den. So ist z. B. sofort zu ersehen, dass 

10001 = 100^ + i ; 3 . 3337 = 100* + 11, u. dgl. 

Allgemein aber kann man anf Grund des folgenden 
Lehrsatzes immer solche Formen bilden. 



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282 




Kap. Vlir, § 50, 




70. Lehi 


■sats. Sind in d&- Heike 

do, (fl, d^, . . . . 
die d Zahlen, welche dadurch definirt 
sind, dass je drei aufeinanderfolgende 

(J„_i, d„, 4+, 
immer die Gleichung 


u- 


— d,^id„ -- 


Aev-1 d.d.., , v-1 ^^ d.d,^,{') 

iefriedigen , während die ersten swei 



die Werthe 

habm. so besitzt jede der Formen 

wobei I> den Werth 

ß ^ (_1)<'+F^y... dad^d^ 

hat, die Eigenschaft die Zahl A, oder 
ein Vielfaches von A dm-^ustellen. 
Beweis. Bevor wir zum eigentlielien Beweise des 
Lehrsatzes achreiten, wollen wir zunächst beweisen, daaa 
die Reihen 

dt), d\, da, ... . 

•^A—dida, \lA—d'idi, ^A — d^di, .... 
aus lauter ganzen Zahlen bestehen. 
Nach der Voraussetzung waren 

ä!o =. 1, d, = A — iEsJJy, 
woraus zunächst folgt, dass 

do, rfi, \lA — di,d(, 
ganze Zahlen sind. Sind diese aber ganze Zahlen , so 
L auch alle übrigen Glieder der Reihen 
do, dl, d2, da, .... 



\lA—d,do, sJA—d^du \lA-~dsds, 



(*) E soll bier rtinsiilbe Bedeutung, wie in @ 26 haben. 



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Kap. VlII, § 50. 283 

keine gebrochenen oder irrationalen Zahlen sein. Denn 
aus der Gleichung 

welche überhaupt die ä definirt , folgt : 

Aus der letzten Gleichung ersieht man , dass (?«+\ eine 
ganze Zahl sein muss, sobald 

(4-1, d„, \JA — d^d^-\ 
solche sind und aus der vorletzten Gleichung, dasa unter 
denselben Voraussetzungen auch '^A — ä^j^.^dn eine ganze 
Zahl ist. Nun wissen wir aber bereits, daas 



ganze Zahlen sind, folglich müssen auch 

ganze Zahlen sein. Sind aber 

ä^, ä.,, \JA. — djd, 
ganze Zahlen, so müssen es auch 

ä, , \JA — ä^ ä^ 
sein, etc. 

Indem wir nun zum Beweise des Lehrsatzes überge- 
hen, bezeichnen wir die Ausdrücke 

\/A—d,d„, \jA—d^d,, . . . ., \jA—ä„-idn-2, \JÄ—d„d„-i 
respective mit x„, x^, . . . ., 3:„_2, x„^\, welche, wie wir 
gesehen haben, ganze Zahlen sein werden. Quadrirt man 
die Gleichungen 

«0 = '^■^~d,d^, x^ = ^A^—d^d^, X, = \/A — d,d^ , . . . 

«B-2 = \/A — d„_i eC-3 , ^«-\ = \JA — d„ d^-i , 
90 erhält man 



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284 Kap. Vin, 5 50. 

xl~Ä = — (^i^^o; ^l — Ä = —d^ä^; xl — A = — ägd^, 

.... Xl^2—~A. = — rf„_i(4-3, ^~L — A = — d^d^-i, 
welche man auck so solireiben kann : 

{z, 4- \lÄ} [x~\IJ) = — d,d„ 
{w, + \IÄ] ix—\lÄ) = ~d,ä„ 
(x^ + \/A) {x^~\J~ä) = —d,d^, 

{x„-2 + \/Z) {x,,-2—\JA) =-- —d„.,d.^2, 

MultipUcirt man alle diese Grleichungen mit einander , so 
erhält man 

K+V^) {^,+ \/3) (^,-1- V^). . . . (^„-a-fV^) {^n-i+\lÄ) X 
(x~ \/A) (x~ \/J) {x~ \IÄ) .... {x„_,— \1ä) {x^i~ \jÄ) 
= {~lYd„d\d\....dU'i^i^\d„. 
Indem man aber die Mviltiplication der Factoren 

X, + \lÄ, X, + \JÄ, , a:„_i + \Ia 

unter einander, beziehungsweise die der Faetoren 

x„~\jÄ, Xj — \lA, . . . ., a;„_i — \/j. 
unter einander ausführt, erhält man aly Product eine Zahl 
von der T"orm 

X„ + Y.„\JA bezieh^^l]gsweise X» — Y„\/~Ä, 
wobei X„ und Y„ ganze Zahlen sind. In Folge dieser 
Bemerkung geht die obige Grleichung in folgende über: 

{X„+ I'„\/Z)(X„— r^V'I) = i~l)''d,d',dl....dl.idn 
Setzt man 

d,d^d^ d„_i = Zn 

und bemerkt, daas du = 1 ist, so erhält man 

(X„ + Y^SJA) (X„-r„\/^) = (-!}" . ZI . d„. 
Eine solche G-leichung erlmlten wir für jede ganze Zalil n. 



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Kiip. Vin, § 50. 285 

Ertheilt man nim n iHe Wertlie 

n = a, n = ß, n = y, . . . ., 
so erhält man; 

Multiplieirt man alle diese Grleichungen mit einander und 
berücksichtigt, dass das Prodiict aller Factoren 

X„ + Y„^Ä, X,, + Y^\lÄ, Xy + Y^\lA, 

die Form X + YSJA und das Product von 

X, — Y.SJA, X>— YsSJ'Ä, Xy— Y.^\JA, 

die JForra X — Y\JA annimmt, wobei X, F ganze Zahlen 
sind, so erhält man 

(x+rv'3)(x— rVZ) = {-'iy+'^+y-ziz'^,/4....d,d^ä,...., 

oder anch 

X'~AY'' = {—\y-^ny'r---d,J,iä,....(Z,Z^Z,....f, 
oder auch so gesehrieben: 

X^—i—X)'^^y+--ä^d^dy....{Z.Z^Zy....y- = Y^A, 
Daraus ersieht man, dass die quadratische Form 
x^ — Dy^ 
ein Vielfaches von A darstellt, sobald 

I) =■ {—iy+ii+y+---d,.ä.^d,...., 
X = Xuniy = Z<,Z^,Zy.... 
bedeuten, was zu beweisen war. 

Auf Grund dieses Lehrsatzes kann man viele Formen 
x^ ± ay'-' 
finden, welche ein Vielfaches von A darstellen können, 
indem man die Zahlen 



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286 Kap. VIII, § 50. 

In diesen Formen wird « als ein Produut aus irgend 
welchen von den Zahlen 



hestimmt und wir werden nur unter den Corabinationen 
dieser Zahlen solche zu wählen suchen , deren Product 
ein vollständiges Qaadrat, mnltiplicirt mit einer möglichst 
kleinen Zahl werde. 

Indem wir ein solches Product zur Bestimmung von 
a wählen und unter den Factoren von a jedes vollständige 
Quadrat, auf Grund von § 46, weglassen, erhalten wir 
Formen 

X^ ± ay^ 
mit genügend kleinen Coefficienten, welche, nach der obigen 
Auseinandersetzung, dazu dienen werden, die Theiler von 
A zu bestimmen. 

Allerdings werden unter diesen Formen die Zahlen 
d, , rfj , dj , .... 
nicht enthalten sein , obwohl sie auch Theiler von A sein 
können. Wir werden daher vor Allem A durch' diese 
Zahlen zu dividiren versuchen, um uns zu überzeugen, ob 
sie nicht selbst Theiler von A seien. 

Sollten auf diese Weise die gefundenen Formen nicht 
ausreichen, um alle Theiler zu finden, so könnten wir auf 
Grrund des vorhergehenden Lehrsatzes noch Formen auf- 
suchen, welche Vielfache 

2Ä, 34, AA, 

darstellen und unter denselben solche horauawählcn, welche 
für die Bestimmiing aller Theiler von A am geeignetsten 
sind. 



Beispiel. Es sollen alle Theiler von 8520191 ge- 
funden werden. 

Ohne uns bei der Aufsuchung solcher Formen, welche 
etwa unmittelbar für die Darstellung von 8520191 oder 
einem Vielfachen derselben gefunden werden könnten, län- 
ger aufzuhalten, wollen wir solche Formen mit Hülfe des 
vorhergehenden Lehrsatzes aufsuchen. 



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Kaij Vin, § 50. 2B7 

i Zwecke müssen wir vor Allem die Zalilen 
(?„, d,, d„ 



i den Gleichungen 
d, == 1, ^ = 



8520lgl.-(EV8520191)^ 



\/8520191--4+irf« -= ä„E 



\ /8öa019i— J 74-1 + \/8 5aQ191 



1 — (4 lin-l 

bereoiinen. 

Man erhält aus diesen Grleichungen folgende Werthe: 

: 1210, 



< -1 , 


d. 


= 1313, ci, - 1169, 


<i„— 593, 


<J, = 5467, 


d. 


- 2630, d. = 4523, 


<i,.= 2854, 


d, - 370, 


d. 


~ 3185, <i„- 242, 


<!„= 2965, 


d, — 4319, 


d. 


- 203, (i„= 1856 


ii„= 371, 



Zerlegt man diese Zahlen in ihre PrimzahK'actoren, 
was bei diesen kleinen Zahlen keine sehr grossen Schwie- 
rigkeiten bietet (*), so findet man: 



. 7.1Ö7, < 
^ 4523. 



^ 593 



^2.5.1P 



d,,=2.1427, 

5.593, 

(?,,= 7.53 j 



i d , d , 



d,= 1 ,]d,= 13.101, c 
(i,=7.11.7ljd,=2.5.263, ( 
d,= 2.5.37,U,= 5.7M3, i 
d,= 7.617,;rf,= 7.29j(?,,=5.7.53, ( 

Indem wir die Bestandtheile der Zahlen t 
näher betrachten, finden wir, dass 

sehr einfache Zahlen liefern , wenn die in ihnen enthalte- 
nen vollständigen Quadrate vernachlässigt werden. 

"Wir nehmen daher, auf Grund des letzten Lehrsatzes, 
zur Bestimmung der Theiler unserer Zahl 8520191, qua- 
dratische I'ormen 

in welchen a folgende Werthe hat: 

(*) Man kann aicli dabei mit Vnrtheil dei- Tafeln voh Vena be- 
dienen, in welchen für alle Zahlen, welche Ideifier als 102000 sind, die 
Zerb^guiig in Ptiniadlillactoien gegeben ist. 



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288 Kap. VIII, s 50. 

a =-- (—1)8 d, =5.7'. 13, 

a = (— ir(^.„, = ä.llS 

a ^ (—1)1« <?,, =2.5. IIa, 

a = {— l)i'H-i6 d,„ d,, = 2^ . 5 . ll^ 

fl = {— l)«+i<'+^8(?e'^i,(?„ = 2^ . 6^ 7V 11^ . 13, 

a = {-lf+^^d,ä,, = 2" . 5^ ll^' . 37, 

a = (— l)*+^i°+'«(^,iis'^,.d,, = 2^5^7M1M3M01. 

Vernachlässigt man bei diesen Wertlieii von a die Tacto- 
ren, welche vollständige Quadrate Lüden, so erhält man 
für (( die "Werthe: 

a = 5 . 13, 2, 2.5, 5, 13, 37, 101. 
Daraus ersehen wir , dass die Theiler von 8520191 zu- 
gleicLer Zeit Theiler der folgenden quadratischen Formen 
sein müssen : 

x' — 5 , 13i/^, .-E** — 2i/^ x'^ — 2 . 5j/^ 'x'^ — 5j/^, 
3:^ — 13^^ x^ — ^lf, x^—li)ly^. 

Auf Grund dieser Thatsache werden wir die Theiler 
von 8520191 auch wirklich aufsuchen können. 

Aus unseren Tabellen der linearen Theiler ersehen 
wir, dass die quadratische Torni x'—h.lZy^ folgende 
Theiler besitzt 

260^ + 1, 7, 9, 29, 33, 37, 47, 49, 61, 67, 61, 63, 67, 69, 73, 
79, 81, 83, 93, 97, 101, 121, 123,129, 131,137, 139, 
159, 163, 167, 177, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, 
203, 209, 211, 213, 223, 227, 231, 251, 253, 259. 

Von diesen können nur diejenigen zugleich Theiler von 
x* — 6»/^ sein, welche nach Division durch 20 die Reste 
1. 9, 11, 19 ergeben; weil wir für x' — hy^ die Theiler 

20^ + 1, 9, 11, 19 
finden. 

Lassen wir daher ans den vorhergehenden Formen 
diejenigen weg, welche nicht die Reste 1, 9, 11, 19 geben, 
so erhalten wir für die gleichzeitigen Theiler von 



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Kap. VIII, § 50. 289 

und 

nur noch die linearen Formen 

260s+ 1, 9, 29, 49, 51, 61, 69, 79, 81,101,121,129, 

131, 139, 159, 179, 181, 191, 199,209, 211, 231,251,259. 

Aus diesen können aber nur diejenigen zugleich auch 

Theiler der quadratischen Form a;^ - 2)/^ sein, welche die 

Form 

8s + 1, oder Sä' + 7 
haben, welche also bei Division durch 8 den Rest 1, oder 
7 liefern. 

Um aus den gefundenen linearen Formen der gemein- 
samen Theiler von a^^ — 5 . ISy^ und x^ • — 5^^ diejenigen 
herauszufinden, welche Zahlen von der Form 8ä -]- 1, 
oder 8^+7 ergeben, transformiren wir dieselben so, dass 
der Coeffieienfc der Veränderliehen 2 ein Vielfaches von 8 
werde. Zu diesem Zwecke bemerken wir, dass 2 entwe- 
der die Form 2m, oder 2m + 1 besitzen kann. Setzen 
wir beide Werthe ein, so erhalten wir für die gemeinsa- 
men Theiler von 

x^~-~B . 13)/^ und x^ — 5«/" 
die linearen Formen 

d20m+ 1, 9, 29, 49, 51, 61, 69, 79, 81,101,121,129, 
131,139,159,179,181,191,199,209,211,231,251,259, 
261,269,289,309, 311,321, 329, 339, 341, 361,381, 389, 
391, 399. 419, 439, 441, 451, 459, 469, 471, 491, 511, 619. 

Lässt man hier alle diejenigen weg, welche bei der Divi- 
sion durch 8 nicht den Rest 1, oder 7 geben, so verblei- 
ben als gemeinsame Theiler der drei quadratischen Formen 

x^ — 5 . 13i/^, x^^^y'^, x^ — 'iy^ 
nur noch die linearen Formen 

620*[+ 1, 9, 49, 79, 81,121,129,159,191,199,209,231, 
289,311,321,329,361,391,399,439,441,471,511,519. 

Tcholyscliotf. Bittlentlieoi-iB. 19 



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290 "Kap. Viri, S y>0. 

Es bleiben ims nocli, für ^ie Beatimmiing der Tlieiler 
von 8620191, die vier qnadratiachen Formen 

x^ — ä.öj/^, x^ — ^^y^i 3;^ — 37jf^, ai^— 101«;* 
übrig. 

Von diesen haben die ersten zwei alle Tlieiler init 
den obigen drei Formen 

x^ — 5.13?/*, x^ — 5y*, x^ — 2»/ 
gemeinschaftlich. Davon überzeugen wir uns dnrcli die 
Bemerkung, dass die Theilbarkeit von 

aij — 5 . 13j/J, a;, — 5)/J, xl^^yl 
durch p die Congruenzen 

xl = 5. 13)/t I 
xl = ^ iJl \ (mod. p), 

xl ES '2yl ) 

also auch die Congruenzen 

x\x\ ~ 5^ . Vdy\yl 1 

\ (mod. p) 
x\xl = '^ .?>y\yl 1 

ergiebt, was die Theilbarkeit von 

3:* — 13i/^ lind x'^ — 2 . 5i/* 
durch p aussagt. 

Was aber die übrigen zwei I"orraen 
x^~^7y^; x^~lQly^ 
betrifft, ao tonnen wir ihre linearen Formen anfauchen 
und dann aus den obengefundenen Formen 
520?^+ 1, 9, 49, 79, 81,121,129,159,191,199,209,231, 
289,311,321,329,361,391,399,439,441,471,511,019, 
diejenigen weglassen, welche mit den zuletzt aufgesuch- 
ten nicht übereinstimmen, um auf diese "Weise die Anzahl 
der Formen, unter denen die Theiler von 8520191 zu 
suchen sind , noch zu verringern. Dazu müssen wir die 
gefundenen Formen so transformiren, dass der Coeffieient 
der Veränderlichen ein Vielfaches von 4 . 37 und 4 . 101 
werde, um dann dui'ch Division dieser Formen durch 4 . 37 
und 4 . 101 zu erfahren, welche von diesen Formen unter 



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Kap. vnr, § oo. 291 

den linearen Formen der Tteiler von x^—Z7y^, x^ — lOly^ 
za finden sind. Auf diese Weise würden wir aber ausser- 
ordentlich viele lineare Formen für die Bestimmung der 
Theiler von 8520191 erhalten. Daher kürzen wir das 
Verfahren dadurch bedeutend ab, dass wir, bevor wir die 
Formen x^—d7y^, x" — 101^- in Betracht ziehen, vorläufig 
hei den gemeinsamen Theilern der drei Formen 

3;^ — 5 . 13j/^ x^ — ^y^, x^ — 2y^ 
verweilen, um zuerst unter diesen Theilern diejenigen 
PriTMnhlm aufzusuchen, welche kleiner als ^8590191 sind. 
"Wir finden folgende Zahlen: 

2791. 



79 


621 


719 


919 


1231 


1511 


1889 


2129 


2521 


191 


569 


751 


991 


1249 


1559 


1951 


2161 


2551 


199 


B99 


809 


1081 


1361 


1609 


1999 


2239 


2591 


311 


601 


881 


1039 


1439 


1759 


2081 


2311 


2609 


439 


641 


911 


1049 


1481 


1871 


2089 


2441 


2729 



Unter diesen Zahlen müssten wir den kleinsten Di- 
visor von 8520191 si\clien. Da die Anzahl dieser Zahlen 
bedeutend gross ist, so würde diese Arbeit ziemlich lang- 
wierig sein. Daher schliessen wir zuerst diejenigen Zah- 
len aus , welche heine TheUer der c[uadratis(;hen Formen 
x^ — 37y^, x^— lOly^ sein kÖnnPn. 

Zu diesem Ende bemerken wir , das.« die Theiler von 
x^ — 37j/^, wie sie in den TabpUen zu finden sind, nach 
Division durch 148 die Reste 
1, 3, 7, 9, 11, 21, 25, 27. 33, 41, 47, 49, 
53, 63, 65, 67, 71, 73, 75, 77, 81, 83, 85, 95, 
99, 101, 107, 115, 121, 123, 127, 137, 139, 141, 145, 147, 
ergeben. Unter den obigen Primzahlen genügen dieser 
Beding^ing nur folgende 

521 751 1439 2081 



699 i 881 


1481 


2441 


601 1039 


1871 


2691 


641 1 1231 


1951 


2729 


719 1 1249 


1999 


2791 



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292 Kap. Vni, g 50, 

Tu analoger Weise linden wir ferner; dass unter die- 
sen Zahlen nur 

521, 601, 1231, 1949, 1999, 2441, 2729, 2791 
Theiler der quadratischen Form x'' — 101»/^ sein können. 

Indem wir 8520191 dureii diese Zahlen au dividiren 
versuclien, überzeugen wir uns, dass dieselben keine Thei- 
1er sind. Daraus folgt dass 8520191 eine Primzahl ist. 



So sehen wir nun, wie mau auf Grrund der Theorie 
von den Theilern quadratischer -Formen die Primzatilfac- 
toren irgend einer gegebenen Zahl A finden kann , sobald 
man aus den Gleichungen 

d, = \, d, = A -{E\/Äy, 

^Ä^.-:^ä:= d.E^-^^'^-'-^-'^'^-slJ-T.lZ, 

eine genügende Keihe solcher Zahlen 

d„ d„ d„ 

berechnet hat. 



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Ueber quadratische Reste. 

Wir liaben in Kap. IV gesehen, wie man den Werth 
des Symbols ( — J bestimmen kann, um dadurch zu er- 
fahren, ob die Congrueiiz 

x^ = a (mod. p) 
eine Lösung hat, oder nichl;. 

Aber die Methode für die Bestimmung des Werthes 

von (— ) kann noch bedeutend vereinfacht werden; man 

kann nämlich den Werth dieses Symbols auch bestimmen, 
ohne die Zsuhl a, oder andere Zahlen in ihre Primzahl- 
factoren zu zerlegen. Eine solche Vereinfachung ist von 
besonderer Wichtigkeit, wenn a eine grosse Zahl ist; in 
diesem Falle wird die Zerlegung von a in Primzahlfacto- 
ren sehr beschwerlich und erfordert viel mehr Zeit, als 

die directe Bestimmung von [~) nach der Methode, 

welche wir nunmehr zeigen wollen. 

Nach Legendre bezeichneten wir mit dem Symbol f — j, 

wenn p eine ungerade Primzahl und kein Theiler von a 
ist, die Einheit mit positivem, oder negativem Vorzeichen, 
jenachdem in der Congruenz 



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294 Anhrag T. 

d = ± 1 (mod. p) 
das positive, oder negative Vorzeichen zii nehmen ist, 
damit diese Congruenz befriedig't werde. Wir v7ol!en 
nunmehr, nach Jacobi, das Prodnct mehrerer solcher 
Symbole 

(§)■(£)• o 

mit dem Symbol 

(--- — ) 

bezeichnen. 

Indem wir diese ßezeichnnngsweise zulassen, erhalten 

wir in dem Symbol ( -5^) , wenn N eine ungerade Zahl 

ist, das Product der Symbole 

©■ (j)' (?)' woM», ft, 

diejenigen Primzahlen bedeuten, welche in N enthalten 
sind. In dem Falle , dass N eine Primzahl ist , wird die- 
ses Jaco&i' sehe Symbol {^) mit üem Legendr e'sah&n. iden- 
tisch und dasselbe entscheidet dann über die Möglichkeit 
oder Unmöglichkeit der Congruenz 

3;* s « (mod. Ä). 
"Wir wollen nunmehr zeigen, dass das Jacoii'sche 
Symbol ( -jj-J ebenfalls alle di^etiigen Gleichwngen befriedigt, 
welche uns 0ur Hestimmung des Legendre^schen Symbols 

(—] dienten, wenn p eine Primeahl ist. 
\PJ 

I. Es ist zunächst: 



l N ' } ~ \n) Vn) ■ 



Denn man hat, wenn a, ß, y, . . . . Primzahlen sind, 
die Grleichungen 



y Google 



(^^^)-©© 

(^^)=af) 

deren gliedweise Multip lication die G-leicLung 

e)(^)(^)--(9©(f)-- 

ergiebt, welche nacü unserer Bezeicliiiuiigsweiay so ge- 
sebrieben werden kann: 

\aßr...J \ctßy..J\ccPy...J 

Ist mm aber, wie wir voratiBsetzea , 

N = aßr 

so erhalten wir 

was wir beweisen wollten. 

II. Aus X folgt unmittelbar: 

und somit 

(^) - ©■ 

Aus diesem Gfiimde kann laan bei der Bestimmmig 
des Wertbes von i^) alle in a enthaltenen quadratischen 
Factor en vernachlässigen, 

III. Ist 

a~a (niod. Js') , 



y Google 



296 Anhang I. 

Denn ans N = a ß y . . . und a = a' (mod. N) folgt : 
a = a' {mod.«), also (— ) ^^ (- j 

und somit durch Multiplication : 

G)(p©-- — ©©(^) 

also, nach unserer Bezeichnung 

d. h. wenn JV" = k j5 y ... gesetzt wird : 

©-©■ 

Auf Grund dieser Eigenschaft kann man bei der Be- 
stimmung des Werthes von (-^j die Zahl a ersetzen durch 

den ßest, welcher hei der Division von a durch N ver- 
bleiht, oder durch den absolut Meinsten Best von a m Se- 
eug auf Modul N, 

IV. Es ist ferner, analog wie bei ( — ) i wenn p eine 

Primzahl ist, auch allgemein : 

© = ■: (5^)-(-)'^- 

Denn, ist N =^ aßy , wobei c, ^, 7, . . . , Prim- 
zahlen sind, so wird 

(^) = (I)(t)(7) — ^ 



y Google 



■ Aniiaiig 1. 



= (-1) ■ 

Es ist aber 



2 2 

die linke Seite kann man offenbar aneh so sebreiben: 

2 
iTnd wenn man in diesem ausgerechneten Ausdrucke alle 
Grlieder , welche den ^Factor 2 haben , vernachlässigt , so 
reducirt sich derselbe offenbar auf 

2 ~ 2 ' 2 ~ ■■■■ 
[Vgl. Seite 218]. 
Daraus folgt somit : 

was wir beweisen wollten. 

V. Mit Berücksichtigung von 

\w) ^ \n) vn) 

folgt aus IV unmittelbw: 



(J) = (£)^' 



Mit Hülfe dieser gefundenen Eigenschaften sind wir 

nun im Stande eine Gleioliung zwischen f ^J und (— ) 

zu finden, die analog ist derjenigen, welche zwischen 

i—j und ( — ) besteht im Falle, wenn a, p Primzahlen 

sind und dann das Reciprocitätsgesetß zweiei' Primzahlen 
genannt wird. 



y Google 



298 Animng L 

Es seien 

N = a ß y . . . . , a = k' ß' y' . . . 
wobei «', ß'i y, .... ebenso wie k, ß, y, . . 
PrimzaMen sind. Nach dem Reciprocitätsgesetz der Prim- 
zahlen erhält man: 






woraiis durch Mvtltiplication sich die Gleichiing ergiebt: 

oder 

Es ist aber aßy .. .. = JV" und 

unterscheidet sich von — ö" . wie wir wiederholt bemerkt 
haben, um eine gerade Zahl, ko dass die gefundene G-lei- 
chung in 



© = ©(-) 



y Google 



übergelit. In dei'selbeii "Weise findet man : 
und dui'cli Multiplication : 

\n) \n) vsJ ■■■■■- 

Dnrcb analoge Bemerkungen, wie die obigen und Be- 
rücisichtigung des Wertbes 

erbült man die Grleiclning 



^i- © - © (-r 



welche das aUgemeine Reciprocitätsgeseis irgeiiä siDeier iinge- 
raäer Zahlen aussagt. 

Es bleibt ima nocb übrig eine G-leichung herzuleiten, 
welche den Werth von (-^j ergiebt, wenn ti = 2 ist. 

Diese GHeichting kann man anf Grund der ebengefnndenen 
Formeln direct, ohne Bezagnahme auf den "Wertb von 

[ - j, wenn p eine Primzahl ist, herleiten. 

Wii' bemerken zu diesem Zwecke, dass aus 



©-©(-1)^ ■ 



y Google 



Anhang 1. 

a = 2n — l, jV = 2« + 1 
wird., sich ergiebt: 

W+iy V2.>— w^ ' 

woraus folgt: 

V2« + ,iy ~ V2i. ~lj' 

Es ist aber, naeli Hl; 

/'2)i— 1\ _ 1^211 — l—2ii—l \ __ / :^2 N _ ' _?_A^_i\" 

V2«+l^~ V""2« + l ^ ~ V2«+ly V2«+iy •• ' 

und 

/ 2« + l \ _ /2i. + l-2i»+U __ ( 2 \ 
V2« — 1/ V 2»~1 J V2» — U' 

so äass aus der vorbergehendea Gleichung aicb ergiebt; 

Setzt man hierin iiir n successive die Wertte ; 

»i = 2, d, . . . ., — ö— 

und ra\iltipUeirt alle ao erhaltenen Ergehniase unter ein- 
ander, so erliält man : 



Q- 


/2N ■'+' + ■■ 

(4) (~i) 


■■"-^, 


Da aber 


(1)-- 




ist, 90 erhält mar 






(l) = 


1+2+S + ... 
= (-1) 


. + -^^ 


woraus sich sofort ergiebt: 


1 



y Google 



Anhang I. 301 

Auf Grund der eben hci'geleiteten G-loicliiwgen kön- 
nen wir uns des allgemeinen Symbols ("=^) ™it der zu- 
sammengesetzten Zahl JV mit Vortheil bedienen , wenn es 
sicli um die Bestimmung des "Werthes von f— ) handelt, 

wobei p eine Primzahl bedeutet. Wir verfahren dabei 
folgendennassen ; 

Ist a grösser als p, so ersetzen wir das Symbol 

(—) durch das andere Symbol (--], wobei r den Rest 

der Division von a durch p bedeutet. (Anstatt des Restes 
der Division von a durch p, können wir auch den absolut 
kleinsten Rest von a nach Modul p nehmen). Ist r eine 
gerade Zahl, so zerlegen wir dieselbe in ein Product ei- 
ner Potenz von 2 xind einer ungeraden Zahl ; dadurch 

wird der Werth des Symbols ( - ) durch ein Product der 
Werthe der Symbole ( — ) i^nd ("~ ) ausgedrückt. Die 

Symbole ( — ) liefern, wenn ihrer eine gerade Anzahl 

vorhanden ist, ein Product, das den "Werth 1 hat; tritt 
dagegen eine ungerade Anzahl derselben auf, so findet 
man ihren Werth ans der Grleiehung 

N^—l 

Wir wendeu uns nunmehr zur Bestimmung des Sym* 
bols 

(■). 

wobei r' <:: p und / ungerade ist. 

Nach der oben hergeleiteten Gleichung 



©-©(-r 



erglebt sich : 



y Google 



Anhang I. 



Indem wir nun mit (~J ebenso verfahren, wie vor- 
liiii mit ( ^ ) I bewirken wir, dass die in dem Symbole 
auftretenden Zahlen immer kleiner und kleiner werden 
und kommen so endlich auf Symbole, deren Wertke sich 
unmittelbar dnrch die Gleichtmgen 

bestimmen. 

Dabei werden wir in f -tt) die quadratischen Facto- 

ren, welche in a und in N enthalten sind, jedesmal weg- 
lassen können, wenn sieh solche ohne besondere Mühe zu 
erkennen geben. 

Beispiel. Man sucht den Werth des Symbols 
/ 884257967 \ 
V 2147483647/ 
Hier ist die obere Zahl kleiner als die untere und 
beide sind ungerade. Auf trrund der Gleiiihung 



N—l 



~\ 



(S - (!) (--1) 



erhalten wir ijaber : 

/ 884 257 967\ 
VS147 483 6477 ' 



/2147483M7\ 
' V 884 257 967/ 



Da die Di™ioii von 2147483647 dm-cli 884 257 9i 
den liest 378967713 ergjebt, so erhalten wir: 
/2147483647\ _ / 378967713 \ 
V 884257967/ 1^884257967/ 
Auf Grund derselben (rieichung VI finden wir v 



67 / V a 



167 -N 
■13 > 



y Google 



Da nun die Division von 884257 967 dmcli 378 967713 
den ßest 126322541 liefert, ao wird 

/8842B7967\ / 126322541 



7_\ _ / 12 6 322 54 1 N 
3) ~ l 378967713 /■ 



V 378 967713 
In derselben Weise fortfahrend, linden wir; 
' 126322541 \ / 378967 713 A / 90 



\ _ / 378967 71 3 A _ f m \ 

j ~ V 126 32a 541 / ^ '^ 126 322 541 )• 

V 126 322 641 y V 126 322 541 / V 126 322 541 / 

= ( i» ^ 

V 126 322 541/' 

V 126322541 / V 126322541 / V 126322541 J- 

Der Wertli von ( ■, ;,7r7^^r^n^-r^ ) ist nach der ITorniel 
V 126 322d41 / 

gleich — 1 ; folglicli wird 

V 126 322 541 / V 126322541 / 

__(_126322M1 )_(!)_, 

Somit wird der Wertb des gesnchteu Symbols 

/ 8842 579S7N _ 

\ 2147483647/ 
Würden wir den Werth dieses Symbols r.acb der im 
IVtei Kapitel mitgetli eilten Methode von Legender zu be- 
stimmen gesucht haben, so müssten wir, bevor wir zu die- 
ser Bestimnmng schreiten, die Zahl 884 257 967 in Prim- 
zablfactoren zerlegen, was mit groaseu Schwieriglieiten 
verbunden vräre. 



y Google 



304 Anhang I. 

Mit eben solchem Vortheile kann man die von nna 

aD genommene Bezeichnungsweise für das Product der 
Symbole 



V;j,/' \pj' Vpä/' 



und die auf Grund dieser Bezeichnung festgestellten Be- 
deutung des Symbols 

wenn N eine zusammengesetzte Zald ist , in der Theorie 
der Theiler der quadratischen Form 

x" ± af 
anwenden. 

Hat z. B. die quadratische Form x^—say^, wobei 
£ ^= + 1 bedeutet, den Theiler N, wenn N ein Product 
der Primzahlen cc, ß, y, . . . ist, so bestehen die Glei- 
chungen 

© = i.(ll)-i. (")-'.•■■■ 

ans welchen folgt : 

(")(?)(")■■■■->. 

was in unserer Bezeichnimgsweise heiaat; 
Daraus folgt nach I ; 

Multiplicirt man diese Gleichung mit f^j und berück- 
sichtigt, dass (jj) = 1 wird, so erhalt man 

Indem wir « als ungerade Zahl voraussetzen , haben 
wir aber, nach VI ; 



y Google 



Anhang I 305 

woraus in Terbinduiig mit der letzten Grleiehung sich er- 
giebt : 

Daraus folgt: 

/N\ 

[ — 1 = 1 für £ = 1 and a ^ 4n -\- 1, 

© == ^-^'^ ' " ^ = 1 „ <^ == 4« + 3, 

■JV-l 

(?) = '^■-1) ^ . ^= -1 . « = 4« + l, 

(f) = i „.^-1 „ « = 4. + 3. 

Das sind somit die G-lciclumgen , denen die Theiler 
der quadratischen Form 

genügen müsaen. In diesen Gleichungen sind, im speciel- 
len Falle, diejenigen enthalten, welche wir in Kapitel VII 
für die Bestimmung der Theiler von x^ ± mß gefunden 
haben, wenn « eine Primzahl ist. 



y Google 



Anhang' JI. 

Ueber die Bestimmung der primitiven Wurzeln. 

In Kapitel VI liaten wir zwei Methoden gezeigt, wie 
man die primitiven Wurzeln von Primzahlen hestimmen 
kann. Beide Methoden führen bei grossen Zahlen zu un- 
geheuren Rechnungen, Wir wollen nunmehr einige Lehr- 
sätze beweisen, mit deren Hilfe man aus der Form ge- 
wisser Zahlen sofort ihre primitiven Wurzeln erkennen 
kann. 

I. Lehrsatz. Eine Primzahl von der Form 2^" -|- 1 

hat die primitive Wurzel 3. 
Beweis. Ist p =a 2^^" + 1, so ist p—X nur durch 2 
theübar, daher wird eine Zahl a (nach Lehrsatz 48) pri- 
mitive Wurzel von 2-" + 1 sein, wenn die Congruenz 

x^ = a (mod. 2^" + 1) 
keine Lösung hat. Wir wollen nun beweisen , dass diese 
Congruenz für a ^ 3 keine Lösung besitzt. Zu diesem 
Zwecke bemerken wir, dass nach dem Reciprocitätsgesetz 

Ki^ + lJ V 3 / 

ist. Die reclite Seite dieser Gleicliting ist aber l ~^ J ; 

denn, erbebt man beide Seiten der Congruenz 4=1 (mod.3) 
znr Btcü Potenz, so erhält mau ; 

4" s 1 (mod. 3), 



y Google 



n. 307 

woraus erhellt, dass 

(-1) = 2^-+ 1 (mod, 3). 

Da aber (— ^-) = —1 ist, ao wird auch ( öa»n!^ "f ) = ~1 

und folglich kann die Congruenz 

sc''- 3 (mod. 2^« 4- 1) 
keine Lösung besitzen und somit ist 3 primitive Wurzel 
von der Primzakl 2^" + 1. 

Naek diesem Lehrsätze ist also 3 primitive Wurzel 
der Zahle» 

B; 17; 2B7; 65637. 
IL Lekrsats. a) Eine Primsahl von der Form 

p = 2(4« + 1) + 1 = 8w 4- 3 
hat, wenn 4« -}- 1 eine Primzahl 
ist, die primitive Wureel 2, 
b) Eine Primmkl von der Form 
p = 2(4« + 3) + 1 = 8m + 7 
hat, wenn 4» + 3 eine Primsahl 
ist , die primitive WwM 
2(4« + 3)-l = 8» + 5 = p—2. 
Beweis. Ist p = 2(4« + l) + 1 und 4w + 1 Prim- 
zahl, grösser als 1, so bestekty— 1 aus den zwei Prim- 
zahl-Faetoren 2 und 4« -f 1 ; daher wird (nach Lehrsatz 
48) a primitive Wurzel der Zahl 2 (4« -f 1) + t sein, 
wenn keine der beiden Congruenzen 

x'^a; 3;*"+! = a (mod. 2(4»i + l) + 1) 
möglich ist. Wir wollen nun beweisen, dass diese Con- 
gruenzen für ß = 2 keine Lösung zulassen. Die Un- 
möglichkeit der ersteren Congruenz, welche so lautet: 

x^ = 2 (mod. Sn + 3) , 
geht aus Lehrsatz 32 unmittelbar hervor , wonach 



\8w + 3J '' 



yGoosle 



308 Anhang 11. 

Was mm die zweite Congruenz 

^4«+i = 2 (mod. 8» + 3) 

betrifft, so erhebe man beide Seiten derselben zum Qu;i,- 
drat und erhalte 

^9„+2 = 4 (rnoä.Sn + 3). 
Dieser Congruenz kann offenbar keine Zahl genügen, 
die ein Vielfacbes von 8w -|- 3 ist ; ist aber x kein Viel- 
faches von 8w + 3, so ist nach dem Fermafsohen Satze : 

^Sn+2 -^ 1 (,nod. 8w + 3) , 

so dass die vorhergehende Congruenz auf 

4 = 1 (mod. 8n + 3), 
oder 

3 = (mod. 8m 4- 3) 

fiihren würde. Diese Congnienz könnte nur für n ^^ 

bestehen ; den Fall w =s 0, d. h. 4m + 1 = 1 haben wir 

aber ausgeschlossen. Folglich hat keine der Congruenzen 

«« = a; a:*"+i = a (mod. 2(4« + 1) + 1) 

fiir (1 = 2 und n >- eine Lösung und somit ist 2 pri- 
mitive Wurzel von 2 (in -)- 1) -^ 1 , wenn in -{- 1 ^ 1 
eine Primzahl ist. 

[In dem bis jetzt ausgeschlossenen Falle ji = ü wird 
unsere Primzahl 8m + 3 = 3. 

Da die Primzahl 3, wie unmittelbar zu sehen, die 
primitive Wurzel 2 besitzt, so gilt der Satz ohne Be- 
sfihrätikung für n, sobald nur in + 1 Primzahl ist]. 

Wir gehen jetzt zu dem zweiten Theile des Lehr- 
satzes über und nehmen an, es sei p = 2(4« -j- 3) -J- 1, 
Die Zahl p — 1 besitzt dann die beiden Primzahlfactoren 
2 und 4« + 3 und es wird eine Zahl a primitive Wurzel 
von 2 {4n -\- Q) -{- \ sein , wenn keine der beiden Con- 



x^' = a: 3;*''+^ = a (mod. 8w -f 7) 
besteht. Wir wollen beweisen, dass beide Congruenzen 
unmöglich sind, wenn « = 2 (in + 3) ~ 1 = 8« + 5 ist. 
Die Unmöglichkeit der ersteren Congruenz 



y Google 



Anhang IT. 309 

3!* = 8m + 5 (mod. 8« -\- 7) 
geht, aus der Grleichung 

\8n-\- 7J ~ \ 8h + 7 / ~ \Hn + 7 j ~ 
(vgl. Lehrs. 32) unmittelbar hervor. 
Die zweite Congruenz 

x'^"-^ = 8m + 5 (mod. Sn -\- 7} , 
oder 

x^"+3= —0. (mod. 8!i + 7) 

erhebe man zum Quadrat und heräcksichtige , dass nacli 
dem i^'eryiioCschen Satze 

x^^ = 1 (mud. 8n + 7) , 
so dass 

4 = 1 (mod. 8« + 7) 

sich ergeben würde, was nicht möglich ist. folglich be- 
sitzt keine der Congitienzen 

x' = a; »;*"+» = a (mod. 2 (4n + 3) + 1) 

eine Lösung, wenn « = 2 (4i* + 3) — 1 gesetzt wird, und 
es ist somit 2 (An +3) — 1 primitive "Wurzel der Zahl 
2(4w -f 3) + If was zu beweisen war. 

Es ist also, nach diesem Lehrsatze, 2 primitive Wur- 
zel der Primzahlen 

11: 59; 83; 107; 123. 
Wahrend 

7 die primitive Wui'zel besitzt 
23 „ ,. „ 21 

47 ,„ „ „ 45 

etc. 

III. L'ihrsnts. Eine Frimeahl von der Form 
4iV + 1, 
hat, wewi N eme Primzahl timd > 2 
ist, die primiUve Wtvräel 2. 
Setveis. Ist p = 47V 4- ^ und N eine Primzahl 
> 2, so enthält p — 1 nur die zwei Primzalilfactoren 2 



y Google 



310 Aahaiig 11. 

und N; daher wird eine Zahl a piimitive Wurzol von 
4JV -\- 1 sein, wenn keine der beiden Congruenzen 
x-'=a; a:^ 3 a (mod. 4JV + 1) 

eine Lösung hat. Wir wollen ni\n beweisen , dass dieses 

zutrifft, wenn « = 2 gesetzt wird. Die erste G'ongrnenz 

x' = 2 (mod. 4jV + 1) 

kann nicht stattfinden, da iV eine ungerade Zahl, also von 
der Form JV ~ 2« -f 1, folglich 4iV+ 1 = 8i* + 5 ist 
und nach dem 32'^" Lehrsatze 



\Sn +5/ 



ist. 

Was nun dio zweite CongmenK 

.7:^=2 (mod. 4W"+ 1) 
betrifft, so erhebe man dieselbe auf die 4*« Potenz nnd 
bemerke, dass aus derselben, mit Ee rücksieh tiguug der 
aus dem Fermafschen Satze entspringenden Congruen?. 

a^^~l (mod. 4N + 1) 
sich die Congruenz 16 s 1 (mod. ■iN ~\~ 1), oder 
3 . 5 s (mod. 4jV + 1) 

ergeben würde. Dieses ist offenbar unmöglich, da weder 
3, noch 5 durch 4JV-(- 1 für iV"> 2 theilbar sein kann. 

Da nun keine der beiden Congruenzen 

x^ = 2; a:''~2 (mod. 4iV"+ 1) 

bestehen kann, so ist 2, nach Lehrsatz 48, primitive Wur- 
zel der Primzahl 4.?^ + 1, wenn JV eine Primzahl > 2 ist. 
So haben die Primzahlen 

13; 29; 53; 149; 173; 269; 293; 317; 

die primitive Wurzel 2. 

IV. Lehrsatz. Eine Primzahl von der Form 
4 . 2™ N + 1, 



yGoosle 



hat, wenn N eine Frimsahl, 

9^ 
JV > -j-fr- und m > 
4.2™ 

üii, die primiUve Wunel 3. 

Betoeis. Ist p = 4.2"'A'+1 und N Primzahl, 

so enthält p — 1 nur die Primzahlfaetoren 2 und JS' und 

es wird a primitive "Wurzel von p sein , wenn keine der 

beiden Congruenzcn 

x^ = a; x" = a (mod. p) 

eine Lösung besitzt. Wir wollen nun zusehen , oh diese 

Congruenzen befriedigt werden können, wenn a =^ fj und 

die Primzahl 

JN' >- --, — 7^ und m > 
ist. 

Aus den letzten Ungleichungen ergiebt si.ch jeden- 
falls I*)] 

N > 3, 
so dass die Primzahl JV, die nicht durch 3 theilbar sein 
kann, entweder die G-estalt 3n + 1, oder 3ii — 1 haben 
muss. Es ist also 

N=±l (mod. 3). 
Erhebt man die C'ongruenz 2 ~ — ■ 1 (mod. 3) auf die 
(»» -f 2)te Potenz und multiplicirt 

2™+3 = ± 1 (mod. 3) 

mit der letzten Congruenz für N, so erhält man für diese 
Primzahl die Congruenz 

2"H-aiV= ±1 (mod. 3), 
so dass eine der beiden Congruenzen 

4 . 2'"jV"+ 1=0 (mod. 3); oder 4 . 2"'Ä + 1 = 2 (mod. 3) 
befriedigt werden müsste. Da aber die erste Congruenz 

[*) Entwickelt man 9'™ = (1 -f- Bf"' nach dem binomischen Sat^e, 
30 betragen bereits die ersten drei dei' nur positiv auftretenden Glie- 
der: 1 + 8 . 2". + {2'" — 1} . 82 . 2"+ .... für m > 0, also 
2" > 1, mehr als 3(4 . a").] 



y Google 



312 Anhang II. 

für die Primzahl 4 . 2'" If + 1 unmöglich ist , so bleibt 
nur die zweite übrig. 
Aus 

4.ä"'jV+ 1 = 2 (mod. 3), 
folgt nun 

da andererseits nach dem Reoiprocitätsgesetz 

/4.2"'A'+1\ __ / 3 \ 

^ 3 J ~ \Ä.2"'N+V 

ist, so ergiebt sich 

U.2"'i^+ l) = ~"^' 
woraus erhellt, dass die Congruenz 

a^^= 3 (mod. 4 . 2"' iV + J) 
unmöglich ist. 

Es bleibt uns noch zu beweisen , dass auch die Con- 



x« = S (mod. 4.2"'W+1) 

unter den gemachten Voraussetzungen nicht bestehen kann. 
Wir erheben, zu diesem Zwecke, beide Seiten dieser Con- 
gruenz auf die Potenz 4 . 2'" und mit Berücksichtigung 
der aus dem Fenitai' sehen Satze sich ergebenden Con- 
gruenz 

^d.s"iv= 1 (jjjoij, 4.2"'i>/+ 1), 
erhalten wir 

3*-^" = 1 (mod. 4.2™iV+ 1), 
woraus folgt: 

(3ä-ä"_|_ 1) (s^.^"'-!) = ü {mod. 4.2»^+ 1). 

Diese Congruenz ist aber unmöglich, da keine der heiden 
Zahlen 

32-ä"+l = 9^"'+l; d'-^"'~l = 9^""1 



yGoosle 



Äuliang iL 313 

darch 4:.2"'N-\- 1 tlieilbar sein kann. Denn nach unse- 
rer Vorausaetzimg war 

Es kann somit unter den gemachten Vorauäsetzungeu 
keine der beiden Congruenzen 

x^ = a; x'^ = a (mod. 4 . lä"' A' -j- \) 
bestehen, wenn o == 3 angenommen wii't!; folglich hat die 
Primzahl 4.2"'^+ 1 die primitive "Wurzel 3. 
So haben die Primzahlen 

89; 233; 569; 809;. 857 

von der form SJV-j- 1 und ebenso die Primzahl 5009 von 
der Form 16 j\ + ^ clic primitive Wurzel 3. 



y Google 



Ek l'ülgen liiei' : 

1) Tabelle aller ?rimKali!en unter lOCMJO . . 

2) Tabellen der primitiveu Wui-zeln iind der 
Indices aller PrimzaMmoduln unter 200. 
{Erklärung s. § 36, pag. 181) . . . . 

3) Tabellen der linearen Theiler (pag. 272) 

a) der quadratischen i'orm x'- + dy'^, 
von rf = 1, bis rf = 101 . . . . 

b) der quadratischen Form x^ — dy^, 
von rf = 1, bis d = 101 . . . . 



Seite 
1-5 



6—21 

22—26 

27—31 



[Ad (2) ist zu bemerken , dass diese Tabellen , die 
von Ostrogradsky herrühren (vgl. pag. 181) , auch von 
Jacobi in seinen Canon arithmeticus aufgenommen worden 
sind. Auch die Druckfehler waren dieselben; sind aber 
hinterher von Jacobi alle verbessert worden. Nachzutra- 
gen ist zum Druckfehlerverzeichnisa des Canon arithme- 
tjcus : pag. 222, p = 25, arg. 14 tab. lud, looo 8 lege 6]. 



y Google 



Tabelle aller Primzahlen, 

welclie 10000 nicht übertreffen. 



839 

857 



1153 

"63 



1Ö(S3 
1667 
1669 
1693 
1697 



y Google 



Primzaliien unter 10000. 



Si83 

3449 
3457 
34^1 
3463 



3133 

3739 
3761 
3767 
3769 



2oes 



2371 

1377 
1381 
1383 



1663 

2677 
2683 
26S7 


1957 
1963 
1969 
*97i 
2999 


-2689 


3001 


2693 
1699 


3°" 
3°'9 


27C7 


3013 


2711 


3037 


2713 


304. 


2719 
1719 
1731 


3°49 
3061 
3067 


1741 


3079 



33'9 

33^3 
3319 



S581 

35ä3 
3593 
3607 
3613 

36.7 
3613 
363, 
3637 
3643 



3653 

367^ 
3673 
3677 



3943 
3947 
3967 
3989 



y Google 



Primzaiilen unter lOOOO. 



4»t7 



i327 

+337 
4339 
4349 
«57 



i759 

4783 
4787 
47B9 



4S61 

4871 
4877 



4603 
+6.1 
4637 

4639 
4643 
4649 



5801 
5807 
5813 



5839 
5843 
5849 



5861 
5867 
5869 
5879 



5^57 
5659 



^°37 
6043 
6047 
6053 



5303 


&7«1 


C067 


5399 


57'i 


6073 






6079 


54'3 


5737 


6089 



«339 

6147 
6257 
6163 

627. 
6177 
6287 
6199 



6311 

6317 
6323 
6319 
6337 

6343 
6353 
6359 
6361 
6367 



6379 
6389 

6397 



y Google 



Primzahlen unter 10000. 


«481 


6841 


7311 ■ 


7573 


7937 


8393 


8681 


6491 


6857 


7113 


7577 


7933 


3197 


8689 


6511 


6863 


7119 


7583 


7937 


831. , 


8693 


6529 


6869 


7119 


7589 


7949 


8317 1 


S699 


6547 


687' 


im 


759' 


795' 1 


8329 


8707 


6s5i 


6883 


7=43 


7603 


7963 


8353 ' 


87 '3 


6SS3 


6899 




7607 


7993 


8363 1 


8719 


656J 


6907 


7153 


7621 


8009 


8369 


873" 


6569 


691. 


7183 


7639 


80.1 


8377 


8737 


657. 


69,7 


7297 


7643 


8017 


8387 


874. 


8^.7; 


(iSiT 


7307 


7(JA9 


8039 


S389 


8747 


6581 


6949 


7309 


7669 


8053 


84.9 


8753 


6599 


5959 


7511 


7S73 


8ds9 


8423 


8761 


6607 


696. 


753' 


7681 


S069 


8429 


8779 


6619 


6967 


7333 


7687 


8081 


843' 


8783 


6637 


6971 


7349 


7691 


8087 


8443 


88=3 


6653 


5977 


735 1 


7699 


80S9 


8447 




66S9 


69BJ 


7369 


77°3 


8093 


846t 


SS19 


666. 


699. 


7393 


77 '7 


Sioi 


8467 


882t 


6673 


6997 


74" 


7723 


8.1. 


8sQr 


8831 


6679 


7001 


7417 


7727 


8117 


8513 


8837 


6689 


7013 


7433 






8521 


8839 


6691 


7019 


745' 


7753 


8147 


8527 


8849 


670. 


7017 


7457 


7757 


8l6r 


SS37 


8861 


6703 


7039 


7459 


7759 


8167 


8539 


8863 


6709 


7043 


7477 


7789 


S,7t 


8543 


S867 


6719 


7057 


74S1 


7793 


8179 


8563 


8887 


6733 


7069 


7487 


7817 


8,9, 


8573 


8893 


6737 


7079 


7489 




8209 


858. 


8923 


676. 


7103 


7499 


7819 


82.9 


8597 


8929 


6f6S 


7109 


7507 


7841 


8321 


8599 


8933 


6779 


7iji 


75 '7 


7853 


8231 


86<^ 


894' 


678. 


7117 


7523 


7867 


S233 


8623 


895' 


679. 


7119 . 


75^9 


7873 


8^37 


S617 


8963 


6793 


7'5' 


7537 


7877 


8243 


8629 


8969 


6803 


7'59 


754' 


7879 


8263 


8641 


897. 


6813 


7177 


7547 


7883 


S269 


8647 


8999 


6817 


71B7 


7549 


79°' 


8273 


8663 


90DI 


6819 


7193 


7559 


7907 


8287 


8669 


9007 


6833 


7107 


7561 


7919 


8291 


8677 


9011 



y Google 



PrimzaMen unter 10000. 


«OlS 


920S 


9391 


9539 ] 


9739 


9901 




90*9 


9W9 


9397 


9S47 


9743 


9907 




904" 


9111 


9403 


9S5' 


9749 


9913 




9<H3 


9"7 


9*'J 


9S87 


9767 


9919 




9049 


9*19 


9419 


9601 


9769 


9931 




9059 


914' 


94« 


9613 


97B1 


994' 




9067 


9»S7 


943' 


96,9 


9787 


9949 




909. 


9»77 


9433 


9623 


9791 


9967 




910J 


91g. 


9437 


9619 


9S03 


9973 




9109 


9183 


9439 


963, 


98.. 






9127 


9293 


9i61 


9643 


9817 






•)tii 


9J" 


9463 


9649 


9829 






9'J7 


9319 


9467 


966. 


9833 






9151 


93»3 


9473 


9677 


9839 






9157 


9337 


9479 


9679 


98S1 






9.61 


934' 


949' 


96Ä9 


9357 






9173 


9343 


9497 


9697 


9859 






9.81 


9349 

0«! 


95" 


9719 

q7il 


9871 
<i88i 




1 



y Google 



Tabellen 

der primitiven Wurzeln und der Tndices aller 
Primzahlmoduln, welche 200 nicht übertreffen. 

Wur^ol 2. Basis 2. 



Primialil 3. Pr 
1- 



N. 



IJLL 



Primzahl 5. Pr 



Primzahl 7. L'i- 





IL . .1 




1 . ■ 1 


ve Wur 


ein 2, 3. Ä«sis 2. 

N, 


1 1 I. 1 o 1 . 1 • ! 3 1 


1 1 1 . 1 • 1 « 1 ä 1 



Primzahl II. P r 



,ive Wurzeln 2,6,7, 8. Sask 2. 



Primzahl 13. Primitive Wurzeln 2,6,7,11. Ilam ö. 



N, 


= 


'! 1 1 3 ■■ 4 


s 


6 7.8!9 


, 


. 


AÜT 


^ 


' 'l'l* 






Primzahl 17. Primii 



1 3,5,6,7,10,11,12,14. Bmü iO. 



M.|°l i|^|3|4l5iM7' 



a 1 Uli 8 



Primzahl 19. Pri 



tive Wurzeln 2,3,10,13,14,15. Basis iO. 



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4 


^ 


61 7! B| 9 


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s 

13 


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N, 


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" 



Primzahl 29. Primitivo Wurzeln 2,3,8,10,11,14,15,18,19,21, 
2G, 27. £nfi5 (0. 



N. 


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■ 


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15 



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.1.1 Sl 4lsl 6| 7l«l 9 


I 6 


101314 


.4 B|..1.?|«|.S 



Primzahl 31, Primitive WurKöln 3, VI, 12, lÜ, 17, 21,22,24, 
Basis 17. 



s: 


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3 


□ 1113141.015 4 
1 19 7 13 16 3 18 I 
14 17 II 11 19 10 5 9 
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1817 



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1817 




11 










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1* 


S 


13 


'9 


13 


4 






ly 





Primzahl 37. Primitive Wurzeln 3,5,13,15,17,18,19,20,33,24, 
32, 35. Balis 5. 



N. 


□ 


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s 


6| 7 8 9 




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12 




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11 




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3 


ioli7|t9 


4 




19 


iS| 1 




3 1^7 1^ 


■? 




■5 




1 



Primzahl 41. Primitive Wurzeln 6,7,11,12,13,15,17,19,22,24, 
26, 28, 29, 30, 34, 3ö. Basis 6. 



N. 


1 




1 


4l 51 6 7l S! 9! 


j 


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27 


31 


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31 


38 


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11 


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32 






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33 


34 


3 


9 


35 
13 


5 

37 


'7 


2C 


38 


13 '5 


3= 


7 



'ehcbyschcff, ZaMonUiouii 



y Google 



Primzahl 43. Pri 



ein 3,5,12,18,19,20,26,28,29.30, 
Basis 28. 



n: 


o 


1 


I 


1 


4 


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6 


7 


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9 




I. 


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14 




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17 


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.., 1 1 














13 M 1 








\ 1 



Primzahl 47. Primitive Wurzeln 0,10,11,13,15,19,20,22, 2 
26, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45. Sanis iO. 



N. 


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17 


15 


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34 33 
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11 


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43 




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1^ 


34 
9 


5 
43 


16 

7 


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■9 

13 


4 


1515 


4U 


37 




713 










4 


41I44 




33 











Primzahl 53. Primitive Wurzeln 2,3,5,8,12,14,18,19,20,21, 
22, 26, 27, SI, 32, 33, 34, 35, 39, 41, 45, 48, 50, 51. Basis 26. 



N. „1. 


2 


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12 


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,, 


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_ 



Priiniahl59. Primitive Wurzeln 2,6,8,10,11,13,14,18,23,24, 
30, 31, 83, 33, 34, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 47, 50, 52, 54, 55, 6V-. Bmii iO. 



N. 


I 


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32,84,41,44,46,48,50,51,57,61,63, Basis 12. 



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Primzahl 71. Primitive Wurzeln 7,11,13,21,22,28,31,33,35, 
42, 44, 47, 52, 53, 55, 66, 59, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69. Basis 03. 



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Primzahl 73. Primitive Wurzeln 5,11,13,14,15,20,26,28, 
31, 33, 34, 39, 40, 42, 44, 45, 47 , 53, 56, 59, 60, 62, 68. Sasü 5. 
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Primzahl 79, Primitive Wurzel 
43,47,48,53,54,59,60,63,66, 



1 3,0,7,38,29,30,34,55,37,39, 
8,70,74,75,77, Basis 39. 



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Primzahl 83. Primitive Wurzeln 2,5,6,8,13,14,15,18,19,20, 

22, 24, 32, 34, 36, 39, 42, 43, 45, 46, 47, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 60, G2, 

66, 67, 71, 72, 73, 74, 76, 79, 80. Basis 50. 



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Primzahl 89. Primitive WurEeln 3,6,7,18,14,15,19,23,24,36, 

27, 28,30, 30, 31, 33,35, 38, 41, 43, 46, 48, 5!, 54, 56, 68, 59, 60, 61, 63,63, 

65, 66, 70, 74, 75, 76, 82, 83, 86. £iisis 30. 



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Primzahl 97. Primitive Wurzeln 5,7,10,13,14,15,17,21,2; 
26, 29, 37, 38, 39, 40, 41, 56, 57, 58, 59, 60, 68, 71, 74, 76, 80, 82, 83, 8 
87,90,92. Basis if). 



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Primzahl 101. Primitive Wurzeln 2,3,7,8,11,13,15,18,26,27, 

28,29,34,35,38,40,42,46,48,50,51,53, 55, 59,61, 63,66, 67, 72,73, 

74, 75, 83, 86, 89, 90, 93, 94, 98, 99. Bam 2. 



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Primzahl 103. 

44,45,48,51,! 



Primitive Wurzeln 5,6,11,12,20,21,35,40,43, 
3, 54, 62, 65, 67, 70, 71, 74, 75, 77, 78, 84, 85, 86, 87, 88, 
96,99,101. Basis 6. 




Primzahl 107. Primitive Wun ein 2,5,6,7,8,15,17,18,20,21, 
22, 24, 26, 28, 31, S2, 38, 43, 45, 46, 50, 51, 54, 55, 58, 59, 60, 63, 65, 66, 

67, 68, 70, 71, 72, 73, 74, 77, 78, 80, 82, 84, 88, 91, 98, 94, 85, 96, 97, 98, 
103, 104. Basis 63. 



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Primzahl (09. 

42, 44, 47, 50, ! 



Primitive Wurzeln 6, 10, 11, IB, 14, 18, 24,30, 37,39, 40, 
1, 52, 53, G6, 57, 5S, 59, 62, 65, 67 ,69, 70, 72, 79, 85, 91, 95, 9ß, 98, 
99, 103. Bmis iO. 



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29, 33, 34, 37, 38, 39, 43, 45, 46, 47, 54, 55, 58, 59, 60, 67, 88, 70, 74, 75, 7ö, 79, 80, 
84, 86, 89, 90, 93, 93, 94, 96, 100, 103, 107, lOS, 110. Basis iO. 



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Primzahl 127. Primitive Wurzeln 3, 6, 7, 12, U, 33, 29, 39, 43, 
53,55,56,57,53, C5,G7, 78,83, 85, 86, 91, 93, 93, 90,97, 101, 106, 109, 
114, 116, 118. Basis 109. 



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Primzahl 131. Primitive ■Wurzeln 2,6,8,10,14.17,23,23,26,20,3 

37, 40, 50, 54, 56, 57, G6, 67, 72, 76, 82, 83, 85, 87, 88, 90, 93, 95, 96, 97, 98, 

104, 106, 110, Ul, 115, 116, 118, 119, 120, 122, 124, 126, 127, 128, Sasis 





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Primzahl 137. Primitive Wurzeln 3,5,6,12,13,20,21,23,24,26,27,29, 

31, 33, 35, 40, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 62, 66, 67, 70, 71, 75, 

79,80,82,83,84,85,86,89,90,91,92,94,95,97,102,104,106,108,110,111,113, 

114, 116, 117, 124, 125, 181, 132, 134. Basis i2. 

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Primzahl 139. Primitive Würz 

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Primzahl 149. Primitive Wurzeln 2,3,8,10,11,12,13,14,15,18,21,23, 

27, 33, 34, 38, 40, 41, 43, 48, 50, 51, 52, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 65, 66, 70, 71, 73, 

74, 75,77,78,79,83,84,87,89,90,91,92,93,94,97, 98, 99, 101, 106,108, 109, 

lll 115 117 12^ 126 128 131 134 135 136 137 TS ri 141 146 147 



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PririKahl 151. Primitive Wuraelii 6,7,12,13,14,15,30,35,48,51,52,54, 

56,61,63,71,77,82,89,93,96,102, 104, 106, 108, 109, 111, 112, 114, 115, 117, 

120, 126, 129, 130, 133, 134, HO, 141, 146. Basis lii. 



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Primzahl 157. Primitive Wurzeln 5, 6, 15, 18,20,21, 24,26, 34,88,43, 

53, 55, 60, 61 , 62, 63, 66, 69, 70, 72, 73, 74, 77, 80, 83, 84, 85, 87, 88, 91, 94, 95, 96, 

97, 102, 104, 114, 119, 123, 181, 13S, 136, 137, 139, 142, 151, 152. Basis i39. 



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45, 50, 52, 63, 66, 67,68,70, 73, 73, 75, 76,79, 80, 82, 89, 92, 94, 101, 103, 106, 107, 

108, 109, 112, 114, 116, 117, 120, 122, 124, 128, 129, ISO, 137, 139, 147, 148, 149, 

153, 154, 159. Basis 70. 

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Primzahl 167. Primitive Wurzeln 5,10,13,15,17,20,23,26,30,34,35, 
37, 39, 40, 41, 43, 45, 46, 51, 52, 53, 55, 59, 60, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 78, 79, 80, 
82,83,86,00,91,92,05,101,102,103, 104,105,106, 109, 110,111, 113,117, US, 
119, 120, 123, 135, 139, 131, 134, 135, 136, 138, 139, 140, 142, U3, 145, 146, 148, 
14t 151 153 165 116 15'^ 1j9 160 161 Ibl 164,165, Basis iO. 
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38, 30, 33, 39, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 53, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 68, 69, 70, 71, 72, 
74,75,76,79,82,86, 87, 91,94,97,98,99, 101,102,103,104,105, 107,108,110, 
111,112,114,115,130,133,125, 127, 128, .129, 131,184,141,143, 145, 146, 147, 
153, 154, 155, 156, 161, 162, lfi5, 160, 1G8, 170, 171. Basü 9i. 









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Primiahl 179. Primitive Wurzeln 2,6,7,8,10,11,18,21,23,24,26,28,30, 
33, 33, 34, 35,37, 38, 40,41. 44, 50, 63, 54, &5, 58, 62, 63, 69, 71, 72, 73, 78, 79, 84, 
86, 00,91,92,94,96,97,99,99, 102,103,104,105,109,111, 113. 113, 114, 115, 
118, 119, 120, 122, 123, 127, 128. !30, 131, 132, 133,134,136, 137, 140,143,148, 
150, 152, 154, 157, 159, 160, 162, 163. 164, 105, 166, 167, 170, 174, 175, 176. 



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Primzahl 181. Primitive Wurzeln 2,10,18,21,23,24,28,41,47,50,53, 

54,57,58,63,60,69,76,77,78,83,84,85,90,91,96,97, 98, 103, 104, 105, 112, 

115,118, 123,124,127,128,131,134,140,153,157,158, 160, 163, 171, 179. 

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Primzahl 191. 

56, 57, 58, 61, 
110, 111, 113, 
U5, li6, 148, 



Primitive Wurzeln 19 
52,63,71,73,74,76,83,87,88 
113, 114, 116,119,123,124,1; 
151,157, 164,165, 167, 168, V. 
183, 187, 18S, 189. 
I. 



,29,33,35,42,44,47,53, 
,94,95,99, 101,105,106, 
1, 132, 137, 140, 141, 143, 
l, 176, 178, 179, 181, 182, 



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Primzahl 193. Prii 
40,41,44,45,47,51, 
103,111,113,114,115, l 
149,152, 153, 155, 156, 



r?,cln 5,10,15, 17,19,22,26,30,34,37,38, 
53, 57, 58, 61, 66, 70, 73, 77, 78, 79, 80, 82, 90, 91, 102, 
13, 120, 133, 127, 132. 135, 136, 140, 141, 142, 146, 148, 
., 159, 163, 167, 171, 174, 176, 178, 133, 188. Basis 10. 



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Primzahl 197. Primitive Wurzeln 2,3,5,8,11,12,13,17,18,21,27,30, 
31, 32, 35, 38, 44, 45, 46, 48, 50, 52, 56, 57, 58, 66, 67, 71, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 80, 
82,86,89.91,94,95,93,99,102 103 106 108 111 115 117,118,119,122,123, 
124,125,126,130,131,139,140 141 145 147 149 151 152,153, 159, 162, 165, 
166,167,170,176,179,180 184 IftS lb6 189 192 114,195. Bmia 73. 



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68,69,71,73,75,5^,84,87, 

133,134,142,143,146,148, 

173, 1^«, 179, 183, ■ 



95,97,^9,105, 
149, 150,152, 
85, 186,189,1 



11 3.6,15,22,30,34,5 



8,39,41,44,48,54, 
,119,120,127, 129, 
03, 154, 163, 164, 166, 167, 168, 170, 
3,192,195,197. Basis (27. 



N. 


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105 


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4; 


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Lineare Theiler 

der quadratischen Form x' + ay' für alle Werthe 
von a vü!i 1 bis 101. 


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4 = + I- 




8.+ .,3. 




I2=+ 1,7. 


^' + sf 


^'+ '. 3, 7, 9' 


x^ + 6/ 


14-^4- I, S, 7, "■ 


x-i t 7/ 


iB2i+ I, 9, ", '5, n, =5- 


.^+.0/ 


4°-+ 1, 7, 9. 11. 13. '9. »3, 37- 


«' + My^ 


4+^ + i, 3. 5. 9, '5. »3, i5> »7> 3i. 37- 


^=+^3 2/' 


52:+ I, 7, 9, II, IS, 17, 19, 15, 19, 31, 47, 49, 


^= + Hy' 


56 = + >, 3. 5. 9. '3. 15. '9, 13t 55. *?- 39. 45- 


a;>+.5/ 


60a + I, 17, 19, 13, 31, 47, 49, 53. 


a;' + 17 ^^ 


68 2 + I, 3, 7, 9, "> 13, it, 23. »5, ^7, 31, 33. 39, 49, 53, 63. 


^' + .9y' 


76 ü + T, 5, 7, 9, ", '7, 23. ^S, 35, 39, 43, 45, 47, 49, SS, 6', 63, 


73- 


*= + .!/ 


84; + I, 5, n, 17, 19, 23, 25, 31, 37, 41, 55, 71. 




S' + Ily' 


S8a+ I, 9, tj, 15, 19, %i, 13, 25, 29, 31, 35, 43, 47, 49, 51, 61 
U, 83, 85. 


V: 


^ + 13/ 


921+ I, 3, 9, 13, 25, 27, 29, 31, 35, 39, 41, 47, 49, 55, 59, 7., 

75, 77. 8i. S5, 37. 


73: 


a^> 4- 26 7/ 


1043 + r, 3, 5, 7, 9, 15, .7, 21, J5, 17, 31, 35, 37, 43, 45, 47, 49 
63, 7'. 75, 3i, 85, 93- 


S'-. 


*' + ^9 J''' 


ii6z+ I, 3, 5, 9. II, 13, 15, 19, 15, 27, 3'. 33. 39. 43, 45- 47: 
53, 5S, 57, 65, 75, 79, 3i, 93, 95, 99, 109. 


49, 


^' + 30 y' 


iio^ + I, II, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 49, 59, 67, 79, 'Ol. "3- 


^' + 3" y" 


1142 + I, 5, 7, 9, 19, 15, 33, 35, 39, 41, 45. 47, 49, Sh 59, 63, 67, 
69, 71, 81, 87, 95, 97, 101, 103, 107, 109, III, 113, !2I. 


i.' + 3S/ 


131.'. + I, 7, 17, >9, 13, 15, 29, 37, 41, 43, 47, 49, 59, 65, 71, 79 
loi, 119, 127. 


97, 


^ + 34!/" 


136 s+ i, 5, 7, 9, '9, ^3, 25. ig, 31. 33. 35, 37, 39. 43, 45, 49, 
6r, 63, 67, 71, 79, 81, 83, 89, 95, log, 115, 111, 123, 115, 


59, 
'33' 


x"- + 35 y* 


140 a + 1, 3, 9, II, 13, 17, 27, 19, 33, 39, 47, 51, 71, 73, 79, 81, 
S7, 97, 99, '°3, 109, '17, isi- 


83, 



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y? + 37 !)^ 


i4Ka+ I, 9, 15, ly, n, 13. 15, 31, 33. 35, 39, 4i, «. 49, 5', S3, 55, 
59, 6s, 73. 77, 79, ^h »5, 87, 91, iüj, 103, 119, iii, 131, T35, 
137, 141, 143, »45- 


^= + 38y' 


1523+ I, 3, 7, 9, 13, «7, ai, 23, 25, ^7. 19, 37, 39. 47. 49, 3', 53. 
SS, 59, 63, 67, 69, 73, 75, 81, 87, 91, 107,109,111, 117, "9, 
MI, 137, 141, 147. 


:t'+39y^ 


1562+ I, S, ", SS. 4'. 43. 47, 49, 55, 59, 61, 7i, 79, 83, 89, 103, 
119, III, 115, "7, '33. '37, 139, '49- 


«= + 4' !/' 


164^+ I, 3, 5, 7, 9, ", tS. 19. 21. "5. 17, 33. 35. 37, 45.47,49,55, 
57, 61, 63, 67, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 95, 99, 105, 111, J13, 
III, 115, '33. '35, '4', '47. 'S'' 


=:^ + iif 


i68s + I, 13, 17, 13, 15, 19, 31, 41, 43, 53, 55. 59. 61, 67, 71, 83, 89, 
95, 103, III, 131, 149, 159. '63' 


^• + 43!/' 


I7JJ+ I, 9, II, 13, 15, 17, 2T, 23, 25, 3J, 35, 41, 47, 49, 53,57,59, 
67. 79, 8'. 83, 87, 95, 97, 99, toi, 103, 107, 109, '". "7, '", 
"7, '33, '35, '39. '43. '45. '53. 165, »67, lög. 


s;' + +6.y^ 


i84!'-F I. 5. 9, ", '9, ". 25, 3', 37. 39. 4'. 43, 45. 47. 49, 5>, 53. 
55, 61, 67, 71, 73, 81, 83, 87, 91, 95, 99, 105, 107, 109, 119, 
m, 115, IJ7, 149, 'S', '55. '57, '67, 169, 17'. '77, 181, 


3i' + +7^' 


i38e+ I, 3, 7, 9, 17. n, 25, 27, 37, 49, 5', 53. 55, 59. 6', 63, 65, 
7', 75. 79, 81, 83, 89, 95, 97, loi, 103, iit, .15, 119, III, 1:31, 
H3. '45, '47, «49, '53, '55, '57, '59- '^5. '69, '73, '75, '77. 
183. 


^=+51/ 


1041+ 1, 5, II, 13, 19, 23, 25, 29, 41, 4i. 49, 55, 65, ^7, 7', 9S, '°3, 
'°7. "3, "5, "', '15. '*7, '3', 143, »45. '5', '57, '^7. '69. 
'73, '97. 


^' + 53 y^ 


211 z + I, 3, 9, 13, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 49, 51, 55, 

57, 67, 69, 7!, 75, 77, 79, 81, 83, 87, 89, 93, 97, 103, 105, III, 

113, "7, 121, 117. '39. '47, '49. '5', '53, '^S, '67. »69,171, 
179, '9', '97. 201, 205, 207, 


a' + s5y^ 


220= + 1, 7, 9, 13, 17, 31, 43. 49. 57. 59. 63, 69, 71, 73, gi, 83, 87, 
89, 91, 107, III, 117, 119, 123, 1=7, 141, 153, 159, 167, 169, 
173, '79, '81, 1S3, 191, 193, 197, 199, 201, 217- 


«= + S7y' 


128 i+ I, II, 23, 25, 29, 31, 35, 41, 47, 49, 53, 61, 65,67,73,79,83, 
85, 89, 91. »03, '»3, "9. 'J», 127, »3', '5', »57. '69. »73. »85. 
191, 211, 215, 221, 223, 


^= + 58^'' 


231S + I, 9, 15, 21, 15, 31. 33, 35, 37, 39, 47. 49. 5'. 55. 57. 59, 6', 
65. 67. 69, 77. 79, 81, 83, 85, 9t, 95, loi, 107, 115, 119, 121, 
123, 117, 119, 133, (35, 139, 143, 157, 159, 16t, 169, 179, 187, 
189, 19., 205, 209, 213, 215, 219, 221, 225, 227, 229. 


^^ + 59/ 


136 11 -f ', 3. 5, 7, 9, '5. '7. '9. 21, 25, 27, 29, 35, 4', 45.49. 5'. 53. 
57, 63, 71, 75, 79, 81, 85, 87, 95, 105, 107, 119, 121, 123, 115, 
'17, '33. '35, '37, 139, '43. '45. '47, '53. '59. »63. 167,169, 
171, 175. iSi, 189, 193, 197, 199, 203, 205, 213, 223, 225. 



y Google 



^= + 6i y-' 


244s 


+ 


I, S, ■/, 9. ", 13. '3, ^ä, 31. 35, 41, 43, 45, ¥h 5h SS. 57. 
59. 63, 6s, 67, 71, 73, 77, 79, 81, 87, 91, 97, 99, 1D9, III, 113, 
115. H7, iji, 115, 137, 139, 141, 143, 149, 151, .55, 159,161, 
169, 175, 191, 197, 105, 207, 211,^^217, 223, 215,227, 229,241. 


x' + i^y^ 


248 = 


+ 


I. 1, 7, 9. ", 13, ", 15, i7, 19, 33. 37. 39, 4i, 43, 47, 49. 53. 
61, 63, 71, 75, 77, 81, 83, 8s, 87, 9t, 95, 97, 99, 103, iij, 113, 
115, .17, 111, 123, 129, 139, '41. 143, 147, '59. '69, 175, 179, 
181, 183, 189, 191, "93. '97. ^°3, "3, 1^5. ^^9. =3', ^33. 243- 


<,? + 65 y'^ 


160 3 


+ 


I, 3, 9, II, 1?, 23, ^7, ^, 31, 33, 37, 43. 49, 57. 59, 6', 69. 
71, 73, Si, 87, 93, 97, 99, loi, 103, 107, III, 119, 121, 127,129, 
■37, '47, 15t, '7', '77. '81, 183, »93, '97, «J7. 209,213,219, 
^39. ^3. ^53- 


x^^f><,f 


25+ 


+ 


', !, 7, '3. 17. ^3, »5, 35, V, 47. 49, 53, 6'. ^5. 67, 77, 79, 
S3. 85, 91, 97, 107, J09, IIS, "9, "5. '^7, '3', '5', '61, 163, 
169, 17s, 191, 205, 2JI, 227, »33. iJS. H5> 


x' + ^iy' 


x6g 


+ 


I. 9. '5, 17. '9. ^i. 23, ^5, »9, 33, 35. 37, 39, 47, 49, 55. 59, 
65, 7', 73, 77, 81, 83, 89. 9'. 93, '03, '07. "', "3, '^7, 129, 
'3', 135, 143, '49, IS'. 153, '55, 157, '59. '63, 167,169,171, 
173, i8i, i8j, 189, 193, '99. i05. 107, "', "5. "7, W3. ^^5, 
227, 237, 241, 2S5, 257, 261, 263, 265. 


^^ + 69!,^ 


176 


+ 


I, 5, 7, 13, 17, 19, iS. 35, 43. 47, 49, 53, S9. 65, 67, 7'. 73, 
79, 85, 89, 91, 95, 103, 113, 119, 121, 125, 13J, 133, 137, 149, 
167, 169, 175, 179, 193, 199, 215, 221, 235, 239, 145,247,265. 


x^-]rioi/ 


2«0 


+ 


'. 9, '7, '9, 33, 37. 39. 43, 47, 53. 59. 6", ^7. ^9. 7'. 73. 79. 
81. 87, 93, 97, iDi, 103, 107, 121, 113, 131, 139, 143, 'S'. '53. 
163, 167, 169, 171, 181, 191, 197, 223, 229, 233, 2+9, 251, *53, 
257, »67, 269, 277. 


x^ + ny'' 


284 


z + 


J. 3, 5, 9, 15. '9. 15, *7. 49, 37, 43, 45. 49, 57. 73, 75, 77. 79, 
81, 83, 87, 89, 91, 95, loi, 103, 107, 109, III, 119, 121, IIS, 
'19. '3', '35. 143. 145, 147, '5', '57, '6', 167, '69. '7', '79, 
185, 1S7, 191, 199, 215, 217, 219, 221, 223, 22s, 229,131,233, 
237, 143, HS, H9i '■S'. ^53. »^', =63, 267, 271, 273, 277. 


x^ + 73 y' 


292 


<! + 


I, 7, % ". '5, H, 3', 37. 39, 4', 43. 47, 49, 5'. 57, 59. 6', 
63, 65, 69, 77, 81, 83, 8s, 87, 89. 95, 97, 99, '03. 'o5. 107. 
109, IIS, "', '3'. '35. '37. '39, '45. '49, '5', '59. '63, '65, 

167, 169, 173, 17s, 179, 18., 191, 199, 2CI, 213, 2J7, 221,225, 

237, 239, 247, 257, 2S9, ^^i, »65, ^^9. ^7', ^73. 275,179.187, 
289. 


^' + 74 2/' 


296 


* + 


I, 3, s, 9, II, 13, IS, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 39, 41, 45, 49, 
55, 61, 65, ^7, 69, 73, 75, 79. 81. 83, 87, 89, 93, 99, 103, 107, 109, 
115, 117, 119, 121, 123, 125, 133, 135, 137, 139, 143. 145, '47, 
155, '65, 167, 169, 183, 191, 195, 199, SOI, 205, 207, 211, 219, 
225, 233, 237, 239, 243, 245, 249, *S3, ^6', 275, 277, 279,^89. 


E^ + 77 y^ 


1 


^ + 


', 3, 9, '3, '7, 25. 27, 31, 37, 39, 4', 43, 47, 5', 53. 59. 6t, 
73, 75. 79, 81, 93. 95, 'O'. '03, i°7, '", "3. "5, "7, - "9, 
123, 127, 129, 137, 14', -143, '45. '5', I53yii69, 173,177,183, 
199, 211, 219, 221, 223, 225, 239, M', 243, 251, 263,179,285, 
289, 293, ^97, J03. 



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x' + 78 'f 


311; -1- I, 19, »s, 79, 35, 37, 41, 47, 49, 53, 55, 67, 71, 77, 79, 85, Sg, 




101, 103, 107, 109, 115, iig, iji, 117, 131, 137, 155, i^i, '63, 




167, 173, 179, 187, 199, 115, JI7, 119, 239, 151, 153, 269, i8i, 




189, 295, 301, 305, 307. 


.1" + 7g'/ 


3162+ I, 5, 9, ", '3, •% ". =3. ^5, 3'- 45. 49, 5', 55, 65, 67, 73. 




81. 83, S7, 89, 95, 97, 99, lor, los, iti, i.s, 117, "9> '", "3. 




IZ5, iig, 131, HI, 143, 151. 155, 159, '&3, 167, 169, 171, 173, 




177, 179, iSi, 183, .89, 20J, 107, 009, 113, l^s, 2is, 231, 139, 




241, 145, H7, 153, 155, 157, ^59, »63, 169, 273, 175, 177, S97, 




iSi, 183, 187, 189, 301, 309, 313. 


x' + i^>/ 


32SS+ I, 7, 9, 13, 15, 25, 29, 33, 43, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 63, 




69, 71, 73. 79, Si, 83, 85, 91, 93, 95, loi, 105, 107, 109, III, 




113, i>5, 117, 111, <3r, 135, '39, i49> '5'^ '55, '57, '^3, "67, 




169, 17s, 181, 183, 185, 187, 191, 195, 199, loi, 203, 209, 225, 




119, iji, 239, 241, 151, 153, 26^. ^63, 267, 283, 189, 291, 293, 




197, 301, 30s, 307, J°9, 3", 317. 313, i-^i- 


1^ + 33;/' 


33J.S+ !, 3, 7, 9, 11, 17, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 37. 41, 49, 51, 




59- 61, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 87, 93, 95, 99, 109, 111, H3, 




119, 121, 123, 127, 131, 147, 151, 153, 161, 167, 169, 173,17s, 




177, 183, 187, 189, 191, 193, 195, 197, 199, 203, 207, 215, 217, 




225, 227, 219, 2JI, 235, 241, 243, 247, 253, 159, i6>, 265, 275, 




277, 279, 285, 287, 289, 293, 297, 313, 317, 319, 327. 


^' f 8s Jf* 


340 s+ 1, 9, ", "< 3', 37, 39, 43, 47, 49, 57. 67, 69, 71, 73, 79, Si, 




83. 87, 89, 9', 97, 99, 'O', 'OJ. "3, '"< '^3, '^7, '3i, '33. 




■39, 149, 159, 16', 169, 173, 177. iä3, '89, '93, '97, ^99, 103, 




III, 123, 229, 131, 133, 147, 163, 277, 179, 281, 287, 299, 307, 




311, 313, 317, 321, 317, 333, 337. 


^■^^-862,= 


344 2 + 1, 3, 5, 9, 15, 17, 19, 13, 25, 27, 29, 31, 37, 41, 45, 47, 49, 




51, 57, 61, 69, 75, 77, 79, Si, 85, 89, 91, 93, 95, 97, 103, III, 




"5, i^', '13, '15, 117. 131. '35. '41, 143, '45. '47, i49. '53, 




'55, 157. '63, 167, 169, 171, 179, 183, 185, 193, 205, 207, 211, 




125, 217, »31, 135, 237. 139, H3, HS, ^S5> i6', 17', 273.177, 




179, 181, 185, 189, 291, 305, 309, 3", 3^3, 331, 333, 337- 


:t^= + 87;/^ 


348 £ + I, 7, 11, 13, 17, 25, 41, 47, 49, 67, 77, 89, 91, 95, loi, 103, 109, 




113, 115, "9. '2', '3', '37, '39, '43, '5', i55. •('% '75, '81, 




185, 187, 191, 199, 115, 111, 113, 241, 251, 163, 165, 169, 175, 




177, 183, 1S7, 189, 193, 195, 305, 311, 313, 317, 315, 319, 343. 


^'+i3y' 


363 = + ',3. 5. 7, 9, '5, 17, 19, II. '3, 15, »7. 3', 35, 43. 45, 49, S', 




53. 57. 59. 63, 69, 73, 75, 8[, 83, 85, 93, 95, 97, '03, 105, 109, 




115, 119, 121, 125, 127, 119, 133, 135. 143, 147, 151, 153, 15s, 




157, 159. 161, 163, 169, 171, 173, 175, 177, 189, 191, 207, Sil, 




115, 217. i'9i "5. 133. 139, ^4}, HS, 249. »55, 257.265,269, 




177, 179. 285, 2B9, 191, 195, 301, 309, 315, 317, 319,323.317, 




343, 354. 


x' + ^if 


364^4- 1, 5, 7, 9, 19, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 45, 47, 51, S3, 59, 




73. 79. 81, 83, 89, 95, 97, 107, III, 113, .21, 115, 127, 145, 




'55, 165. J67, 171, 179, 183, 187, 189, 191, 201, 105, 207,111, 




213, =15, 223, 225, 127, M9, *33, 235, H'. 255, 261,263,265, 




271, 277, 279, 289, 193, 295, 303, 307, 309, 327.,3'17. 349. 3S3, 3'"'. 



y Google 



y^' + 93 '/ 


3712 


+ I, 17, 15. 19t 35. 43, 47, 49. 53. 55. 59, 65, 71, 77, 79, 89, 91, 
95, 97, 107, 109 "5. 'I', "7, 13'. '33, '37, '39. '43. '5', 
157, 161. 169, '85, '9', '93. '97, 199. ^5. i°9. "3, "7. ^47, 
253,159, 169, 271, 187, 189, 299, 305, 311, 331, 335, 349-353. 
359. 361, 365, 367- 


a= + 94/ 


376^ 


+ 1, 5, 7, 9, ". '3. '7, 19. ^5. 19, 35, 43. 45, 49. 55, ^3. 65. 
67, 69, 71, 77, 79, 81, «5, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 103, J07, 109, 
III, 117, 119, III, '13. '15, '33. '39, '43, 145. '53. iS9, '63, 
169, 171, 17s, 177, 179, 181, 183, 187, igt, 203, 109, 2M,ii5, 
119, 111, 215, 227, 129, 239, 241, 245, 247, H9. 26'. 1^3, 17'. 
17s, 189, 193, 301, 30J, 315, 317, 319, 323, 32;, 335, 337, 339,' 
343, 345, 349, 353, 355, 361, 373- 


^' + 95^^* 


380 


+ '. 3. 9, ". *3, ^7, 33, 37, 39, 49. 53. 6t, 67, 81, 97, 99, 101, 
103, 1Q7, III, 113, 117, "9, Jii. '17. '3', '39, 143,147, 149. 
159, 161, 167, 169, 173, 183, 191, 193, 199, lol, 203,217,223, 
227, 229, 239, 143, 251, 257, 171, 287, 289, 291, 293,197,30', 
303, 307. 309, 3"i 3'7. 3", 3S9. 333, 337, 339, 349. 35', 357. 
359, 363, 373- 


^" + 97/ 




« + hl, % 15, '9. 13, 15, 33, 39, 49, 51, 53, SS, 59, 61, 63, 65, 
67, 71, 73> 81, 83, 85, 87, 89, 93, 101, 105, '07, '°9, '", "3, 
lii, 123, 117, 129, 131, t33, 135, 139, 141, 143, 145, 15s, 161, 
169, 171, 175, 179, 185, 187, t93, 197, 199, 205,207,211,215, 
221, 223, 225, 119, 231, 135, 237, 239, 241, 251, 263,269,271, 
273, 285, 289, 193, 297, 309, 311, 313, 319, 331, J4I, 343,345, 
347, 35', 353, 357, 359, 3^1, 3*7, 37', 375, 377. 3% 385- 


^» + io.y 


404 


" + ', 3, 5, 7, 9, ", '3, '5 '7, i', ^5, ^7, 33, 3S, 37, 39, 45, 49, 
51, 55, 59, Ö3, 65, 67, 75, 77, 81, 83, 85, 91, 97, 99, 103, 105, 
in, 117, 1.9, 121, 125, 127, 135, 137, '39, '43, 147, 'S', '53, '57, 
163, 165, 167, 169, 175, 177, iSi, 185, 187, 189, 191, 193, 19s, 
197, 199, 1°', "', 115, 13', 133, 143, 145, 149, 155, 1S9, S63, 
271, 273, 275, 287, 289, 291, 195, 297, 30s, 3",3'3, 315, 3^', 
■319, 33', 335, 343, 3*7, 55', 357, 35', 3^3, 373, 375, 381, 385 



y Google 



Lineare Theiler 

der quadratischen Form x^ — atf für alle Wertbe 
von a von 1 bis 101. 


x^-^y' %z+ 1, 7. 


^3-3 3,2 


I1S+ I, 11. 


*'-s/ 


ioa+ I, 9, 11, 19. 


»=-6/ 


H«+ I, 5. 19, ^3- 


«^-7/ 


18 ^+ ', 3, % 19, 15. 17- 


:t=-ioy' 


40J f I, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39. 


iC^-ii;,* 


442 + 1, 5. 7. 9. '9> 25; 35, 37, 39, 43- 


^-.3/ 


51 a + I, j, 9, 17, ij, 15, 27, 19, 35, 43, 49, 51. 


^'.-i+y' 


56« + I, 5, 9, n, 13, x5, 31, 43, 45, 47, 51, SS- 


^^-IS!/' 


Boa + I, 7, II, 17, 43, 49, S3, 59- 


jä - ,7 j,* 


68 a+ I, 9, 13, IS, t9, 11, 25, 33, 35, 43, 47. 49, 53, 55, 59, 67. 


^.'-19 3/' 


76s + I, 3. 5, 9, 15, 17, 15, 27, 31, 45, 49, 51,59,61, 67,71,73,75. 


:^-S.r,' 


84i-f 1, 5, 17, 15, 37, 41, +3, 47, 59, 67, 79, äj. 


^"-.2 3= 


883 + I, 3. 7, 9, 13, i', 15, 17, ^9, 39, 49, 59, 61, 63, 67, 75, 79, 
81, 85, 87. 


X^ - 13 S»' 


911+ I, 7, 9, ", '3, 15, 19, '5, »9, 41, 43, 49, 5», 63, 67, 73, 77, 
79, 81, 83, 85, gt. 


a:^ — j5),= 


t04S+ I, 5, 9, 11, 17, 19, 11, 23, 25, 37, 45, 49, 55, 59, 57, 79, 81, 
S3, 85, 87, 93, 95, 99, 103. 


x■'^^^f 


ii6z -f I, 5, 7, 9, 13, 23, x5, 33, 35, 4.5, 49, 51, 53, 57, 59, 63, 65, 
67, 71, 81, 83, 91, 93, 103, 107, 109, rii, 115. 


x> — 30y^ 


TiOK + I, 7, 13, 17, 19, 29, 37, 49, 71, 83, 91, loi, 103, 107, ii3,ii9- 


S» _ 31 y" 


114=+ 1, 3, 5, 9, ", '5, 13, »5, 17, 33, 4i, 43, 45. 49, 55, 69i 75, 
79, 81, 83, 9», 97, 99, loi, 109, 113, US, 119, 121, 113. 


*=-j3;/^ 


13« s+ t, 17, 25, 29, 31, js, 37, 41, 49, 65, 67, 83, 91, 95, 97, loi, 
103, 107, 115, 131. 


jä — 3+j,» 


1368+ I, 3, 5, 9, II, 15, 15, 27, 19, 33, 37, 45, 47, 49, 55, .61, 73, 
Bi, 87, 89, 91, 99, 103, 107, 109, ni, ixi, 125,127,13t, 133, 
'35- 


^■^-35/ 


140^+ I, 9, 13, 17, 19. 13, ^9, 3', 33. 43, 59, 67, 73, Sr, 97, IC7, 
109, nr, "7, ili, »13, "7, 131, 139- 



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Bemerkung 

zur Terminologie. 

Wiewohl der Heransgeber in diesem Bucbe sich ge- 
fliessentlich der üblichen Terminologie bediente, wünscht 
er doch nicht es in die Oeffentlichkeit treten zn lassen, 
ohne folgenden Vorschlag auszusprechen: 

Sollte es sich nicht empfehlen, Zahlen, „welche einen 
gemeinsamen Theiler besitzen", kurz gemeintheilig und 
in TJebereinstinunung hiermit die „relativen Primzah- 
len", oder gar „relativ - primen Zahlen" nichtgemeitl- 
theilig zu nennen ? 

Auch ist es vielleicM zweckmässig Gemeintheiler 
anstatt „gemeinsamer Theiler" einzuführen. 

Entspreckend könnte man Ausdi'ückc beim Vielfa- 
chen bUden, 
Internationale Wortformen wären cmidimsibel u. s. w. 



Güttingen, üriicl; (Ter Ümv.-Tlin^hdiiickere 



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